Najnowsze filmy

Ciężarówka ma do pokonania trasę długości \(S\) km, poruszając się po autostradzie ze stałą prędkością \(v\) km/h. Minimalna prędkość dla ciężarówek na autostradzie wynosi \(40\) km/h, maksymalna - \(80\) km/h. Wiemy, że litr paliwa kosztuje \(8\) złotych, a kierowca otrzymuje \(42\) złote za godzinę swej pracy. Zużycie paliwa w ciągu jednej godziny jazdy autostradą w zależności od prędkości \(v\) wyrażone w litrach można opisać funkcją \(f(v)=7+\frac{v^2}{400}\).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=x^4-2x^3+x^2-1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \in [-1, 3]\).

Trójkąt \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\), jest wpisany w okrąg o promieniu \(R\). Środek tego okręgu leży wewnątrz trójkąta \(ABC\). Niech \(x\) oznacza odległość środka okręgu od podstawy \(AB\).

Dany jest okrąg o promieniu \(R\). Rozważamy wszystkie trójkąty spełniające warunki:

• są wpisane w ten okrąg
• mają obwody równe 3R
• mają jeden z boków dwukrotnie dłuższy od drugiego.

Grażyna planuje zrobienie pudełka (bez wieczka) w kształcie prostopadłościanu. W tym celu zamierza wykorzystać prostokątny kawałek tektury o wymiarach \(10 \text{ cm} \times 16 \text{ cm}\), odcinając z każdego rogu kwadrat o boku \(x\) cm (zobacz rysunek).

Dom \(D\) stoi w odległości \(5\) km od prostoliniowego odcinka drogi. W chwili początkowej Janusz znajduje się na tej drodze w punkcie \(A\) oddalonym od domu \(D\) o \(13\) km (zobacz rysunek). Janusz może iść drogą z maksymalną prędkością \(5\) km/h, zaś poza nią może poruszać się z maksymalną prędkością \(3\) km/h.

W pewien okrąg wpisano czworokąt \(ABCD\) taki, że \(|AB| = 10\), \(|CD| = 6\) oraz \(|BC| = |BD|\). Styczna do tego okręgu w punkcie \(C\) tworzy z bokiem \(CD\) kąt \(\alpha\) o mierze \(30^\circ\) (zobacz rysunek).

W trapezie \(ABCD\) przekątna \(BD\) jest dwusieczną kąta \(CBA\) i przecina przekątną \(AC\) w punkcie \(K\), takim, że \(|CK|:|KA| = 1 : 3\). Pole tego trapezu jest równe \(100(\sqrt{6}-\sqrt{2})\), \(\sin\sphericalangle BAD=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\), \(|AD| = 10\) oraz kąt \(BAD\) jest ostry.

Punkt \(D\) leży wewnątrz trójkąta \(ABC\). Prosta przechodząca przez punkt \(D\) i równoległa do boku \(AC\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(K\), a bok \(BC\) w punkcie \(L\). Prosta przechodząca przez punkt \(D\) i równoległa do boku \(BC\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(M\), a bok \(AC\) w punkcie \(N\) (zobacz rysunek). Stosunek obwodu trójkąta \(KMD\) do obwodu trójkąta \(KBL\) jest równy \(5 : 7\), a stosunek obwodu trójkąta \(KMD\) do obwodu trójkąta \(AMN\) jest równy \(5 : 8\). Pole czworokąta \(DLCN\) jest równe \(15\).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=\frac{\sqrt{2x}}{5+x^2}-3^{-x-1}\] dla każdej nieujemnej liczby rzeczywistej \(x\).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\sqrt{1+4x}\) dla \(x\in\left[-\frac{1}{4},+\infty \right)\).

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Ciąg \((a_1\cdot a_2,\ a_2\cdot a_3,\ a_3\cdot a_1, )\) jest geometryczny i ma wyrazy różne od zera.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dane są dwie proste \(l_1\) oraz \(l_2\). Kąt między tymi prostymi ma miarę \(45^\circ\). Współczynnik kierunkowy w równaniu prostej \(l_1\) jest równy \(\frac{2}{3}\).

