Jesteś tutaj: InneNajnowsze filmy

Najnowsze filmy

Na tej stronie umieszczam moje najnowsze filmy.
Dane są liczby zespolone: \(z=5-2i\) oraz \(w=3+4i\). Oblicz:
\(\frac{z-w}{\overline{z}-\overline{w} }\)
\(\frac{\text{Re}(z)+i\ \text{Im}(w)}{z+w}\)
Oblicz wyznacznik macierzy: \(\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \)
Oblicz wyznacznik macierzy: \(\begin{bmatrix} 2 & 7 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 7 & 0 & 2 \\ -3 & -2 & 4 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
W tym filmie wyjaśniam twierdzenie Talesa i pokazuję jak je stosować na przykładach.
Czas nagrania: 16 min.
Zbadaj czy istnieje wartość najmniejsza funkcji \(f(x)=\operatorname{ctg} (x)+\frac{\operatorname{tg} (x)}{2}\) oraz znajdź jej minima lokalne.
Adam, Bartek i Czarek mają za zadanie zgrabić liście z boiska. Adam sam wykonałby całą pracę w \(6\) godzin, Bartek w \(8\) godzin, a Czarek w \(12\) godzin. Gdyby pracowali razem, to wydajność każdego z nich byłaby o \(33,(3)\%\) większa. Ile czasu zajmie zgrabienie całego boiska wszystkim trzem chłopakom, jeśli będą pracowali razem?
\(2\) godziny
Prosta \(k\) przechodzi przez punkt \(P=(0,5)\) i jest prostopadła do prostej \(l: y+x-3=0\). Prosta \(m: y=-\frac{1}{5}x+\frac{7}{5}\) przecina prostą \(k\) w punkcie \(A\), a prostą \(l\) w punkcie \(B\). Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(C\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\).
\(6\)
Ciąg \((a,b,c)\) jest geometryczny, a ciąg \(\left(a,\frac{c}{6},b-4\right)\) jest arytmetyczny. Ponadto \(a+b+c=52\). Wyznacz \(a,b,c\). Znajdź wszystkie rozwiązania.
\(a=4, b=12, c=36\) lub \(a=64,b=-48,c=36\)
Ramiona trapezu równoramiennego \(ABCD\) przedłużono i przecięły się w punkcie \(E\) (patrz rysunek). Wiadomo, że \(|CD|=4, |DE|=6\) oraz \(|AB|=|CE|\). Oblicz pole trapezu \(ABCD\).
\(10\sqrt{2}\)
Spośród dodatnich liczb trzycyfrowych losujemy kolejno bez zwracania trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania trzech liczb nieparzystych.
\(\frac{112}{899}\)
Dany jest stożek, którego powierzchnia boczna jest \(2\) razy większa od pola jego podstawy. Kąt rozwarcia tego stożka oznaczmy literką \(\alpha \). Wykaż, że suma miejsc zerowych funkcji \(f(x)=(x - \operatorname{tg}^2 \alpha)(x-2) \) jest liczbą pierwszą.
Kąt \(\alpha \) jest ostry i spełniona jest równość \(\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{\sqrt{3}}\). Udowodnij, że istnieje liczba całkowita \(k\), taka, że \(\frac{\sin^2 \alpha +\sin^2 (90^\circ +\alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} = k\sqrt{3}+k\).
\(k=1\)
Rozwiąż nierówność: \(x^2-4x+4\ge-1\).
\(x\in \mathbb{R} \)
Liczba \(10\) jest przybliżeniem z nadmiarem liczby \(a\). Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy \(0{,}4\). Błąd względny tego przybliżenia, to
A.\( 4\% \)
B.\( 4{,}1(6)\% \)
C.\( 4{,}(4)\% \)
D.\( 40\% \)
B
W urnie znajduje się \(7\) kul czarnych, \(8\) kul białych i \(9\) kul zielonych. Losujemy z urny \(3\) kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy trzy kule różnych kolorów?
A.\( \frac{3}{7\cdot 8\cdot 9} \)
B.\( \frac{7\cdot 9}{11\cdot 23} \)
C.\( \frac{7\cdot 8\cdot 9}{24^3} \)
D.\( \frac{7\cdot 8\cdot 9}{22\cdot 23\cdot 24} \)
B
Jeżeli do zestawu trzech danych: \(3, 5, x\) dołączymy liczbę \(1\), to średnia arytmetyczna zmniejszy się o \(2\). Zatem
A.\( x=-12 \)
B.\( x=11 \)
C.\( x=19 \)
D.\( x=29 \)
C
Ile jest liczb czterocyfrowych, takich, że suma cyfr danej liczby jest nie większa niż \(3\)?
