Pochodna złożenia funkcji

Jeżeli obie funkcje \(f(x)\) i \(g(x)\) są różniczkowalne, to pochodną złożenia tych funkcji obliczamy według wzoru: \[\Bigl(f\bigl(g(x)\bigl)\Bigl)'=g'(x)\cdot f'\bigl(g(x)\bigl)\]
Dane są funkcje \(f(x)=3x^2\) oraz \(g(x)=\sin x\). Oblicz pochodną złożenia funkcji \(f(x)\) z funkcją \(g(x)\) oraz pochodną złożenia funkcji \(g(x)\) z funkcją \(f(x)\).
Najpierw obliczymy pochodną złożenia funkcji \(f(x)\) z funkcją \(g(x)\): \[\begin{split} \Bigl(f\bigl(g(x)\bigl)\Bigl)' &=\bigl(f(\sin x)\bigl)'=\\[6pt] &=\bigl(3(\sin x)^2\bigl)'\\[6pt] &=(\sin x)'\cdot 2\cdot 3\sin x=\\[6pt] &=\cos x\cdot 6\sin x=\\[6pt] &=6\sin x\cos x \end{split}\] Teraz pochodna złożenia funkcji \(g(x)\) z funkcją \(f(x)\): \[\begin{split} \Bigl(g\bigl(f(x)\bigl)\Bigl)' &=\bigl(g(3x^2)\bigl)'=\\[6pt] &=\bigl(\sin (3x^2)\bigl)'\\[6pt] &=(3x^2)'\cdot \cos(3x^2)=\\[6pt] &=6x\cos (3x^2) \end{split}\]