Na tej stronie umieszczam moje najnowsze filmy.
Ciężarówka ma do pokonania trasę długości \(S\) km, poruszając się po autostradzie ze stałą prędkością \(v\) km/h. Minimalna prędkość dla ciężarówek na autostradzie wynosi \(40\) km/h, maksymalna - \(80\) km/h. Wiemy, że litr paliwa kosztuje \(8\) złotych, a kierowca otrzymuje \(42\) złote za godzinę swej pracy. Zużycie paliwa w ciągu jednej godziny jazdy autostradą w zależności od prędkości \(v\) wyrażone w litrach można opisać funkcją \(f(v)=7+\frac{v^2}{400}\).
Oblicz, przy jakiej prędkości koszt przejazdu będzie najmniejszy. Zapisz obliczenia.
Wskazówka: przyjmij, że koszt przejazdu jest sumą kosztu paliwa oraz wynagrodzenia kierowcy.
\(v=70\) km/h
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=x^4-2x^3+x^2-1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \in [-1, 3]\).
Wyznacz zbiór wartości funkcji \(f\).
\([-1,35]\)
Trójkąt \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\), jest wpisany w okrąg o promieniu \(R\). Środek tego okręgu leży wewnątrz trójkąta \(ABC\). Niech \(x\) oznacza odległość środka okręgu od podstawy \(AB\).
Wykaż, że pole trójkąta \(ABC\) jako funkcja zmiennej \(x\) jest określone wzorem \(P(x)=(R+x)\sqrt{R^2-x^2}\). Określ dziedzinę tej funkcji.
dziedzina: \((0,R)\)
Dany jest okrąg o promieniu \(R\). Rozważamy wszystkie trójkąty spełniające warunki:
- są wpisane w ten okrąg
- mają obwody równe 3R
- mają jeden z boków dwukrotnie dłuższy od drugiego.
Znajdź trójkąt o możliwie największym polu przy zadanych warunkach. Oblicz jego pole. Zapisz obliczenia.
\(P\left(\frac{2}{3}R\right)=\frac{2}{9}R^2\)
Grażyna planuje zrobienie pudełka (bez wieczka) w kształcie prostopadłościanu. W tym celu zamierza wykorzystać prostokątny kawałek tektury o wymiarach \(10 \text{ cm} \times 16 \text{ cm}\), odcinając z każdego rogu kwadrat o boku \(x\) cm (zobacz rysunek).
Oblicz wartość \(x\), dla której objętość otrzymanego pudełka będzie największa. Oblicz tę największą objętość pudełka. Zapisz obliczenia.
\(V(2)=144\)
Dom \(D\) stoi w odległości \(5\) km od prostoliniowego odcinka drogi. W chwili początkowej Janusz znajduje się na tej drodze w punkcie \(A\) oddalonym od domu \(D\) o \(13\) km (zobacz rysunek). Janusz może iść drogą z maksymalną prędkością \(5\) km/h, zaś poza nią może poruszać się z maksymalną prędkością \(3\) km/h.
Oblicz najkrótszy czas potrzebny Januszowi na dojście do domu \(D\). Zapisz obliczenia.
\(3\) godziny i \(44\) minuty
W pewien okrąg wpisano czworokąt \(ABCD\) taki, że \(|AB| = 10\), \(|CD| = 6\) oraz \(|BC| = |BD|\). Styczna do tego okręgu w punkcie \(C\) tworzy z bokiem \(CD\) kąt \(\alpha\) o mierze \(30^\circ\) (zobacz rysunek).
Oblicz pole czworokąta \(ABCD\). Zapisz obliczenia.
\(P_{ABCD}=\frac{11+18\sqrt{3}+10\sqrt{11}+5\sqrt{33}}{2}\)
W trapezie \(ABCD\) przekątna \(BD\) jest dwusieczną kąta \(CBA\) i przecina przekątną \(AC\) w punkcie \(K\), takim, że \(|CK|:|KA| = 1 : 3\). Pole tego trapezu jest równe \(100(\sqrt{6}-\sqrt{2})\), \(\sin\sphericalangle BAD=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\), \(|AD| = 10\) oraz kąt \(BAD\) jest ostry.