A.\( 12 \)
B.\( 13 \)
C.\( 14 \)
D.\( 15 \)
D
Suma liczby krawędzi i liczby wierzchołków ostrosłupa jest równa \(2020\). W podstawie tego ostrosłupa jest wielokąt o
A.\(505\) krawędziach.
B.\(673\) krawędziach.
C.\(721\) krawędziach
D.\(1010\) krawędziach
B
Przekątna przekroju osiowego walca jest równa \(4\). Przekątna ta tworzy z bokiem odpowiadającym wysokości kąt \(30^\circ \). Objętość walca wynosi
A.\( 2\sqrt{3}\pi \)
B.\( 3\sqrt{2}\pi \)
C.\( 8\sqrt{3}\pi \)
D.\( \frac{8\sqrt{3}\pi}{3} \)
A
Sześcian o krawędzi długości \(\sqrt{2}\) przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki boków, tak jak pokazano na rysunku. Pole otrzymanego przekroju jest równe
A.\( \frac{3\sqrt{3}}{2} \)
B.\( \frac{6\sqrt{3}}{2} \)
C.\( \frac{\sqrt{3}}{4} \)
D.\( \frac{3\sqrt{3}}{4} \)
A
Najmniejszą wartością funkcji \(f(x) = (1-x)(x-5)\) w przedziale \(\langle -1, 5\rangle\) jest
A.\( 6 \)
B.\( 0 \)
C.\( -6 \)
D.\( -12 \)
D
Okręgi o środkach \(S_1=(6,0)\) oraz \(S_2=(6,2)\) są styczne wewnętrznie. Promień okręgu o środku \(S_1\) jest równy \(\frac{3}{2\sin 30^\circ }\). Największa możliwa różnica pól tych okręgów jest równa
A.\( 4\pi \)
B.\( 8\pi \)
C.\( 16\pi \)
D.\( 24\pi \)
C
Pole trójkąta przedstawionego na rysunku wynosi
A.\( \frac{3}{4}\sqrt{2} \)
B.\( \sqrt{6} \)
C.\( \frac{\sqrt{6}}{2} \)
D.\( \frac{\sqrt{6}}{4} \)
A
Dane są funkcje \(f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x\) oraz \(g(x) = -f(-x)\), określone dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Punkt wspólny wykresów funkcji \(f\) i \(g\)
A.nie istnieje
B.ma współrzędne \((1, 0)\).
C.ma współrzędne \((0, 1)\).
D.ma współrzędne \((0, 0)\).
A
Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest niemonotoniczny oraz \(\frac{a_{13}}{a_9}=64\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy
A.\( -\sqrt{2} \)
B.\( 2 \)
C.\( 2\sqrt{2} \)
D.\( -2\sqrt{2} \)
D
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =\sqrt{2}-1\). Wtedy wyrażenie \(\frac{1}{|\sin^2 \alpha- 2\cos \alpha-1|}\) jest równe
A.\( -1 \)
B.\( 0 \)
C.\( 1 \)
D.\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
C
Wysokość trójkąta równobocznego jest równa \(3\sqrt{3}\). Pole koła opisanego na tym trójkącie jest równe
A.\( 2\pi\sqrt{3} \)
B.\( 4\pi\sqrt{3} \)
C.\( 6\pi \)
D.\( 12\pi \)
D
Na rysunku zaznaczono kąt środkowy okręgu o mierze \(250^\circ \) oraz kąt prosty pod jakim przecinają się dwie cięciwy. Zaznaczony kąt \(\alpha \) ma miarę
A.\( 30^\circ \)
B.\( 35^\circ \)
C.\( 40^\circ \)
D.\( 45^\circ \)
B
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) dla którego suma pierwszych \(n\) wyrazów wyraża się wzorem \(S_n=\frac{3}{2}n^2-\frac{11}{2}n\). Wówczas wartość wyrażenia \(\frac{a_5+a_7}{2}\) jest równa
A.\( 11 \)
B.\( \frac{11}{2} \)
C.\( \frac{3}{2} \)
D.\( 3 \)
A
Układ równań \(\begin{cases} 2x-y-3=0 \\ -4x+2y-5=0 \end{cases} \)
A.nie ma rozwiązań.
