Obliczanie pochodnych - zadania

Drukuj

Poziom studiów

Oblicz pochodne funkcji:

\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2 - x + 78\)
\(\displaystyle f(x)=\frac{2}{x}+1\)
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}-\frac{3}{x^3}\)
\(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^2}\)
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}\)
\(\displaystyle f(x)=x^2-2x+1-\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{3}{x^4}\)
\(\displaystyle f(x)=e^x+4^x\)
\(\displaystyle f(x)=3\log_2 x + 4\)

Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2 - x + 78\] Stosujemy wzór na pochodną funkcji potęgowej \((x^n)' = n x^{n-1}\):
\(f'(x)=\frac{1}{4}\cdot 4x^3-\frac{1}{3}\cdot 3x^2+\frac{1}{2}\cdot 2x - 1\) \(=x^3-x^2+x-1\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[ f(x)=\frac{1}{x}-\frac{3}{x^3}=x^{-1}-3x^{-3} \] Stosujemy wzór na pochodną funkcji potęgowej:
\(f'(x)=-1\cdot x^{-2}-3\cdot(-3)x^{-4}\) \(=-x^{-2}+9x^{-4}\)
Upraszczamy:
\(-\frac{1}{x^2}+\frac{9}{x^4}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[ f(x)=x^{\frac{2}{3}} \] Z pochodnej funkcji potęgowej mamy:
\(f'(x)=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}\) \(=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[ f(x)=x^{-\frac{3}{4}} \] Z pochodnej funkcji potęgowej mamy:
\(f'(x)=-\frac{3}{4}x^{-\frac{3}{4}-1}\) \(=-\frac{3}{4}x^{-\frac{7}{4}}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[ f(x)=x^2-2x+1-2x^{-\frac{1}{2}}-3x^{-4} \] Z pochodnej funkcji potęgowej mamy:
\(f'(x)=2x-2-2\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)x^{-\frac{3}{2}}-3\cdot(-4)x^{-5}\) \(=2x-2+x^{-\frac{3}{2}}+12x^{-5}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[ f(x)=e^x+4^x \] Stosujemy wzór na pochodne funkcji wykładniczych:
\(f'(x)=e^x+4^x\ln4\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[ f(x)=3\log_2 x+4 \] Pochodna logarytmu:
\(f'(x)=3\cdot\frac{1}{x\ln2}+0\) \(=\frac{3}{x\ln2}\)

Oblicz pochodne funkcji:

\(\displaystyle y=x\sin x\)
\(\displaystyle y=(x^2+1)e^x\)
\(\displaystyle y=x^3\,3^x\)
\(\displaystyle y=x\,e^x\cos x\)
\(\displaystyle y=\frac{2x+1}{3x+2}\)
\(\displaystyle y=\frac{x^2-2x+3}{x^2+2x-3}\)
\(\displaystyle y=\frac{1+2\sqrt{x}}{2+\sqrt{3}\,x}\)
\(\displaystyle y=\frac{x^2}{\sin x+\cos x}\)
\(\displaystyle y=\frac{x\sin x}{1+\tan x}\)
\(\displaystyle y=(x^3-3x+4)^{2023}\)
\(\displaystyle y=\cos\bigl(x^3\bigr)\)
\(\displaystyle y=\cos^3 x\)

Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=x\sin x\] Stosujemy regułę na pochodną iloczynu:
\(f'(x)=(x)'\sin x + x(\sin x)'\) \(=1\cdot\sin x + x\cdot\cos x\) \(=\sin x + x\cos x\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=(x^2+1)e^x\] Stosujemy regułę na pochodną iloczynu:
\(f'(x)=(x^2+1)'e^x + (x^2+1)(e^x)'\) \(=2x\,e^x + (x^2+1)e^x\) \(=(x^2+2x+1)e^x\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=x^3\,3^x\] Stosujemy regułę na pochodną iloczynu:
\(f'(x)=(x^3)'3^x + x^3(3^x)'\) \(=3x^2\,3^x + x^3\,3^x\ln3\) \(=3^x\bigl(3x^2 + x^3\ln3\bigr)\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=x\,e^x\cos x\] Stosujemy regułę na pochodną iloczynu \(x\cdot g(x)\), gdzie \(g(x)=e^x\cos x\):
\(f'(x)=(x)'g + x\,g'\) \(=e^x\cos x + x\bigl((e^x)'\cos x + e^x(\cos x)'\bigr)\) \(=e^x\cos x + x\bigl(e^x\cos x - e^x\sin x\bigr)\) \(=e^x\cos x + x\,e^x(\cos x - \sin x)\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{2x+1}{3x+2}\] Stosujemy regułę na pochodną ilorazu:
\(f'(x)=\frac{(2x+1)'(3x+2) - (2x+1)(3x+2)'}{(3x+2)^2}\) \(=\frac{2(3x+2) - (2x+1)\cdot3}{(3x+2)^2}\) \(=\frac{6x+4 -6x-3}{(3x+2)^2}\) \(=\frac{1}{(3x+2)^2}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{x^2-2x+3}{x^2+2x-3}\] Stosujemy regułę na pochodną ilorazu:
\(f'(x)=\frac{(2x-2)(x^2+2x-3) - (x^2-2x+3)(2x+2)}{(x^2+2x-3)^2}\) \(=\frac{2x^3+4x^2-6x-2x^3+2x^2-6x-6}{(x^2+2x-3)^2}\) \(=\frac{6x^2-12x-6}{(x^2+2x-3)^2}\) \(=\frac{6(x^2-2x-1)}{(x^2+2x-3)^2}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{1+2\sqrt{x}}{2+\sqrt3\,x}\] Stosujemy regułę na pochodną ilorazu:
\(f'(x)=\frac{(1+2x^{\frac12})'(2+\sqrt3\,x) - (1+2x^{\frac12})(2+\sqrt3\,x)'}{(2+\sqrt3\,x)^2}\) \(=\frac{x^{-\frac12}(2+\sqrt3\,x) - (1+2x^{\frac12})\sqrt3}{(2+\sqrt3\,x)^2}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{x^2}{\sin x + \cos x}\] Stosujemy regułę na pochodną ilorazu:
\(f'(x)=\frac{(x^2)'(\sin x+\cos x) - x^2(\sin x+\cos x)'}{(\sin x+\cos x)^2}\) \(=\frac{2x(\sin x+\cos x) - x^2(\cos x - \sin x)}{(\sin x+\cos x)^2}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{x\sin x}{1+\tan x}\] Stosujemy regułę na pochodną ilorazu:
\(f'(x)=\frac{(x\sin x)'(1+\tan x) - x\sin x\,(1+\tan x)'}{(1+\tan x)^2}\) \(=\frac{(\sin x + x\cos x)(1+\tan x) - x\sin x\sec^2 x}{(1+\tan x)^2}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=(x^3-3x+4)^{2023}\] Stosujemy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją wewnętrzną jest \(x^3-3x+4\):
\(f'(x)=2023\,(x^3-3x+4)^{2022}\cdot(3x^2-3)\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\cos(x^3)\] Stosujemy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją wewnętrzną jest \(x^3\):
\(f'(x)=-(\sin(x^3))\cdot(3x^2)\) \(=-3x^2\sin(x^3)\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\cos^3 x =(\cos x)^3\] Stosujemy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją wewnętrzną jest \(\cos x\):
\(f'(x)=3(\cos x)^2\cdot(-\sin x)\) \(=-3\sin x\cos^2 x\)

Oblicz pochodne funkcji:

