Jesteś tutaj: InneNajnowsze filmy

Najnowsze filmy

Na tej stronie umieszczam moje najnowsze filmy.
Czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg o promieniu \(R=5\sqrt{2}\). Przekątna \(BD\) tego czworokąta ma długość \(10\). Kąty wewnętrzne \(BAD\) i \(ADC\) czworokąta \(ABCD\) są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy \(\frac{3}{8}\). Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.
Na przeciwprostokątnej \(AB\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) zbudowano kwadrat \(ABDE\) (zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy \(k\). Wykaż, że suma tangensów kątów ostrych tego trójkąta jest równa \(\frac{1}{2k}\).
Rozwiąż równanie: \[\sin \left(x+\frac{1}{4}\pi \right)\cdot \cos\left(x+\frac{1}{4}\pi\right)=\frac{\sqrt{2}}{4}\]
\(x=-\frac{\pi}{8}+k\pi \lor x=\frac{\pi}{8}+k\pi\)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) większej od \(2\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(5x^2-6xy+3y^2-2x-4\gt0\).
Liczba \(x\) jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym \(1\) i ilorazie \(\frac{1}{\sqrt{3}}\). Liczba \(y\) jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym \(1\) i ilorazie \(\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\). Wynika stąd, że liczba \(x-y\) jest równa
A.\( 0 \)
B.\( \sqrt{3} \)
C.\( \frac{2}{\sqrt{3}-1} \)
D.\( 3 \)
B
Oblicz, ile jest liczb dziesięciocyfrowych takich, że suma cyfr w każdej z tych liczb jest równa \(13\) i żadna cyfra nie jest zerem. W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.
   
\(220\)
Prosta dana równaniem \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\) jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji \(f(x)=x^4-3x^3+x^2+x+5\) w punkcie
A.\( (-1,6) \)
B.\( (0,5) \)
C.\( (1,5) \)
D.\( (2,3) \)
C
Dane są dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest \(10\) kul: \(8\) białych i \(2\) czarne, w drugiej jest \(8\) kul: \(5\) białych i \(3\) czarne. Wylosowanie każdej z urn jest jednakowo prawdopodobne. Wylosowano jedną z tych urn i wyciągnięto z niej losowo jedną kulę. Wyciągnięta kula była czarna. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodziła z pierwszej z tych urn, jest równe
A.\( \frac{2}{18} \)
B.\( \frac{15}{23} \)
C.\( \frac{8}{23} \)
D.\( \frac{5}{18} \)
C
Liczba \(\log_29\) jest równa
A.\( \frac{1}{\log_34} \)
B.\( \log_34 \)
C.\( \frac{1}{\log_3\sqrt{2}} \)
D.\( \log_3\sqrt{2} \)
C
Proste o równaniach o \(y=3ax-2\) i \(y=2x+3a\) są prostopadłe. Wtedy \(a\) jest równe
A.\( \frac{2}{3} \)
B.\( -\frac{1}{6} \)
C.\( \frac{3}{2} \)
D.\( -5 \)
B
Rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa \(10\). Wyrazy \(a_3, a_5, a_{13}\) tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\).
\(a_n=3n-7\)
Funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2+bx+c\) nie ma miejsc zerowych. Wykaż, że \(1+c\gt b\).
Dany jest czworokąt \(ABCD\), w którym \(|BC|=|CD|=|AD|=13\) (zobacz rysunek). Przekątna \(BD\) tego czworokąta ma długość \(10\) i jest prostopadła do boku \(AD\). Oblicz pole czworokąta \(ABCD\).
\(125\)
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{7}{5}\). Oblicz wartość wyrażenia \(2\sin \alpha \cos\alpha\).