Oblicz długości pozostałych boków trapezu \(ABCD\). Zapisz obliczenia.
\(|AB|=60(2-\sqrt{3})\)
\(|BC|=|CD|=20(2-\sqrt{3})\)
Punkt \(D\) leży wewnątrz trójkąta \(ABC\). Prosta przechodząca przez punkt \(D\) i równoległa do boku \(AC\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(K\), a bok \(BC\) w punkcie \(L\). Prosta przechodząca przez punkt \(D\) i równoległa do boku \(BC\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(M\), a bok \(AC\) w punkcie \(N\) (zobacz rysunek). Stosunek obwodu trójkąta \(KMD\) do obwodu trójkąta \(KBL\) jest równy \(5 : 7\), a stosunek obwodu trójkąta \(KMD\) do obwodu trójkąta \(AMN\) jest równy \(5 : 8\). Pole czworokąta \(DLCN\) jest równe \(15\).
Oblicz pole trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.
\(P_{ABC}=125\)
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=\frac{\sqrt{2x}}{5+x^2}-3^{-x-1}\] dla każdej nieujemnej liczby rzeczywistej \(x\).
Wykaż, że funkcja \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe dodatnie mniejsze od \(3\).
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\sqrt{1+4x}\) dla \(x\in\left[-\frac{1}{4},+\infty \right)\).
Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(x_0=2\). Zapisz obliczenia.
\(y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\)
Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Ciąg \((a_1\cdot a_2,\ a_2\cdot a_3,\ a_3\cdot a_1, )\) jest geometryczny i ma wyrazy różne od zera.
Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.
\(q=-2\)
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dane są dwie proste \(l_1\) oraz \(l_2\). Kąt między tymi prostymi ma miarę \(45^\circ\). Współczynnik kierunkowy w równaniu prostej \(l_1\) jest równy \(\frac{2}{3}\).
Oblicz współczynnik kierunkowy w równaniu prostej \(l_2\). Zapisz obliczenia.
\(a=5\) lub \(a=-\frac{1}{5}\)
Rozwiąż równanie \[\cos^2x-\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin x\cos x-\sin^2x=0\] w przedziale \([-\pi,\pi]\). Zapisz obliczenia.
\(x=-\frac{5}{6}\pi\ \lor x=\frac{\pi}{6}\ \lor x=-\frac{\pi}{3}\ \lor x=\frac{2}{3}\pi\)
Na szczycie wieży o wysokości \(h\) umieszczono pionowo antenę radiową stacji nadawczej o długości \(l\) (\(l\gt h\)). Punkt \(O\) leży na płaszczyźnie poziomej przechodzącej przez podnóże wieży, a punkt \(A\) znajduje się na końcu anteny. Koniec anteny \(A\) widać z punktu \(O\) pod dwukrotnie większym kątem niż wieżę (zobacz rysunek).
Oblicz odległość \(x\) podnóża wieży od punktu \(O\). Zapisz obliczenia.
\(x=h\sqrt{\frac{h+l}{l-h}}\)
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) prawdziwe są nierówności \[2(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})\lt\frac{1}{\sqrt{n+1}}\quad \text{i}\quad \frac{1}{\sqrt{n+1}}\lt2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\]
Rozwiąż układ równań \[\begin{cases} x^2-2x+y^2=24 \\ x^2-10x+y^2-8y+40=0 \end{cases}\] Zapisz obliczenia.
\(\begin{cases} x=4 \\ y=4 \end{cases} \) lub \(\begin{cases} x=5 \\ y=3 \end{cases} \)
Dane są funkcje \(k\) oraz \(p\). Funkcja \(k\) jest określona wzorem \(k(x) = 5 - x^2\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Funkcja \(p\) jest określona wzorem \(p(x) =\sqrt{1-x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) nie większej od \(1\). Funkcje \(f\) oraz \(g\) są określone następująco:
\(f=k\circ p\) oraz \(g=p\circ k\)
Wyznacz wzory i dziedziny funkcji \(f\) oraz \(g\).