Rozwiąż równanie \[\cos^2x-\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin x\cos x-\sin^2x=0\] w przedziale \([-\pi,\pi]\). Zapisz obliczenia.

Na szczycie wieży o wysokości \(h\) umieszczono pionowo antenę radiową stacji nadawczej o długości \(l\) (\(l\gt h\)). Punkt \(O\) leży na płaszczyźnie poziomej przechodzącej przez podnóże wieży, a punkt \(A\) znajduje się na końcu anteny. Koniec anteny \(A\) widać z punktu \(O\) pod dwukrotnie większym kątem niż wieżę (zobacz rysunek).

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) prawdziwe są nierówności \[2(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})\lt\frac{1}{\sqrt{n+1}}\quad \text{i}\quad \frac{1}{\sqrt{n+1}}\lt2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\]

Rozwiąż układ równań \[\begin{cases} x^2-2x+y^2=24 \\ x^2-10x+y^2-8y+40=0 \end{cases}\] Zapisz obliczenia.

Dane są funkcje \(k\) oraz \(p\). Funkcja \(k\) jest określona wzorem \(k(x) = 5 - x^2\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Funkcja \(p\) jest określona wzorem \(p(x) =\sqrt{1-x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) nie większej od \(1\). Funkcje \(f\) oraz \(g\) są określone następująco:

W rozwinięciu wyrażenia \((a + b)^n\) dla pewnego \(n \in \mathbb{N} \) suma współczynników przy wyrazach \(a^{n-2}b^2\) oraz \(a^{n-1}b\) jest równa \(66\).

Niech \(a\), \(b\), \(c\) będą takimi liczbami całkowitymi, że \(a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{6}=0\).

Suma liczb całkowitych \(x\) i \(y\) jest podzielna przez \(3\).

Rozpatrzmy liczby naturalne większe od \(1000\), w których zapisie występuje tylko cyfra 1: \[a=\underbrace{11...111}_{n}\]

Niech \(a\), \(b\) będą liczbami całkowitymi, dla których zachodzi równość \(2a^2+a=3b^2+b\).

Liczby \(a\), \(b\), \(c\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy równej \(7\). Jedna z tych liczb jest wielokrotnością liczby \(7\).

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po \(196\) złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

• przychód \(P\) (w złotych) ze sprzedaży \(x\) krzeseł można opisać funkcją \(P(x) = 196x\)
• koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) krzeseł dziennie można opisać funkcją \[K(x) = 4x^2 + 4x + 240\]

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej \(30\) krzeseł. Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk. Zapisz obliczenia.

Oblicz wartość wyrażenia \[\log_83^{3\log_32-\log_{27}8-\log_94}\] Zapisz obliczenia.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest

Ze zbioru pięciu liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie.

Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku. Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste o równaniach:

• \(y = \sqrt{3}x + 6\)
• \(y = -\sqrt{3}x + 6\)
• \(y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x - 2\),

przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta \(KLM\). Trójkąt \(KLM\) jest

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkt \(A = (-1, -4)\) jest wierzchołkiem równoległoboku \(ABCD\). Punkt \(S = (2, 2)\) jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Długość przekątnej \(AC\) równoległoboku \(ABCD\) jest równa

Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\), w którym podstawa \(CD\) ma długość \(6\), ramię \(AD\) ma długość \(4\), a kąty \(BAD\) oraz \(ABC\) mają miarę \(60^\circ\) (zobacz rysunek).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są prosta \(k\) o równaniu \(y=\frac{3}{4}x-\frac{7}{4}\) oraz punkt \(P = (12, -1)\). Prosta przechodząca przez punkt \(P\) i równoległa do prostej \(k\) ma równanie

