Prawdopodobieństwo całkowite

Jeżeli zdarzenia \(B_1, B_2, ..., B_n\) są parami rozłączne oraz mają prawdopodobieństwa dodatnie, które sumują się do jedynki, to dla dowolnego zdarzenia \(A\) zachodzi wzór: \[P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)+...+P(A|B_n)\cdot P(B_n)\]
W urnie mamy \(10\) kul białych i \(7\) kul czarnych. Wyciągamy jedną losową kulę i wyrzucamy ją, nie sprawdzając koloru. Jaka jest szansa wyciągnięcia za drugim razem kuli białej?
Wprowadźmy oznaczenia:
\(A\) - za drugim razem wyciągnęliśmy kulę białą,
\(B\) - za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulę białą,
\(C\) - za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulę czarną.
Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\). Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite: \[ P(A)=P(A|B)\cdot P(B)+P(A|C)\cdot P(C)=\frac{9}{16}\cdot \frac{10}{17}+\frac{10}{16}\cdot \frac{7}{17} =\frac{90+70}{16\cdot 17}=\frac{10}{17} \]
Na loterii mamy \(40\%\) losów wygrywających, \(50\%\) losów przegrywających oraz \(10\%\) losów "Graj dalej!" - pozwalających na wyciągnięcie następnego losu. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej?
Wprowadźmy oznaczenia:
\(W\) - wygrano na loterii,
\(A\) - wyciągnięto los wygrywający,
\(B\) - wyciągnięto los przegrywający,
\(C\) - wyciągnięto los "Graj dalej!".
Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(W\). Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite: \[ P(W)=P(W|A)\cdot P(A)+P(W|B)\cdot P(B)+P(W|C)\cdot P(C)=1\cdot \frac{4}{10}+0\cdot \frac{5}{10}+P(W)\cdot \frac{1}{10} \] Zatem mamy: \[\begin{split} P(W)&=1\cdot \frac{4}{10}+0\cdot \frac{5}{10}+P(W)\cdot \frac{1}{10}\\[6pt] P(W)&=\frac{4}{10}+\frac{1}{10}P(W)\\[6pt] P(W)-\frac{1}{10}P(W)&=\frac{4}{10}\\[6pt] \frac{9}{10}P(W)&=\frac{4}{10}\\[6pt] P(W)&=\frac{4}{9} \end{split}\]
Z urny zawierającej \(3\) kule czarne i \(2\) kule białe losujemy kulę, po czym zwracamy ją do urny i dorzucamy jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana. Następnie ponownie losujemy kulę z urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wylosujemy kulę czarną?
Wprowadźmy oznaczenia:
\(A\) - za drugim razem wyciągnęliśmy kulę czarną,
\(B\) - za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulę białą,
\(C\) - za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulę czarną.
Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\). Zastosujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite: \[ P(A)=P(A|B)\cdot P(B)+P(A|C)\cdot P(C) \] Jeśli za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulę białą (zdarzenie \(B\)), to dorzuciliśmy do urny \(2\) kule białe, zatem mieliśmy łącznie 7 kul: \(3\) czarne i \(4\) białe. Czyli: \[P(A|B)=\frac{3}{7}\] Jeśli za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulę czarną (zdarzenie \(C\)), to dorzuciliśmy do urny \(2\) kule czarne, zatem mieliśmy łącznie 7 kul: \(5\) czarnych i \(2\) białe. Czyli: \[P(A|C)=\frac{5}{7}\] Zatem: \[ P(A)=P(A|B)\cdot P(B)+P(A|C)\cdot P(C)=\frac{3}{7}\cdot \frac{2}{5}+\frac{5}{7}\cdot \frac{3}{5} =\frac{6+15}{7\cdot 5}=\frac{3}{5} \]