\(f(x)=x+4\), \(D_f=(-\infty ,1]\)
\(g(x)=\sqrt{x^2-4}\), \(D_g=(-\infty ,-2] \cup [2,+\infty )\)
Narysuj wykres funkcji \(f(x)=\frac{|x^2-9|}{3-x}\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(f(x)=m\) nie ma rozwiązania. Zapisz obliczenia.
\(m\in[-6,0)\)
Rozwiąż nierówność \(2x^2+x|2x-1|\le3\).
Zapisz obliczenia.
\(x\in(-\infty,1]\)
Rozwiąż nierówność \[x+4+\frac{8}{x-4}\ge\frac{-2x-8}{x^2-16}\] Zapisz obliczenia.
\(x\in[-\sqrt{6},\sqrt{6}]\cup (4,+\infty )\)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[2x^2-(2m+7)x+m^2-3m+21=0\] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunek \(x_1=2x_2\). Zapisz obliczenia.
\(m=4\) oraz \(m=7\)
W rozwinięciu wyrażenia \((a + b)^n\) dla pewnego \(n \in \mathbb{N} \) suma współczynników przy wyrazach \(a^{n-2}b^2\) oraz \(a^{n-1}b\) jest równa \(66\).
Oblicz \(n\). Zapisz obliczenia.
\(n=11\)
Niech \(a\), \(b\), \(c\) będą takimi liczbami całkowitymi, że \(a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{6}=0\).
Wykaż, że \(a=b=c=0\).
Wykaż, że liczba \(a=(\sqrt{5}+2)^{2022}+(\sqrt{5}-2)^{2022}\) jest wymierna.
Suma liczb całkowitych \(x\) i \(y\) jest podzielna przez \(3\).
Wykaż, że suma sześcianów liczb \(x\) i \(y\) jest podzielna przez \(9\).
Rozpatrzmy liczby naturalne większe od \(1000\), w których zapisie występuje tylko cyfra 1: \[a=\underbrace{11...111}_{n}\]
Wykaż, że jeśli liczba \(a\) zapisana za pomocą \(n\) jedynek jest liczbą pierwszą, to liczba \(n\) również jest liczbą pierwszą.
Niech \(a\), \(b\) będą liczbami całkowitymi, dla których zachodzi równość \(2a^2+a=3b^2+b\).
Wykaż, że jeśli \(5\) jest dzielnikiem liczby \(a-b\), to \(25\) również jest dzielnikiem liczby \(a-b\).
Liczby \(a\), \(b\), \(c\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy równej \(7\). Jedna z tych liczb jest wielokrotnością liczby \(7\).
Wykaż, że iloczyn \(a\cdot b\cdot c\) jest podzielny przez \(294\).
Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po \(196\) złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:
- przychód \(P\) (w złotych) ze sprzedaży \(x\) krzeseł można opisać funkcją \(P(x) = 196x\)
- koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) krzeseł dziennie można opisać funkcją \[K(x) = 4x^2 + 4x + 240\]
Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej \(30\) krzeseł. Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk. Zapisz obliczenia.
Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.
\(24\) krzesła
\(2064\) zł zysku
Oblicz wartość wyrażenia \[\log_83^{3\log_32-\log_{27}8-\log_94}\] Zapisz obliczenia.
\(\frac{1}{3}\)
Oblicz najpierw różnicę logarytmów w wykładniku potęgi. Aby wykonać odejmowanie przekształć logarytmy do podstawy równej \(3\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się
nie powtarzają, jest
A.\( 9\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10 \)
B.\( 9\cdot 9\cdot 9\cdot 9\)
C.\( 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\)
D.\( 9\cdot 9\cdot 8\cdot 7\)
D
Ze zbioru pięciu liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste. Zapisz obliczenia
\(\frac{3}{10}\)
Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa
A.\( 5\ 690 \) zł
B.\( 5\ 280\) zł
C.\( 6\ 257\) zł
D.\( 5\ 900\) zł
A
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste o równaniach:
- \(y = \sqrt{3}x + 6\)
- \(y = -\sqrt{3}x + 6\)
- \(y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x - 2\),
przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta \(KLM\).