\(f(x)=e^{x^2+3x}\)
\(f(x)=e^{\sin x}\)
\(f(x)=e^{\sin^2 x}\)
\(f(x)=\sqrt{x^2+4}\)
\(f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{(x-2)^3}}\)
\(f(x)=\ln\cos x\)
\(f(x)=\arcsin(x^3)\)
\(f(x)=\arctan x\cdot\arctan\!\frac{1}{x}\)
\(f(x)=\ln\frac{2x}{3x+4}\)
\(f(x)=\frac{\sin x+\cos x}{\sin3x}\)
\(f(x)=\ln\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}\)
\(f(x)=x^x\)

Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=e^{x^2+3x}\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(x)=e^x\), a wewnętrzną \(h(x)=x^2+3x\):
\(f'(x)=(e^{x^2+3x})'\) \(=e^{x^2+3x}\cdot(x^2+3x)'\) \(=e^{x^2+3x}\cdot(2x+3)\) \(=(2x+3)e^{x^2+3x}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=e^{\sin x}\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(x)=e^x\), a wewnętrzną \(h(x)=\sin x\):
\(f'(x)=(e^{\sin x})'\) \(=e^{\sin x}\cdot(\sin x)'\) \(=e^{\sin x}\cdot\cos x\) \(=e^{\sin x}\cos x\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=e^{\sin^2 x}\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(x)=e^x\), a wewnętrzną \(h(x)=\sin^2 x=(\sin x)^2\). Przy liczeniu pochodnej funkcji \(h(x)\) traktujemy ją jako złożenie \(h_1(x)=x^2\), \(h_2(x)=\sin x\):
\(f'(x)=(e^{\sin^2 x})'\) \(=e^{\sin^2 x}\cdot(\sin^2 x)'\) \(=e^{\sin^2 x}\cdot2\sin x\cos x\) \(=2\sin x\cos x\,e^{\sin^2 x}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\sqrt{x^2+4}\] Możemy zapisać: \[f(x)=\left(x^2+4\right)^{\frac12}\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(u)=u^{\frac12}\), a wewnętrzną \(h(x)=x^2+4\):
\(f'(x)=\left((x^2+4)^{\frac12}\right)'\) \(=\frac12\left(x^2+4\right)^{-\frac12}\cdot(2x)\) \(=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{(x-2)^3}}\] Możemy zapisać: \[f(x)=\left(x-2\right)^{-\frac34}\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(u)=u^{-\frac34}\), a wewnętrzną \(h(x)=x-2\):
\(f'(x)=\left((x-2)^{-\frac34}\right)'\) \(=-\frac34(x-2)^{-\frac74}\cdot1\) \(=-\frac{3}{4}(x-2)^{-\frac74}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\ln\cos x\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(u)=\ln u\), a wewnętrzną \(h(x)=\cos x\):