B.ma dokładnie jedno rozwiązanie.
C.ma dokładnie dwa rozwiązania.
D.ma nieskończenie wiele rozwiązań.
A
Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_1=-1\) oraz \(x_2=3\). Ponadto \(a=2x_1-x_2\). Parabola będąca wykresem funkcji \(f\) ma wierzchołek w punkcie:
A.\( W=(-1, 5) \)
B.\( W=(1,5) \)
C.\( W=(1,20) \)
D.\( W=(1,-20) \)
C
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{4x+12}{2}-\frac{17}{2}\gt -3x\) jest przedział
A.\( \Biggl( \frac{1}{5}, +\infty \Biggl) \)
B.\( \Biggl( \frac{1}{2}, +\infty \Biggl) \)
C.\( \Biggl( -\infty ,\frac{1}{5} \Biggl) \)
D.\( \Biggl( -\infty ,\frac{1}{2} \Biggl) \)
B
Prosta \(k: y=(k^2-4)x+2\) jest prostopadła do prostej \(l: y=\frac{x}{2}-k^2\) dla
A.\( k=\sqrt{2} \) oraz \(k=-\sqrt{2}\)
B.\( k=2 \) oraz \(k=-2\)
C.\( k=\sqrt{2} \)
D.\( k=2 \)
A
Wirus rozprzestrzenia się w tempie wykładniczym zwiększając liczbę zarażonych osób dwukrotnie przez okres \(4\) dni. Jeżeli 3 kwietnia 2020 liczba zarażonych osób wyniosła \(100\), to ile osób będzie zarażonych 27 kwietnia 2020 (zakładamy, że tempo rozprzestrzeniania się wirusa jest niezmienne przez cały rozważany okres czasu)?
A.\( 6\cdot 10^2 \)
B.\( 2{,}4\cdot 10^3 \)
C.\( 6{,}4\cdot 10^3 \)
D.\( 100\cdot 2^{23} \)
C
Cena smartfona po obniżce o \(10\%\) była równa \(999\) zł. Przed obniżką ten smartfon kosztował
A.\( 1100 \) zł
B.\( 1110 \) zł
C.\( 1111 \) zł
D.\( 1111,11 \) zł
B
Wartość wyrażenia \(\sqrt[3]{\log_315-\frac{\log_3125}{\log_28}}\) jest równa
A.\( -1 \)
B.\( 1 \)
C.\( \log_23 \)
D.\( \log_35 \)
B
Liczba \(4^{610}\cdot 16^{200}\) jest równa:
A.\( 2^{810} \)
B.\( 2^{1010} \)
C.\( 2^{2020} \)
D.\( 2^{4040} \)
C
Niech \(a=\frac{1}{2}\), \(b=9\), \(c=8\). Wartość wyrażenia \(b^a-\log_ac\) jest równa
A.\( -3 \)
B.\( 0 \)
C.\( 3 \)
D.\( 6 \)
D
Pudełko w kształcie prostopadłościanu o wymiarach przedstawionych na rysunku zawiera \(32\) czekoladki. Każda czekoladka ma kształt prostopadłościanu o wymiarach \(2\) cm, \(2\) cm i \(1{,}5\) cm. Ile procent objętości pudełka stanowi objętość wszystkich czekoladek
Pan Kazimierz przejechał trasę o długości \(90\) km w czasie \(1{,}5\) godziny. W drodze powrotnej tę samą trasę pokonał w czasie o \(15\) minut krótszym. O ile kilometrów na godzinę była większa jego średnia prędkość jazdy w drodze powrotnej? Zapisz obliczenia.
Trapez równoramienny \(ABCD\), którego pole jest równe \(72\) \(\text{cm}^2\), podzielono na trójkąt \(AED\) i trapez \(EBCD\). Odcinek \(AE\) ma długość równą \(4\) cm, a odcinek \(CD\) jest od niego \(2\) razy dłuższy. Oblicz pole trójkąta \(AED\).
Zmieszano \(40\) dag rodzynek w cenie \(12\) zł za kilogram oraz \(60\) dag pestek dyni w cenie \(17\) zł za kilogram. Ile kosztuje \(1\) kilogram tej mieszanki? Zapisz obliczenia.