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Trójkąt \(KLM\) jest

B2
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkt \(A = (-1, -4)\) jest wierzchołkiem równoległoboku \(ABCD\). Punkt \(S = (2, 2)\) jest środkiem symetrii tego równoległoboku.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość przekątnej \(AC\) równoległoboku \(ABCD\) jest równa
A.\( \sqrt{5} \)
B.\( 2\sqrt{5} \)
C.\( 3\sqrt{5} \)
D.\( 6\sqrt{5} \)
D
Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\), w którym podstawa \(CD\) ma długość \(6\), ramię \(AD\) ma długość \(4\), a kąty \(BAD\) oraz \(ABC\) mają miarę \(60^\circ\) (zobacz rysunek).
Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.
\(P=16\sqrt{3}\)
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są prosta \(k\) o równaniu \(y=\frac{3}{4}x-\frac{7}{4}\) oraz punkt \(P = (12, -1)\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prosta przechodząca przez punkt \(P\) i równoległa do prostej \(k\) ma równanie
A.\( y=-\frac{3}{4}x+8 \)
B.\( y=\frac{3}{4}x-10 \)
C.\( y=\frac{4}{3}x-17 \)
D.\( y=-\frac{4}{3}x+15 \)
B
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest okrąg \(O\) o środku \(S = (-1, 2)\) i promieniu \(3\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Okrąg \(O\) jest określony równaniem
A.\( (x-1)^2+(y+2)^2=9 \)
B.\( (x-1)^2+(y+2)^2=3 \)
C.\( (x+1)^2+(y-2)^2=9 \)
D.\( (x+1)^2+(y-2)^2=3 \)
C
W okręgu \(O\) kąt środkowy \(\beta\) oraz kąt wpisany \(\alpha\) są oparte na tym samym łuku. Kąt \(\beta\) ma miarę o \(40^\circ\) większą od kąta \(\alpha\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta \(\beta\) jest równa
A.\( 40^\circ \)
B.\( 80^\circ \)
C.\( 100^\circ \)
D.\( 120^\circ \)
B
W trójkącie \(ABC\) długość boku \(AC\) jest równa \(3\), a długość boku \(BC\) jest równa \(4\). Dwusieczna kąta \(ACB\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(D\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Stosunek \(|AD|:|DB|\) jest równy
A.\( 4:3 \)
B.\( 4:7 \)
C.\( 3:4 \)
D.\( 3:7 \)
C
Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{7}\) .
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Sinus kąta \(\alpha\) jest równy
A.\( \frac{24}{49} \)
B.\( \frac{5}{7} \)
C.\( \frac{25}{49} \)
D.\( \frac{\sqrt{6}}{7} \)
B
Trapez \(T_1\), o polu równym \(52\) i obwodzie \(36\), jest podobny do trapezu \(T_2\). Pole trapezu \(T_2\) jest równe \(13\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Obwód trapezu \(T_2\) jest równy
A.\( 18 \)
B.\( 9 \)
C.\( \frac{169}{9} \)
D.\( \frac{52}{3} \)
A
Koło ma promień równy \(3\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym \(30^\circ\) jest równy
A.\( \frac{3}{4}\pi \)
B.\( \frac{1}{2}\pi \)
C.\( \frac{3}{4}\pi+6 \)
D.\( \frac{1}{2}\pi+6 \)
B
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=(-1)^n\cdot \frac{n+1}{2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzeci wyraz tego ciągu jest równy
A.\( 2 \)
B.\( (-2) \)
C.\( 3 \)
D.\( (-1) \)
B
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy \(128\), natomiast iloraz ciągu jest równy \(\left(-\frac{1}{2}\right)\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
Wyraz \(a_{2023}\) jest liczbą ujemną. | P | F |
Różnica \(a_3 - a_2\) jest równa 96. | P | F |
FP
Ciąg \((3x^2+5x,x^2,20-x^2)\) jest arytmetyczny.
Oblicz \(x\). Zapisz obliczenia.
\(x=-4\)
Funkcje \(A, B, C, D, E\) oraz \(F\) są określone dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wzory tych funkcji podano poniżej.