\(f'(x)=(\ln\cos x)'\) \(=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)\) \(=-\tan x\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\arcsin(x^3)\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(u)=\arcsin u\), a wewnętrzną \(h(x)=x^3\):
\(f'(x)=(\arcsin(x^3))'\) \(=\frac{1}{\sqrt{1-(x^3)^2}}\cdot(3x^2)\) \(=\frac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\arctan x\cdot\arctan\frac{1}{x}\] Stosujemy pochodną iloczynu. W drugim czynniku liczymy pochodną z funkcji złożonej, gdzie zewnętrzną jest \(g(u)=\arctan u\), a wewnętrzną \(h(x)=\frac1x\):
\(f'(x)=(\arctan x)'\arctan\frac1x + \arctan x\cdot(\arctan\frac1x)'\) \(=\frac{1}{1+x^2}\arctan\frac1x + \arctan x\cdot\frac{1}{1+(\frac1x)^2}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\ln\frac{2x}{3x+4}\] Możemy zapisać: \[f(x)=\ln(2x)-\ln(3x+4)\] Liczymy pochodną sumy, gdzie każdą część traktujemy jako złożenie \(g(u)=\ln u\), \(h_1(x)=2x\), \(h_2(x)=3x+4\):
\(f'(x)=(\ln(2x))' - (\ln(3x+4))'\) \(=\frac{1}{x} - \frac{3}{3x+4}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{\sin x + \cos x}{\sin3x}\] Stosujemy pochodną ilorazu. W mianowniku liczymy pochodną z funkcji złożonej: zewnętrznej \(g(u)=\sin u\), wewnętrznej \(h(x)=3x\):
\(f'(x) = \frac{(\sin x + \cos x)'\,\sin3x - (\sin x + \cos x)\cdot(\sin3x)'}{\sin^2 3x}\) \(=\frac{(\cos x - \sin x)\sin3x - (\sin x + \cos x)\cdot3\cos3x}{\sin^2 3x}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\ln\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}\] Możemy zapisać: \[f(x)=\tfrac12\bigl(\ln(1+\cos x)-\ln(1-\cos x)\bigr)\] Liczymy pochodną sumy złożonej: dla każdej części zewnętrzna \(g(u)=\ln u\), wewnętrzna odpowiednio \(h_1(x)=1+\cos x\), \(h_2(x)=1-\cos x\):
\(f'(x)=\frac12\Bigl(\frac{-\sin x}{1+\cos x}-\frac{\sin x}{1-\cos x}\Bigr)\) \(=\frac12\cdot \frac{-\sin x(1-\cos x)-\sin x(1+\cos x)}{(1+\cos x)(1-\cos x)}\) \(=\frac12\cdot \frac{-2\sin x}{\sin^2 x}=-\frac{1}{\sin x}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=x^x\] Możemy równoważnie zapisać: \[f(x)=\left(e^{\ln x}\right)^x=e^{x\ln x}\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie zewnętrzną jest \(g(u)=e^u\), a wewnętrzną \(h(x)=x\ln x\). Dla \(h(x)\) stosujemy pochodną iloczynu:
\(f'(x)=(e^{x\ln x})'\) \(=e^{x\ln x}\cdot(\ln x+1)\) \(=x^x(\ln x+1)\)