Długości boków czworokąta opisano za pomocą wyrażeń algebraicznych, tak jak pokazano na rysunku. Uzasadnij, że jeśli obwód tego czworokąta jest równy \(100\) cm, to jest on rombem. Zapisz obliczenia.
W tabeli podano cenniki dwóch korporacji taksówkowych. Należność za przejazd składa się z jednorazowej opłaty początkowej i doliczonej do niej opłaty zależnej od długości przejechanej trasy. Pan Jan korzystał z Taxi „Jedynka”, a pan Wojciech – z Taxi „Dwójka”. Obaj panowie pokonali trasę o tej samej długości i zapłacili tyle samo. Ile kilometrów miała trasa, którą przejechał każdy z nich? Zapisz obliczenia.
Średnia arytmetyczna dwóch ocen Janka z matematyki jest równa \(3{,}5\).
Jaką trzecią ocenę musi uzyskać Janek, by średnia jego ocen była równa \(4\)?
A.\( 3 \)
B.\( 4 \)
C.\( 5 \)
D.\( 6 \)
Małe trójkąty równoboczne o bokach długości \(1\) układano obok siebie tak, że uzyskiwano kolejne, coraz większe trójkąty równoboczne, według reguły przedstawionej na poniższym rysunku. Ile małych trójkątów równobocznych należy użyć, aby ułożyć trójkąt równoboczny o podstawie równej \(5\)? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych
A.\( 9 \)
B.\( 16 \)
C.\( 25 \)
D.\( 50 \)
W okręgu o środku \(S\) i promieniu \(5\) cm narysowano cięciwę \(AB\) o długości \(8\) cm. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest równa \(3\) cm.PF
Obwód trójkąta \(ASB\) jest równy \(16\) cm.PF
Figura zacieniowana na rysunku jest równoległobokiem. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Suma miar kątów \(\alpha \) i \(\beta \) wynosi \(180^\circ \). PF
Kąt \(\alpha \) ma miarę \(3\) razy mniejszą niż kąt \(\beta \). PF
Na rysunku przedstawiono trójkąt równoramienny \(KLM\) o ramionach \(KM\) i \(LM\). Miara kąta \(KML\) jest dwa razy większa niż miara kąta \(KLM\).
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Miara kąta \(KLM\) jest równa
A
B
A.\( 40^\circ \)
B.\( 45^\circ \)
Trójkąt KLM jest
C
D
C.rozwartokątny
D.prostokątny
Trójkąt, w którym długości boków są do siebie w stosunku \(3 : 4 : 5\) nazywa się trójkątem egipskim.
Z odcinków o jakich długościach nie można zbudować trójkąta egipskiego? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A.\( 6, 8, 10 \)
B.\( 9, 12, 15 \)
C.\( 12, 20, 25 \)
D.\( 21, 28, 35 \)
Sprzedawca kupił od ogrodnika róże i tulipany za łączną kwotę \(580\) zł. Jeden tulipan kosztował \(1{,}20\) zł, a cena jednej róży była równa \(4\) zł. Sprzedawca kupił o \(50\) tulipanów więcej niż róż.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Jeśli liczbę zakupionych tulipanów oznaczymy przez \(t\), to podane zależności opisuje równanie
A.\( 1{,}2(t+50)+4t=580 \)
B.\( 1{,}2(t–50)+4t=580 \)
C.\( 1{,}2t+4(t–50)=580 \)
D.\( 1{,}2t+4(t+50)=580 \)
Marta przygotowała dwa żetony takie, że suma liczb zapisanych na obu stronach każdego żetonu jest równa zero. Widok jednej ze stron tych żetonów przedstawiono poniżej. Jakie liczby znajdują się na niewidocznych stronach tych żetonów?
A.\( -25 \) i \(-8\)
B.\( -25 \) i \(8\)
C.\( 25 \) i \(-8\)
D.\( 25 \) i \(8\)
W układzie współrzędnych zaznaczono trójkąt \(ABC\) oraz punkt \(P\) należący do boku \(BC\). Wszystkie współrzędne punktów \(A\), \(B\), \(C\) i \(P\) są liczbami całkowitymi. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Pole trójkąta \(PAB\) jest równe polu trójkąta \(PAC\).PF
Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(21\).PF
Oskar jest o \(6\) lat starszy od swoich braci bliźniaków. Obecnie Oskar i jego dwaj bracia mają razem \(42\) lata.