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Przedział \((-\infty, 2]\) jest zbiorem wartości funkcji ............. oraz ............. .
A.\( A(x) = -(x - 3)^2 + 2 \)
B.\( B(x) = x^2 + 2 \)
C.\( C(x) = -5(x - 2)^2 \)
D.\( D(x) = (x - 2)^2 \)
E.\( E(x) = 2x^2 - 8x + 10 \)
F.\( F(x) = -2x^2 + 4x \)
AF
Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=\frac{x-k}{x^2+1}\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek \(f(1) = 2\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość współczynnika \(k\) we wzorze tej funkcji jest równa
A.\( (-3) \)
B.\( 3 \)
C.\( (-4) \)
D.\( 4 \)
A
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(x-13)^2-256\). Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba \((-3)\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba
A.\( (-29) \)
B.\( (-23) \)
C.\( 23 \)
D.\( 29 \)
D
Rozwiąż równanie \[3x^3-2x^2-3x+2=0\] Zapisz obliczenia.
\(-1, \frac{2}{3}, 1\)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), punkt \((-8, 6)\) jest punktem przecięcia prostych o równaniach
A.\( 2x + 3y = 2 \qquad \) i \(\qquad -x + y = -14\)
B.\( 3x + 2y = -12 \qquad \) i \(\qquad 2x + y = 10\)
C.\( x + y = -2 \qquad \) i \(\qquad x - 2y = 4\)
D.\( x - y = -14\qquad \) i \(\qquad -2x + y = 22\)
D
Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) jest liczba \(1\). Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt \((-1, 4)\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wzór funkcji \(f\) ma postać
A.\( f(x)=-\frac{1}{2}x+1 \)
B.\( f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3} \)
C.\( f(x)=-2x+2 \)
D.\( f(x)=-3x+1 \)
C
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(0\) wartość wyrażenia \(\frac{1}{2x}-x\) jest równa wartości wyrażenia
A.\( \frac{1}{x} \)
B.\( \frac{1-x}{2x} \)
C.\( \frac{1-2x^2}{2x} \)
D.\( -\frac{1}{2x} \)
C
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie \(\frac{(x^2-3x)(x^2+1)}{x^2-25}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A.jedno rozwiązanie.
B.dwa rozwiązania.
C.trzy rozwiązania.
D.cztery rozwiązania.
B
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) liczba \(3n^3+18n^2+15n\) jest podzielna przez \(6\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia \(\frac{3^{-1}}{\left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}}\cdot 81\) jest równa
A.\( \frac{1}{3} \)
B.\( \left(-\frac{1}{3}\right) \)
C.\( 3 \)
D.\( (-3) \)
A
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia \((2-\sqrt{3})^2-(\sqrt{3}-2)^2\) jest równa
A.\( (-2\sqrt{3}) \)
B.\( 0 \)
C.\( 6 \)
D.\( 8\sqrt{3} \)
B
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(3\sqrt{45}-\sqrt{20}\) jest równa
A.\( (7\cdot 5)^{\frac{1}{2}} \)
B.\( 5^{\frac{1}{2}} \)
C.\( 7 \)
D.\( 7\cdot 5^{\frac{1}{2}} \)
D
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\log_{25}1-\frac{1}{2}\log_{25}5\) jest równa
A.\( \left(-\frac{1}{4}\right) \)
B.\( \left(-\frac{1}{2}\right) \)
C.\( \frac{1}{4} \)
D.\( \frac{1}{2} \)
A
Dana jest nierówność \[|x - 5| \lt 2\]
Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
D
Działka ma kształt trapezu. Podstawy \(AB\) i \(CD\) tego trapezu mają długości \(|AB| = 400\) m oraz \(|CD| = 100\) m. Wysokość trapezu jest równa \(75\) m, a jego kąty \(DAB\) i \(ABC\) są ostre.
Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie \(AB\) tego trapezu, a dwa pozostałe - \(E\) oraz \(F\) - na ramionach \(AD\) i \(BC\) trapezu (zobacz rysunek).
Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Zapisz obliczenia.
Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu \(ABCD\) jest sumą pól trapezów \(ABFE\) oraz \(EFCD\): \[P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\]
\(50\) m x \(200\) m, \(10000\) m\(^2\)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej \(3\) jest
A.\( 8 \)
B.\( 4 \)
C.\( 5 \)
D.\( 6 \)
D
Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych - od \(1\) do \(8\) - losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby \(8\).
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\). Zapisz obliczenia.
\(\frac{8}{56}=\frac{1}{7}\)
Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny \(ABCDEFA'B'C'D'E'F'\), w którym krawędź podstawy ma długość \(5\). Przekątna \(AD'\) tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(45^\circ\) (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe
A.\( 12{,}5 \)
B.\( 25 \)
C.\( 50 \)
D.\( 100 \)
C
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A = (-1, 5)\) oraz \(C = (3, -3)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole kwadratu \(ABCD\) jest równe
A.\( 8\sqrt{10} \)
B.\( 16\sqrt{5} \)
C.\( 40 \)
D.\( 80 \)
C
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są punkty \(A = (1, 7)\) oraz \(P = (3, 1)\). Punkt \(P\) dzieli odcinek \(AB\) tak, że \(|AP|:|PB|=1:3\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Punkt \(B\) ma współrzędne
A.\( (9,-5) \)
B.\( (9,-17) \)
C.\( (7,-11) \)
D.\( (5,-5) \)
B
Pole równoległoboku \(ABCD\) jest równe \(40\sqrt{6}\). Bok \(AD\) tego równoległoboku ma długość \(10\), a kąt \(ABC\) równoległoboku ma miarę \(135^\circ\) (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość boku \(AB\) jest równa
A.\( 8\sqrt{3} \)
B.\( 8\sqrt{2} \)
C.\( 16\sqrt{2} \)
D.\( 16\sqrt{3} \)
A
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = -x + 1\). Funkcja \(g\) jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykres funkcji \(g\) przechodzi przez punkt \(P = (0, -1)\) i jest prostopadły do wykresu funkcji \(f\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wzorem funkcji \(g\) jest
A.\( g(x)=x+1 \)
B.\( g(x)=-x-1 \)
C.\( g(x)=-x+1 \)
D.\( g(x)=x-1 \)
D
Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(S\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\). Prosta \(l\) przecina ten okrąg w punktach \(B\) i \(C\). Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(D\), przy czym \(|BC| = 4\) i \(|CD| = 3\) (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) jest równa
A.\( \frac{7}{2} \)
B.\( 5 \)
C.\( \sqrt{12} \)
D.\( \sqrt{3}+2 \)
C
W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Trójkąt \(ABE\) jest podobny do trójkąta \(CDE\). | P | F |
Pole trójkąta \(ACD\) jest równe polu trójkąta \(BCD\). | P | F |
PP
Na łukach \(AB\) i \(CD\) okręgu są oparte kąty wpisane \(ADB\) i \(DBC\), takie, że \(|\sphericalangle ADB| = 20^\circ\) i \(|\sphericalangle DBC| = 40^\circ\) (zobacz rysunek). Cięciwy \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(K\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta \(DKC\) jest równa
A.\( 80^\circ \)
B.\( 60^\circ \)
C.\( 50^\circ \)
D.\( 40^\circ \)
B
Pole trójkąta równobocznego \(T_1\) jest równe \(\frac{(1{,}5)^2\sqrt{3}}{4}\). Pole trójkąta równobocznego \(T_2\) jest równe \(\frac{(4{,}5)^2\sqrt{3}}{4}\).
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Trójkąt \(T_2\) jest podobny do trójkąta \(T_1\) w skali

A2
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{n-2}{3}\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od \(10\) jest równa
A.\( 28 \)
B.\( 31 \)
C.\( 32 \)
D.\( 27 \)
B
Trzywyrazowy ciąg \((1, 4, a + 5)\) jest arytmetyczny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(a\) jest równa
A.\( 0 \)
B.\( 7 \)
C.\( 2 \)
D.\( 11 \)
C
Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). W tym ciągu \(a_1=3{,}75\) oraz \(a_2=-7{,}5\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa
A.\( 11{,}25 \)
B.\( (-18{,}75) \)
C.\( 15 \)
D.\( (-15) \)
A
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(\cos \alpha-\cos \alpha\cdot \sin^2\alpha\) jest równe
A.\( \cos^3\alpha \)
B.\( \sin^2\alpha \)
C.\( 1-\sin^2\alpha \)
D.\( \cos \alpha \)
A
Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary \(30^\circ\), \(45^\circ\) oraz \(105^\circ\). Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe - odpowiednio - \(a\), \(b\) oraz \(c\) (zobacz rysunek).