Oblicz pochodne funkcji:

\(f(x)=\sqrt{x+1}\,\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-1\right)\)
\(f(x)=\bigl(\sqrt[3]{x}+2x\bigr)\left(1+\sqrt[3]{x^2+3x}\right)\)
\(f(x)=\frac{2}{x^3-1}\)
\(f(x)=\frac{2x^4}{9-x^2}\)
\(f(x)=\sqrt[3]{\frac{1}{1+x^2}}\)
\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^4-x^8}}\)

Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\sqrt{x+1}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-1\right)\] Stosujemy regułę iloczynu, gdzie \(u(x)=(x+1)^{\frac12}\), \(v(x)=x^{-\frac12}-1\). Funkcje złożone przy ich obliczaniu to dla \(u\): \(g(u)=u^{\frac12}\), \(h(x)=x+1\), oraz dla \(v\) części \(x^{-\frac12}\): \(g(u)=u^{-\frac12}\), \(h(x)=x\).
\(f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\) \(=\frac12(x+1)^{-\frac12}\bigl(x^{-\frac12}-1\bigr)+(x+1)^{\frac12}\bigl(-\tfrac12x^{-\frac32}\bigr)\) \(=\frac{x^{-\frac12}-1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x+1}}{2x^{\frac32}}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\bigl(x^{\frac13}+2x\bigr)\left(1+(x^2+3x)^{\frac13}\right)\] Reguła iloczynu: \(u(x)=x^{\frac13}+2x\), \(v(x)=1+(x^2+3x)^{\frac13}\). Przy \(u\) składnik \(x^{\frac13}\) to złożenie \(g(u)=u^{\frac13}\), \(h(x)=x\). Przy \(v\) składnik \((x^2+3x)^{\frac13}\) to złożenie \(g(u)=u^{\frac13}\), \(h(x)=x^2+3x\).
\(f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\) \(=\bigl(\tfrac13x^{-\frac23}+2\bigr)\bigl(1+(x^2+3x)^{\frac13}\bigr)+(x^{\frac13}+2x)\cdot\frac13(x^2+3x)^{-\frac23}(2x+3)\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{2}{x^3-1}\] Możemy zapisać równoważnie: \[f(x)=2(x^3-1)^{-1}\] Liczymy pochodną z funkcji złożonej, gdzie \(g(u)=u^{-1}\), \(h(x)=x^3-1\):
\(f'(x)=2\bigl((x^3-1)^{-1}\bigr)'=2\bigl(-1\,(x^3-1)^{-2}\bigr)\cdot3x^2\) \(=-6x^2(x^3-1)^{-2}\) \(=-\frac{6x^2}{(x^3-1)^2}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{2x^4}{9-x^2}\] Stosujemy regułę ilorazu z \(u(x)=2x^4\), \(v(x)=9-x^2\):
\(f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}\) \(=\frac{8x^3(9-x^2)-2x^4(-2x)}{(9-x^2)^2}\) \(=\frac{72x^3-8x^5+4x^5}{(9-x^2)^2}\) \(=\frac{72x^3-4x^5}{(9-x^2)^2}\) \(=\frac{4x^3(18-x^2)}{(9-x^2)^2}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\sqrt[3]{\frac{1}{1+x^2}}\] Możemy zapisać: \[f(x)=(1+x^2)^{-\frac13}\] Liczymy pochodną z funkcji złożonej, gdzie \(g(u)=u^{-\frac13}\), \(h(x)=1+x^2\):
\(f'(x)=\bigl((1+x^2)^{-\frac13}\bigr)'=-\frac13(1+x^2)^{-\frac43}\cdot2x\) \(=-\frac{2x}{3(1+x^2)^{\frac43}}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^4-x^8}}\] Możemy zapisać: \[f(x)=(1-x^4-x^8)^{-\frac12}\] Liczymy pochodną z funkcji złożonej, gdzie \(g(u)=u^{-\frac12}\), \(h(x)=1-x^4-x^8\):
\(f'(x)=\bigl((1-x^4-x^8)^{-\frac12}\bigr)'=-\frac12(1-x^4-x^8)^{-\frac32}\cdot(-4x^3-8x^7)\) \(=\frac{4x^3+8x^7}{2(1-x^4-x^8)^{\frac32}}\) \(=\frac{2x^3(1+2x^4)}{(1-x^4-x^8)^{\frac32}}\)

Oblicz pochodne funkcji:

\(f(x)=\frac{x}{1-\cos x}\)
\(f(x)=\cos^2 x\)
\(f(x)=3\sin^2 x-\sin^3 x\)
\(f(x)=3\sin(3x+5)\)
\(f(x)=\cos^4 x\)
\(f(x)=\sin\sqrt{1+x^2}\)
\(f(x)=x\arcsin x\)
\(f(x)=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}\)
\(f(x)=\sin(\arcsin x)\)
\(f(x)=\arcsin\frac{2}{x}\)
\(f(x)=\left(\arctan\frac{1}{x}\right)^2\)
\(f(x)=\arctan\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)\)

Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{x}{1-\cos x}\] Stosujemy wzór na pochodną ilorazu, gdzie \(u(x)=x\), \(v(x)=1-\cos x\).
\(f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}\) \(=\frac{1\cdot(1-\cos x)-x\cdot(0-(-\sin x))}{(1-\cos x)^2}\) \(=\frac{1-\cos x - x\sin x}{(1-\cos x)^2}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\cos^2 x\] Stosujemy pochodną złożenia, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(u)=u^2\), a wewnętrzną \(h(x)=\cos x\):
\(f'(x)=(\cos^2 x)'=2\cos x\cdot(-\sin x)\) \(=-2\sin x\cos x\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=3\sin^2 x - \sin^3 x\] Wyrażenie \(3\sin^2 x\), to złożenie \(g(u)=3u^2\) z \(h(x)=\sin x\). Wyrażenie \(\sin^3 x\) złożenie \(g(u)=u^3\) z \(h(x)=\sin x\):
\(f'(x)=3\cdot2\sin x\cos x - 3\sin^2 x\cos x\) \(=6\sin x\cos x -3\sin^2 x\cos x\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=3\sin(3x+5)\] Stosujemy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(u)=3\sin u\), a wewnętrzną \(h(x)=3x+5\):
\(f'(x)=3\cdot\cos(3x+5)\cdot(3x+5)'\) \(=3\cdot\cos(3x+5)\cdot3\) \(=9\cos(3x+5)\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\cos^4 x\] Stosujemy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(u)=u^4\), a wewnętrzną \(h(x)=\cos x\):
\(f'(x)=4\cos^3 x\cdot(-\sin x)\) \(=-4\sin x\cos^3 x\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\sin\sqrt{1+x^2}\] Tu mamy funkcję podwójnie złożoną. Najpierw patrzymy na funkcję zewnętrzną: \(g(t)=\sin t\), która ma funkcję wewnętrzną \(h(x)=\sqrt{1+x^2}\).
Przy liczeniu pochodnej funkcji \(h(x)\) traktujemy ją jako funkcję złożoną, gdzie funkcja zewnętrzna to \(h_1(t)=\sqrt{t}\), wewnętrzna to \(h_2(x)=1+x^2\):
\(f'(x)=\cos\sqrt{1+x^2}\cdot\left(\sqrt{1+x^2}\right)'\) \(=\cos\sqrt{1+x^2}\cdot\frac12(1+x^2)^{-\frac12}\cdot2x\) \(=\frac{x\cos\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=x\arcsin x\] Stosujemy wzór na pochodną iloczynu, gdzie \(u(x)=x\), \(v(x)=\arcsin x\). Funkcja \(v(x)\), to funkcja złożona, gdzie funkcja zewnętrzna to \(g(t)=\arcsin t\), a wewnętrzna to \(h(x)=x\):
\(f'(x)=1\cdot\arcsin x + x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(=\arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}\] Pochodną wyrażenia \(x\arcsin x\) liczymy jak w przykładzie poprzednim, a druga część to złożenie: zewnętrzna \(g(u)=\sqrt{u}\), wewnętrzna \(h(x)=1-x^2\):
\(f'(x)=\arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac12(1-x^2)^{-\frac12}\cdot(-2x)\) \(=\arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\) \(=\arcsin x\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\sin(\arcsin x)\] Zauważmy, że \(sin\) to funkcja odwrotna do \(\arcsin x\). Zatem w dziedzinie \(x\in \langle-1, 1 \rangle \) mamy: \[f(x)=\sin(\arcsin x)=x\] Zatem:
\(f'(x)=(x)'= 1\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\arcsin\frac{2}{x}\] Mamy złożenie: zewnętrzna \(g(u)=\arcsin u\), wewnętrzna \(h(x)=\frac{2}{x}\):
\(f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2}{x})^2}}\cdot\bigl(-\frac{2}{x^2}\bigr)\) \(=-\frac{2}{x^2\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\left(\arctan\frac{1}{x}\right)^2\] Mamy złożenie podwójne: najpierw zewnętrzna \(g_1(u)=u^2\), wewnętrzna \(h_1(x)=\arctan\frac{1}{x}\). Potem dla \(h_1\): zewnętrzna \(g_2(u)=\arctan u\), wewnętrzna \(h_2(x)=\frac{1}{x}\):
\(f'(x)=2\arctan\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{1+(\frac{1}{x})^2}\cdot\bigl(-\frac{1}{x^2}\bigr)\) \(=-\frac{2\arctan\frac{1}{x}}{x^2\bigl(1+\frac{1}{x^2}\bigr)}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\arctan\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)\] Stosujemy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(u)=\arctan u\), a wewnętrzną \(h(x)=x-\sqrt{1+x^2}\). Dodatkowo dla składnika \(\sqrt{1+x^2}\) funkcja zewnętrzna to \(g_2(v)=\sqrt{v}\), a wewnętrzna to \(h_2(x)=1+x^2\):
\(f'(x)=\frac{1}{1-\bigl(x-\sqrt{1+x^2}\bigr)^2}\cdot\Bigl(1 - \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot2x\Bigr)\) \(=\frac{1 - \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1-\bigl(x-\sqrt{1+x^2}\bigr)^2}\)