Ile lat ma obecnie każdy z bliźniaków? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A.\( 18 \)
B.\( 16 \)
C.\( 14 \)
D.\( 12 \)
Miejscowości \(A\) i \(B\) położone na przeciwległych brzegach jeziora są połączone dwiema drogami – drogą polną prowadzącą przez punkt \(P\) i drogą leśną prowadzącą przez punkt \(L\). Długość drogi polnej \(APB\) wynosi \(10\) km, a długość drogi leśnej \(ALB\) jest równa \(6\) km. Matylda i Karol wyruszyli na rowerach z miejscowości \(A\) do miejscowości \(B\) o godzinie \(10{:}00\). Matylda jechała drogą leśną, a Karol – drogą polną. Średnia prędkość jazdy Matyldy wynosiła \(15\frac{\text{km}}{\text{h}}\), a średnia prędkość Karola była równa \(20\frac{\text{km}}{\text{h}}\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Do miejscowości \(B\) Karol przyjechał wcześniej niż Matylda.PF
Matylda przyjechała do miejscowości \(B\) o godzinie \(10{:}24\).PF
Na treningu odmierzano za pomocą aplikacji komputerowej \(15\)-minutowe cykle ćwiczeń, które następowały bezpośrednio jeden po drugim. Ola zaczęła ćwiczyć, gdy pierwszy cykl trwał już \(2\) minuty, a skończyła, gdy do końca trzeciego cyklu zostało jeszcze \(7\) minut.
Ile łącznie minut Ola ćwiczyła na zajęciach? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A.\( 36 \)
B.\( 35 \)
C.\( 24 \)
D.\( 21 \)
Wartość wyrażenia \(\frac{4}{3}\cdot 3-2^3\) jest równa
A.\( -\frac{14}{3} \)
B.\( -4 \)
C.\( -7 \)
D.\( -\frac{8}{3} \)
E.\( -2 \)
W liczbie pięciocyfrowej \(258\#4\), podzielnej przez \(4\) i niepodzielnej przez \(3\), cyfrę dziesiątek zastąpiono znakiem „\(\#\)”.
Jakiej cyfry na pewno nie zastąpiono znakiem „\(\#\)”? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A.\( 0 \)
B.\( 4 \)
C.\( 6 \)
D.\( 8 \)
Na diagramie kołowym przedstawiono procentowy udział soków o różnych smakach, które zostały sprzedane podczas festynu. Najmniej sprzedano soku pomidorowego, tylko \(15\) kartonów, a najwięcej – soku jabłkowego. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Sprzedano łącznie \(125\) kartonów soków.PF
Sprzedano o \(30\) kartonów więcej soku jabłkowego niż pomidorowego. PF
W tym filmiku pokazuję metodę obliczania NWD i NWW na pięciu przykładach.
Czas nagrania: 15 min.
Jak bez oderwania ołówka nakreślić figury zamieszczone na rysunkach?
W ilu punktach przecinają się przekątne \(9\)-kąta foremnego?
\(126\)
Oblicz ile jest liczb sześciocyfrowych, w zapisie których występuje cyfra \(6\) i ponadto każda kolejna cyfra (z wyjątkiem pierwszej) jest większa od poprzedniej.
\(56\)
Punkty \(A, B, C\) i \(D\) to środki okręgów, które są styczne zewnętrznie, tak jak pokazano na rysunku. Udowodnij, że w czworokąt \(ABCD\) można wpisać okrąg.
W stożek o promieniu podstawy \(R\) i wysokości \(H\) wpisano drugi stożek w ten sposób, że jego wierzchołek leży w środku podstawy danego stożka, a brzeg podstaw leży na powierzchni bocznej. Wyznacz wysokość stożka wpisanego, przy której ma on największą objętość.
\(\frac{1}{3}H\)
W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych narysowano styczną do wykresu funkcji \(y=\frac{1}{x}\). Wykaż, że pole trójkąta ograniczonego styczną i osiami układu współrzędnych jest stałe, niezależnie od wyboru punktu styczności. Oblicz to pole.
\(P=2\)
W tym filmiku omawiam strategię wygrywającą dla gry w zapałki.
Wykaż, że poniższa liczba jest wymierna: \[9\log_{\sqrt{6^3}}\sqrt{12}+2\log_{\sqrt[3]{6}}\sqrt{3}\]
Ta liczba jest równa \(6\).
Ile wynosi pole poniższej figury wyznaczonej za pomocą cyrkla o rozstawie 1?
\(4\)