\(\frac{24}{25}\)
Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości \(a\) i \(b\). Punkt \(O\) leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta i jest środkiem okręgu stycznego do przyprostokątnych tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że promień \(r\) tego okręgu jest równy \(\frac{ab}{a+b}\)
Rozwiąż równanie: \(\frac{6x-1}{3x-2}=3x+2\)
\(x=-\frac{1}{3}\) lub \(x=1\)
Rozwiąż nierówność: \(3x(x+1)\gt x^2+x+24\)
Liczba \(x\) jest dodatnia. Mediana zestawu czterech liczb: \(1+x,\ 1+2x,\ 4+3x,\ 1\), jest równa \(10\). Wtedy
A.\( x=6 \)
B.\( x=5{},5 \)
C.\( x=2{,}5 \)
D.\( x=1 \)
A
Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez \(5\), jest równe
A.\( \frac{2}{5} \)
B.\( \frac{5}{100} \)
C.\( \frac{5}{90} \)
D.\( \frac{18}{90} \)
D
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których cyfra \(7\) występuje dokładnie jeden raz, jest
A.\( 85 \)
B.\( 90 \)
C.\( 100 \)
D.\( 150 \)
A
Ostrosłupy prawidłowe trójkątne \(O_1\) i \(O_2\) mają takie same wysokości. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa \(O_1\) jest trzy razy dłuższa od długości krawędzi podstawy ostrosłupa \(O_2\). Stosunek objętości ostrosłupa \(O_1\) do objętości ostrosłupa \(O_2\) jest równy
A.\( 3:1 \)
B.\( 1:3 \)
C.\( 9:1 \)
D.\( 1:9 \)
C
Przekątna sześcianu ma długość \(5\sqrt{3}\). Wtedy objętość tego sześcianu jest równa
A.\( 125 \)
B.\( 75 \)
C.\( 375\sqrt{3} \)
D.\( 125\sqrt{3} \)
A
W trapezie równoramiennym \(ABCD\) podstawy \(AB\) i \(CD\) mają długości równe odpowiednio \(a\) i \(b\) (przy czym \(a\gt b\)). Miara kąta ostrego trapezu jest równa \(30^\circ \). Wtedy wysokość tego trapezu jest równa
A.\( \frac{a-b}{2}\cdot \sqrt{3} \)
B.\( \frac{a-b}{6}\cdot \sqrt{3} \)
C.\( \frac{a+b}{2} \)
D.\( \frac{a+b}{4} \)
B
Dany jest trapez \(ABCD\), w którym boki \(AB\) i \(CD\) są równoległe oraz \(C=(3,5)\). Wierzchołki \(A\) i \(B\) tego trapezu leżą na prostej o równaniu \(y=5x+3\). Wtedy bok \(CD\) tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu
A.\( y=3x+5 \)
B.\( y=-\frac{1}{5}x+3 \)
C.\( y=5x-10 \)
D.\( y=-\frac{1}{5}x+\frac{28}{5} \)
C
Dane są punkty \(M=(6,0), N=(6,8)\) oraz \(O=(0,0)\). Tangens kąta ostrego \(MON\) jest równy
A.\( \frac{4}{3} \)
B.\( \frac{6}{10} \)
C.\( \frac{3}{4} \)
D.\( \frac{8}{10} \)
A
Kąt \(\alpha \) jest ostry oraz \(\sin \alpha =\frac{4}{5}\). Wtedy
A.\( \cos \alpha =\frac{1}{5} \)
B.\( \cos \alpha =-\frac{1}{5} \)
C.\( \cos \alpha =-\frac{3}{5} \)
D.\( \cos \alpha =\frac{3}{5} \)
D
Końcami odcinka \(PR\) są punkty \(P=(4,7)\) i \(R=(-2,-3)\). Odległość punktu \(T=(3,-1)\) od środka odcinka \(PR\) jest równa
A.\( \sqrt{3} \)
B.\( \sqrt{13} \)
C.\( \sqrt{17} \)
D.\( 6\sqrt{2} \)
B
Przez punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego \(ABC\) poprowadzono prostą \(DE\) równoległą do podstawy \(AB\) (zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta \(ABC\) do pola trójkąta \(CDE\) jest równy
A.\( 9:4 \)
B.\( 4:1 \)
C.\( 4:9 \)
D.\( 3:2 \)
A
W romb o boku \(2\sqrt{3}\) i kącie \(60^\circ \) wpisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy
A.\( 3 \)
B.\( \frac{1}{2} \)
C.\( \frac{3}{4} \)
D.\( \frac{3}{2} \)
D
Ciągi \((a_n), (b_n)\) oraz \((c_n)\) są określone dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) następująco:
  • \(a_n=6n^2-n^3\)
  • \(b_n=2n+13\)
  • \(c_n=2^n\)
Wskaż zdanie prawdziwe.
A.Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.
B.Ciąg \((b_n)\) jest arytmetyczny.
C.Ciąg \((c_n)\) jest arytmetyczny.
D.Wśród ciągów \((a_n), (b_n), (c_n)\) nie ma ciągu arytmetycznego.
