Jesteś tu: SzkołaLiczby i działaniaPotęgowanie i pierwiastkowaniePierwiastkowanie

Pierwiastkowanie

Pierwiastek oznaczamy symbolem: \[\sqrt{\ \ \ \ \ \ \ }\] Pierwiastek z liczby obliczamy tak, że szukamy liczby, która podniesiona do drugiej potęgi da nam liczbę pod pierwiastkiem.
\(\sqrt{4}=2\), ponieważ \(2^2=4\)
\(\sqrt{9}=3\), ponieważ \(3^2=9\)
\(\sqrt{49}=7\), ponieważ \(7^2=49\)
\(\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}\), ponieważ \(\left(\frac{1}{4}\right )^2=\frac{1}{16}\)
\(\sqrt{\frac{25}{81}}=\frac{5}{9}\), ponieważ \(\left(\frac{5}{9}\right )^2=\frac{25}{81}\)
Zauważmy że, wynikiem pierwiastkowania jest zawsze liczba dodatnia!.
Tak samo pod pierwiastkiem - zawsze może stać tylko liczba dodatnia.
\(\sqrt{-4}\) nie istnieje w liczbach rzeczywistych
\(\sqrt{-\frac{1}{9}}\) nie istnieje w liczbach rzeczywistych
W tym nagraniu pokazuję jakie niebezpieczeństwa mogą na nas czyhać podczas wykonywania działań na pierwiastkach.
Czas nagrania: 24 min.

Pierwiastki wyższych stopni

Możemy obliczać również pierwiastki wyższych stopni. Wtedy stosujemy taki symbol: \[\sqrt[n]{\ \ \ \ \ \ \ }\] gdzie \(n\) - to stopień pierwiastka.
Chcąc obliczyć pierwiastek \(n\)-tego stopnia, szukamy liczby która podniesiona do \(n\)-tej potęgi da nam liczbę pod pierwiastkiem.
Pierwiastki nieparzystych stopni możemy obliczać również z liczb ujemnych.
\(\sqrt[3]{8}=2\), ponieważ \(2^3=8\)
\(\sqrt[3]{-27}=-3\), ponieważ \((-3)^2=9\)
\(\sqrt[5]{-1}=-1\), ponieważ \((-1)^5=-1\)
\(\sqrt[4]{\frac{1}{16}}=\frac{1}{2}\), ponieważ \(\left(\frac{1}{2}\right )^4=\frac{1}{16}\)
\(\sqrt[4]{\frac{625}{81}}=\frac{5}{3}\), ponieważ \(\left(\frac{5}{3}\right )^4=\frac{625}{81}\)
Pierwiastki można zapisywać za pomocą potęg: \[\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\]
\(\sqrt[3]{8}=8^{\frac{1}{3}}\)
\(\sqrt[5]{x}=x^{\frac{1}{5}}\)
\(\sqrt[7]{a\cdot b^2}=(a\cdot b^2)^{\frac{1}{7}}\)
\(\sqrt{13x}=(13x)^{\frac{1}{2}}\)
Taki zapis ułatwia często wykonywanie działań na pierwiastkach:
\[\sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[5]{x}=x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}=x^{\frac{8}{15}}\]