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami: ...................... oraz ...................... .
A.\( \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a\cdot c \)
B.\( \frac{1}{4}\cdot a\cdot c \)
C.\( \frac{\sqrt{2}}{4}\cdot a\cdot c \)
D.\( \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot b\cdot c \)
E.\( \frac{1}{2}\cdot b\cdot c \)
F.\( \frac{1}{4}\cdot b\cdot c \)
CF
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = ax^2 + bx + 1\), gdzie \(a\) oraz \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że \(a \lt 0\) i \(b > 0\). Na jednym z rysunków A-D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Fragment wykresu funkcji \(f\) przedstawiono na rysunku

D
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) prosta o równaniu \(y = ax + b\) przechodzi przez punkty \(A = (-3, -1)\) oraz \(B = (4, 3)\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Współczynnik \(a\) w równaniu tej prostej jest równy
A.\( (-4) \)
B.\( \left(-\frac{1}{2}\right) \)
C.\( 2 \)
D.\( \frac{4}{7} \)
D
Rozwiąż nierówność \[x(2x-1)\lt2x\] Zapisz obliczenia.
\(x\in \left(0, \frac{3}{2}\right)\)
Rozwiąż równanie \[x^3+4x^2-9x-36=0\] Zapisz obliczenia.
\(x=-4\) lub \(x=-3\) lub \(x=3\)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie \(\frac{(x^2-3x)(x+2)}{x^2-4}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A.jedno rozwiązanie.
B.dwa rozwiązania.
C.trzy rozwiązania.
D.cztery rozwiązania.
B
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresy funkcji liniowych \(f(x) = (2m + 3)x + 5\) oraz \(g(x) = -x\) nie mają punktów wspólnych dla
A.\( m=-2 \)
B.\( m=-1 \)
C.\( m=1 \)
D.\( m=2 \)
A
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\log_2\frac{1}{8} + \log_2 4\) jest równa
A.\( (-1) \)
B.\( \frac{1}{2} \)
C.\( 2 \)
D.\( 5 \)
A
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \((1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2\) jest równa
A.\( 0 \)
B.\( (-10) \)
C.\( 4\sqrt{5} \)
D.\( 2+2\sqrt{5} \)
C
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(0\) i \(2\) wyrażenie \(\frac{x^2+x}{(x-2)^2}\cdot \frac{x-2}{x}\) jest równe
A.\( \frac{x^2+1}{x-2} \)
B.\( \frac{x+1}{2} \)
C.\( \frac{x^2}{(x-2)^2} \)
D.\( \frac{x+1}{x-2} \)
D
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) reszta z dzielenia liczby \(49k^2+7k-2\) przez \(7\) jest równa \(5\).
Klient wpłacił do banku \(30\ 000\) zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(7\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa
A.\( 2100 \) zł
B.\( 2247 \) zł
C.\( 4200 \) zł
D.\( 4347 \) zł
D
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) iloczyn \(\sqrt{x}\cdot \sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[6]{x}\) jest równy
A.\( x \)
B.\( \sqrt[10]{x} \)
C.\( \sqrt[18]{x} \)
D.\( x^2 \)
A
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb całkowitych
dodatnich spełniających nierówność \(|x + 5| \lt 15\) jest
A.\( 9 \)
B.\( 10 \)
C.\( 20 \)
D.\( 21 \)
A
Pewien ostrosłup ma \(16\) wierzchołków.
Ile wierzchołków ma graniastosłup o takiej samej podstawie, jaką ma ten ostrosłup? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A.\( 17 \)
B.\( 30 \)
C.\( 32 \)
D.\( 45 \)
B