Oblicz pochodne funkcji:

\(f(x)=\sqrt{\ln x}\)
\(f(x)=\frac{\ln x}{1+x^2}\)
\(f(x)=\ln(\sin x)\)
\(f(x)=\log_{3}x\)
\(f(x)=\log_{5}(x^2-1)\)
\(f(x)=\ln\left(\arctan\sqrt{1+x^2}\right)\)
\(f(x)=10^x\)
\(f(x)=\frac{x}{4^x}\)

Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\sqrt{\ln x}\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(u)=u^{\frac12}\), a wewnętrzną \(h(x)=\ln x\):
\(f'(x)=((\ln x)^{\frac12})'\) \(=\frac12(\ln x)^{-\frac12}\cdot\frac{1}{x}\) \(=\frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{\ln x}{1+x^2}\] Stosujemy regułę ilorazu, gdzie \(u(x)=\ln x\), a \(v(x)=1+x^2\):
\(f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}\) \(=\frac{\frac{1}{x}(1+x^2)-\ln x\cdot2x}{(1+x^2)^2}\) \(=\frac{1+x^2-2x^2\ln x}{x(1+x^2)^2}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\ln(\sin x)\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie zewnętrzna jest \(g(u)=\ln u\), a wewnętrzna \(h(x)=\sin x\):
\(f'(x)=(\ln(\sin x))'\) \(=\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x\) \(=\cot x\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\log_{3}x\] Stosujemy wzór na pochodną logarytmu: \[(\log_a x)' = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)'=\frac{1}{x\ln a}\] Zatem:
\(f'(x)=(\log_{3}x)'\) \(=\frac{1}{x\ln3}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\log_{5}(x^2-1)\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie zewnętrzna jest \(g(u)=\log_{5}u\), a wewnętrzna \(h(x)=x^2-1\):
\(f'(x)=(\log_{5}(x^2-1))'\) \(=\frac{1}{(x^2-1)\ln5}\cdot2x\) \(=\frac{2x}{(x^2-1)\ln5}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\ln\left(\arctan\sqrt{1+x^2}\right)\] Tu mamy potrójne złożenie. Funkcja zewnętrzna \(g_1(u)=\ln u\), wewnętrzna \(h_1(x)=\arctan\sqrt{1+x^2}\). Następnie \(h_1\) jest złożeniem \(g_2(v)=\arctan v\), \(h_2(x)=\sqrt{1+x^2}\). Wreszcie \(h_2\) to złożenie \(g_3(w)=w^{\frac12}\), \(h_3(x)=1+x^2\):
\(f'(x)=(\ln(\arctan\sqrt{1+x^2}))'\) \(=\frac{1}{\arctan\sqrt{1+x^2}}\cdot\frac{1}{1+(\sqrt{1+x^2})^2}\cdot\frac12(1+x^2)^{-\frac12}\cdot2x\) \(=\frac{x}{(2+x^2)\sqrt{1+x^2}\,\arctan\sqrt{1+x^2}}\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=10^x\] Stosujemy wzór na pochodną funkcji wykładniczej: \[(a^x)' = a^x\ln(a)\] Zatem:
\(f'(x)=10^x\ln10\)
Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{x}{4^x}\] Stosujemy regułę ilorazu, gdzie \(u(x)=x\), \(v(x)=4^x\):
\(f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}\) \(=\frac{1\cdot4^x - x\cdot4^x\ln4}{4^{2x}}\) \(=\frac{1-x\ln4}{4^x}\)