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest okrąg \(O\) o środku \(S = (-1, 2)\) i promieniu \(3\). Okrąg \(O\) jest określony równaniem

W okręgu \(O\) kąt środkowy \(\beta\) oraz kąt wpisany \(\alpha\) są oparte na tym samym łuku. Kąt \(\beta\) ma miarę o \(40^\circ\) większą od kąta \(\alpha\). Miara kąta \(\beta\) jest równa

W trójkącie \(ABC\) długość boku \(AC\) jest równa \(3\), a długość boku \(BC\) jest równa \(4\). Dwusieczna kąta \(ACB\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(D\). Stosunek \(|AD|:|DB|\) jest równy

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{7}\) . Sinus kąta \(\alpha\) jest równy

Trapez \(T_1\), o polu równym \(52\) i obwodzie \(36\), jest podobny do trapezu \(T_2\). Pole trapezu \(T_2\) jest równe \(13\). Obwód trapezu \(T_2\) jest równy

Koło ma promień równy \(3\). Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym \(30^\circ\) jest równy

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=(-1)^n\cdot \frac{n+1}{2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy \(128\), natomiast iloraz ciągu jest równy \(\left(-\frac{1}{2}\right)\).

Wyraz \(a_{2023}\) jest liczbą ujemną.	P	F
Różnica \(a_3 - a_2\) jest równa 96.	P	F

Ciąg \((3x^2+5x,x^2,20-x^2)\) jest arytmetyczny.

Funkcje \(A, B, C, D, E\) oraz \(F\) są określone dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wzory tych funkcji podano poniżej. Przedział \((-\infty, 2]\) jest zbiorem wartości funkcji ............. oraz ............. .

Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=\frac{x-k}{x^2+1}\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek \(f(1) = 2\). Wartość współczynnika \(k\) we wzorze tej funkcji jest równa

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(x-13)^2-256\). Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba \((-3)\). Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba

Rozwiąż równanie \[3x^3-2x^2-3x+2=0\] Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), punkt \((-8, 6)\) jest punktem przecięcia prostych o równaniach

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) jest liczba \(1\). Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt \((-1, 4)\). Wzór funkcji \(f\) ma postać

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(0\) wartość wyrażenia \(\frac{1}{2x}-x\) jest równa wartości wyrażenia

Równanie \(\frac{(x^2-3x)(x^2+1)}{x^2-25}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) liczba \(3n^3+18n^2+15n\) jest podzielna przez \(6\).

Wartość wyrażenia \(\frac{3^{-1}}{\left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}}\cdot 81\) jest równa

Wartość wyrażenia \((2-\sqrt{3})^2-(\sqrt{3}-2)^2\) jest równa

Liczba \(3\sqrt{45}-\sqrt{20}\) jest równa

Liczba \(\log_{25}1-\frac{1}{2}\log_{25}5\) jest równa

Dana jest nierówność \[|x - 5| \lt 2\]

Działka ma kształt trapezu. Podstawy \(AB\) i \(CD\) tego trapezu mają długości \(|AB| = 400\) m oraz \(|CD| = 100\) m. Wysokość trapezu jest równa \(75\) m, a jego kąty \(DAB\) i \(ABC\) są ostre.
Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie \(AB\) tego trapezu, a dwa pozostałe - \(E\) oraz \(F\) - na ramionach \(AD\) i \(BC\) trapezu (zobacz rysunek). Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu \(ABCD\) jest sumą pól trapezów \(ABFE\) oraz \(EFCD\): \[P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\]

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej \(3\) jest

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych - od \(1\) do \(8\) - losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby \(8\).