B
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=(-2)^n\cdot n+1\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Wtedy trzeci wyraz tego ciągu jest równy
A.\( -24 \)
B.\( -17 \)
C.\( -32 \)
D.\( -23 \)
D
Trójkąt \(ABC\) jest wpisany w okrąg o środku \(O\). Miara kąta \(CAO\) jest równa \(70^\circ \) (zobacz rysunek). Wtedy miara kąta \(ABC\) jest równa
A.\( 20^\circ \)
B.\( 25^\circ \)
C.\( 30^\circ \)
D.\( 35^\circ \)
A
Ciąg \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa \(5\), a pierwszy wyraz tego ciągu jest równy \((−3)\). Wtedy iloraz \(\frac{a_4}{a_2}\) jest równy
A.\( \frac{5}{3} \)
B.\( 2 \)
C.\( 6 \)
D.\( 25 \)
C
Ciąg \((x,y,z)\) jest geometryczny. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy \(64\). Stąd wynika, że \(y\) jest równe
A.\( 3\cdot 64 \)
B.\( \frac{64}{3} \)
C.\( 4 \)
D.\( 3 \)
C
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{8x-7}{2x^2+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(1\) jest równa
A.\( \frac{1}{5} \)
B.\( \frac{1}{3} \)
C.\( 1 \)
D.\( 2 \)
B
Na wykresie przedstawiono wykres funkcji \(f\) Wskaż zdanie prawdziwe.
A.Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \((−4, 5)\).
B.Funkcja \(f\) ma dwa miejsca zerowe.
C.Funkcja \(f\) dla argumentu \(1\) przyjmuje wartość \((−1)\).
D.Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \((−4, 5\rangle \).
D
Funkcja liniowa \(f(x)=(a-1)x+3\) osiąga wartość najmniejszą równą \(3\). Wtedy
A.\( a=-1 \)
B.\( a=0 \)
C.\( a=1 \)
D.\( a=3 \)
C
Zbiorem rozwiązań nierówności \(\frac{12-5x}{2}\lt3\Bigl(1-\frac{1}{2}x\Bigl)+7x\) jest
A.\( \Bigl(-\infty, \frac{7}{2}\Bigl) \)
B.\( \Bigl(\frac{2}{7}, +\infty\Bigl) \)
C.\( \Bigl(-\infty, \frac{3}{8}\Bigl) \)
D.\( \Bigl(\frac{3}{8}, +\infty\Bigl) \)
D
Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2(x-4)(x^2-1)=0\) jest równy
A.\( -8 \)
B.\( -4 \)
C.\( 4 \)
D.\( 8 \)
B
Para liczb \(x = 1\), \(y = −3\) spełnia układ równań \begin{cases} x-y=a^2 \\ (1+a)x-3y=-4a \end{cases} Wtedy \(a\) jest równe
A.\( 2 \)
B.\( -2 \)
C.\( \sqrt{2} \)
D.\( -\sqrt{2} \)
B
Dla każdej dodatniej liczby \(b\) wyrażenie \((\sqrt[2]{b}\cdot \sqrt[4]{b})^{\frac{1}{3}}\) jest równe
A.\( b^2 \)
B.\( b^{0{,}25} \)
C.\( b^{\frac{8}{3}} \)
D.\( b^\frac{4}{3} \)
B
Medyczna maseczka ochronna wielokrotnego użytku z wymiennymi filtrami wskutek podwyżki zdrożała o \(40\%\) i kosztuje obecnie \(106{,}40\) zł. Cena maseczki przed podwyżką była równa
A.\( 63{,}84 \) zł
B.\( 65{,}40 \) zł
C.\( 76{,}00 \) zł
D.\( 66{,}40 \) zł
C
Liczba \(2\log_54-3\log_5\frac{1}{2}\) jest równa
A.\( -\log_5\frac{7}{2} \)
B.\( 7\log_52 \)
C.\( -\log_52 \)
D.\( \log_52 \)
B
Liczba \((\sqrt{6}-\sqrt{2})^2-2\sqrt{3}\) jest równa
A.\( 8-6\sqrt{3} \)
B.\( 8-2\sqrt{3} \)
C.\( 4-2\sqrt{3} \)
D.\( 8-4\sqrt{3} \)
A
Rozwiąż równania:
\(|x^2+x-3|=|x+1|\)
\(|x^2+5|=\biggl| 4|x|+1 \biggl|\)
Rozwiąż równanie: \(\left|\frac{x-\pi}{x^2}\right|=-\Bigl|\pi^{\sin x}-1\Bigl|\)
\(x=\pi\)
Rozwiąż równania:
\(|x-1|+|x+3|=4\)
\(|x+2|=7-\sqrt{x^2}\)
\(|1-x|+\sqrt{x^2-6x+9}-3=0\)