Jesteś tu: SzkołaFunkcjeFunkcje - definicje i własnościPrzesunięcia wykresów funkcji

Przesunięcia wykresów funkcji

Wykres dowolnej funkcji możemy przesuwać w poziomie oraz w pionie.
Wartości o jakie przesuwamy wykres w każdym z tych dwóch kierunków, najłatwiej jest zapisywać w postaci wektora przesunięcia:
Jeżeli chcemy przesunąć wykres w lewo, albo w dół, to na współrzędnych wektora podamy liczby ujemne, np.:
  • Wektor \(\vec{v}=[5,0]\) oznacza przesunięcie o \(5\) jednostek w prawo.
  • Wektor \(\vec{v}=[-7,0]\) oznacza przesunięcie o \(7\) jednostek w lewo.
  • Wektor \(\vec{v}=[0,6]\) oznacza przesunięcie o \(6\) jednostek w górę.
  • Wektor \(\vec{v}=[0,-6]\) oznacza przesunięcie o \(6\) jednostek w dół.
  • Wektor \(\vec{v}=[9,12]\) oznacza przesunięcie o \(9\) jednostek w prawo i \(12\) jednostek do góry.
  • Wektor \(\vec{v}=[-2,3]\) oznacza przesunięcie o \(2\) jednostki w lewo i \(3\) jednostki do góry.
  • Wektor \(\vec{v}=[-3,-4]\) oznacza przesunięcie o \(3\) jednostki w lewo i \(4\) jednostki do dołu.
  • Wektor \(\vec{v}=[1,-2]\) oznacza przesunięcie o \(1\) jednostkę w prawo i \(2\) jednostki do dołu.
Jak zmienia się wzór funkcji po przesunięciu o wektor?
Gdy przesuwamy wykres funkcji o wektor \(\vec{v}=[p,q]\), to:
  • we wzorze funkcji zamieniamy każdego \(x\) na wyrażenie \((x - p)\),
  • do całego wzoru funkcji dodajemy liczbę \(q\).
Czyli jeśli przesuniemy funkcję \(f(x)\) o wektor \(\vec{v}=[p,q]\) to otrzymamy funkcję: \[g(x)=f(x-p)+q\]
Zapisz wzór funkcji \(g(x)\), która powstaje przez przesunięcie funkcji \(f(x) = 5x^2 - 3x - 2\) o wektor \(\vec{v} = [7, 6]\).
Stosując pierwszy punkt powyższej reguły, zamieniamy we wzorze funkcji \(f(x)\) każdego \(x\) przez wyrażenie \((x - 7)\), otrzymując wyrażenie: \[5(x - 7)^2 - 3(x - 7) - 2\] Teraz stosujemy drugi punkt reguły - do całego wzoru dodajemy liczbę \(6\) i otrzymujemy wzór funkcji \(g(x)\): \[g(x) = 5(x - 7)^2 - 3(x - 7) - 2+6\] Na koniec przekształcamy wzór do najprostszej postaci: \[ g(x) = 5(x - 7)^2 - 3(x - 7) - 2+6\\[6pt] g(x) = 5(x^2-14x+49)-3x+21+4\\[6pt] g(x) = 5x^2-70x+245-3x+25\\[6pt] g(x) = 5x^2-73x+270\\[6pt] \]
Gdy przesuniemy wykres funkcji \(f(x)=2x-3\) o \(2\) jednostki w prawo i \(4\) jednostki w górę, to otrzymamy wykres funkcji opisanej wzorem
\( y=2(x-2)+4 \)
\( y=2(x-2)-4 \)
\( y=2(x-2)+1 \)
\( y=2(x+2)+4 \)
C
Na rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji \(y=f(x)\) określonej dla \(x\in [-7, 4]\). Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji
\( y=f(x+2) \)
\( y=f(x)-2 \)
\( y=f(x-2) \)
\( y=f(x)+2 \)
C
Rysunek przedstawia wykres funkcji \(y = f(x)\). Wskaż rysunek na którym jest przedstawiony wykres funkcji \(y = f(x + 1)\).
D
Na rysunku 1. jest przedstawiony wykres funkcji \(y=f(x)\) Funkcja przedstawiona na rysunku 2. określona jest wzorem
\( y=f(x)+2 \)
\( y=f(x)-2 \)
\( y=f(x-2) \)
\( y=f(x+2) \)
B
Funkcję \(f(x)=7x-5\) przesunięto o wektor \(\vec{v} = [0; -3]\) otrzymując funkcję \(g(x)\). Funkcja \(g(x)\) określona jest wzorem
\( g(x)=7x-8 \)
\( g(x)=7x-2 \)
\( g(x)=7x-26 \)
\( g(x)=7x+19 \)
A
Funkcję \(f(x)=7x-5\) przesunięto o wektor \(\vec{v}=[5; 1]\) otrzymując funkcję \(g(x)\). Funkcja \(g(x)\) określona jest wzorem
\( g(x)=7x-1 \)
\( g(x)=7x+1 \)
\( g(x)=7x-39 \)
\( g(x)=7x-41 \)
C
Funkcja \(g\) jest określona wzorem
\( g(x)=f(x-1) \)
\( g(x)=f(x)-1 \)
\( g(x)=f(x+1) \)
\( g(x)=f(x)+1 \)
B
Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(y = f (x)\) ma współrzędne \((2, 2)\). Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g(x) = f(x + 2)\) ma współrzędne
\( (4,2) \)
\( (0,2) \)
\( (2,0) \)
\( (2,4) \)
B