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny \(ABCDEFA'B'C'D'E'F'\), w którym krawędź podstawy ma długość \(5\). Przekątna \(AD'\) tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(45^\circ\) (zobacz rysunek). Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A = (-1, 5)\) oraz \(C = (3, -3)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Pole kwadratu \(ABCD\) jest równe

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są punkty \(A = (1, 7)\) oraz \(P = (3, 1)\). Punkt \(P\) dzieli odcinek \(AB\) tak, że \(|AP|:|PB|=1:3\). Punkt \(B\) ma współrzędne

Pole równoległoboku \(ABCD\) jest równe \(40\sqrt{6}\). Bok \(AD\) tego równoległoboku ma długość \(10\), a kąt \(ABC\) równoległoboku ma miarę \(135^\circ\) (zobacz rysunek). Długość boku \(AB\) jest równa

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = -x + 1\). Funkcja \(g\) jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykres funkcji \(g\) przechodzi przez punkt \(P = (0, -1)\) i jest prostopadły do wykresu funkcji \(f\). Wzorem funkcji \(g\) jest

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(S\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\). Prosta \(l\) przecina ten okrąg w punktach \(B\) i \(C\). Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(D\), przy czym \(|BC| = 4\) i \(|CD| = 3\) (zobacz rysunek). Odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) jest równa

W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).

Trójkąt \(ABE\) jest podobny do trójkąta \(CDE\).	P	F
Pole trójkąta \(ACD\) jest równe polu trójkąta \(BCD\).	P	F

Na łukach \(AB\) i \(CD\) okręgu są oparte kąty wpisane \(ADB\) i \(DBC\), takie, że \(|\sphericalangle ADB| = 20^\circ\) i \(|\sphericalangle DBC| = 40^\circ\) (zobacz rysunek). Cięciwy \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(K\). Miara kąta \(DKC\) jest równa

Pole trójkąta równobocznego \(T_1\) jest równe \(\frac{(1{,}5)^2\sqrt{3}}{4}\). Pole trójkąta równobocznego \(T_2\) jest równe \(\frac{(4{,}5)^2\sqrt{3}}{4}\). Trójkąt \(T_2\) jest podobny do trójkąta \(T_1\) w skali

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{n-2}{3}\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od \(10\) jest równa

Trzywyrazowy ciąg \((1, 4, a + 5)\) jest arytmetyczny. Liczba \(a\) jest równa

Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). W tym ciągu \(a_1=3{,}75\) oraz \(a_2=-7{,}5\). Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa

Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(\cos \alpha-\cos \alpha\cdot \sin^2\alpha\) jest równe

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary \(30^\circ\), \(45^\circ\) oraz \(105^\circ\). Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe - odpowiednio - \(a\), \(b\) oraz \(c\) (zobacz rysunek). Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami: ...................... oraz ...................... .

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = ax^2 + bx + 1\), gdzie \(a\) oraz \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że \(a \lt 0\) i \(b > 0\). Na jednym z rysunków A-D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\). Fragment wykresu funkcji \(f\) przedstawiono na rysunku

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) prosta o równaniu \(y = ax + b\) przechodzi przez punkty \(A = (-3, -1)\) oraz \(B = (4, 3)\). Współczynnik \(a\) w równaniu tej prostej jest równy

Rozwiąż nierówność \[x(2x-1)\lt2x\] Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie \[x^3+4x^2-9x-36=0\] Zapisz obliczenia.

Równanie \(\frac{(x^2-3x)(x+2)}{x^2-4}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresy funkcji liniowych \(f(x) = (2m + 3)x + 5\) oraz \(g(x) = -x\) nie mają punktów wspólnych dla

Liczba \(\log_2\frac{1}{8} + \log_2 4\) jest równa

Liczba \((1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2\) jest równa

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(0\) i \(2\) wyrażenie \(\frac{x^2+x}{(x-2)^2}\cdot \frac{x-2}{x}\) jest równe

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) reszta z dzielenia liczby \(49k^2+7k-2\) przez \(7\) jest równa \(5\).

Klient wpłacił do banku \(30\ 000\) zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(7\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) iloczyn \(\sqrt{x}\cdot \sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[6]{x}\) jest równy

Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność \(|x + 5| \lt 15\) jest

Pewien ostrosłup ma \(16\) wierzchołków.