Najnowsze filmy

Drukuj
Na tej stronie umieszczam moje najnowsze filmy.
Rozwiąż równanie \[ (3-2 \cos x)^{2}=8 \sin ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)-8 \cos ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)+12 \] w zbiorze \((0, \pi)\). Zapisz obliczenia.
\(x=\frac{2}{3} \pi\)
Syzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia ciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry. W chwili \(t=0\) znajduje się on w punkcie \(\mathcal{O}\) oddalonym od szczytu o \(4\) km, a położenie \(x\) Syzyfa wtaczającego kulę jest opisane zależnością \[x(t)=-t^{3}+16,5 t^{2}+180 t\quad \text{dla}\quad t \in[0,24]\] gdzie \(x\) jest wyrażone w metrach, a \(t\)-w godzinach.
Oś \(\mathcal{O} x\) jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry.
Oblicz najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, oraz największą prędkość, z jaką wtacza kamień pod górę. Zapisz obliczenia.
Najmniejsza odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, jest równa \(4000-3037,5=962,5\) metrów.
Największa wartość prędkości, z jaką Syzyf wtacza kulę pod górę, jest równa \(v(5,5)=270,75 \mathrm{~m} / \mathrm{h}\).
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{3x}{x+1}\) dla każdego \(x \in(-1,+\infty)\).
Wykaż, że \(f\) jest funkcją rosnącą.
Oblicz granice \(\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{6^{n}+7^{n}}\). Zapisz obliczenia.
\(\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{6^{n}+7^{n}}=7\)
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=p x^{2}+(p-1) x+1-2 p\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\boldsymbol{p}\), dla których funkcja \(\boldsymbol{f}\) ma dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o 1. Zapisz obliczenia.
Funkcja \(f\) ma dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o \(1\) dla \(p=\frac{1}{4}\) lub \(p=\frac{1}{2}\).
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) określony wzorem \(a_{n}=n^{2}-n\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) jest
A3
Dana jest funkcja \(y=f(x)\), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku. Funkcje \(g\) oraz \(h\) są określone za pomocą funkcji \(f\) następująco: \[y=g(x)=f(x+2)\qquad y=h(x)=f(x)+2\] Na rysunkach A–F przedstawiono wykresy różnych funkcji – w tym wykresy funkcji \(g\) oraz \(h\).
Każdej z funkcji \(y=g(x)\) oraz \(y=h(x)\) przyporządkuj jej wykres. Wpisz obok symboli funkcji w tabeli poniżej właściwe odpowiedzi wybrane spośród A–F.
D, F
Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[ f(x)= \begin{cases}x+4 & \text { dla } x \in[-8,0] \\ 4 & \text { dla } x \in(0,4] \\ -2 x+12 & \text { dla } x \in(4,6)\end{cases} \] Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach tak, aby zdania były prawdziwe.
  • Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \(............\) .
  • Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(............\) .
  • Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział \(............\) .
  • Zbiorem wszystkich rozwiązań równania \(f(x)=4\) jest przedział \(............\) .
  • Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \([-8,6)\) .
  • Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \([-4,4]\) .
  • Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział \([-4,6)\) .
  • Zbiorem wszystkich rozwiązań równania \(f(x)=4\) jest przedział \([0,4]\) .
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3 x^{2}+2 x+m\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Współczynnik \(m\) jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera.
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Funkcja \(f\)
A1
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem: \[ f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 2 x-6 & \text { dla } x \leq 2 \\ x-4 & \text { dla } x\gt 2 \end{array}\right. \]
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba
A.\( (-6) \)
B.\( (-4) \)
C.\( 3 \)
D.\( 4 \)
D
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x)=x^2-b-2 \sqrt{2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest \(x=\sqrt{2}+1\).
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Współczynnik \(b\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy
A.\((-3)\)
B.\(3\)
C.\(3-\sqrt{2}\)
D.\(3-2 \sqrt{2}\)
B
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresy funkcji liniowych \(f(x)=(2m+7) x+5\) oraz \(g(x)=3x\) nie maja punktów wspólnych dla
A.\(m=-2\)
B.\(m=-1\)
C.\(m=1\)
D.\(m=2\)
A
Funkcja \(y=f(x)\) jest określona za pomocą tabeli
\(x\)\(-3\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)
\(y\)\(-3\)\(2\)\(0\)\(1\)\(0\)\(2\)\(1\)
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Funkcja \(f\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe.PF
W kartezjańskim układzie współzędnych \((x, y)\) wykres funkcji \(f\) jest symetryczny względem osi \(O y\).PF
Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(3\).PF
FFF
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{-3 x+41}{x-13}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 13\).
Punktem kratowym nazywamy punkt w kartezjańskim układzie wspótrzędnych, którego obie współrzędne są liczbami całkowitymi.
Wyznacz wszystkie punkty kratowe należące do wykresu funkcji \(f\). Zapisz obliczenia.
Do wykresu funkcji \(f\) należą cztery punkty kratowe o współrzędnych: \((11,-4),(12,-5)\), \((14,-1),(15,-2)\).
Wielomian \(W\) jest określony wzorem \(W(x)=(x-1)\left(x^{2}-m x+m-1\right)\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\boldsymbol{m}\), dla których wielomian \(\boldsymbol{W}\) ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. Zapisz obliczenia.
\(m=2\)
Dany jest układ równań \[ \left\{\begin{array}{l} m x+y=m^{2} \tag{1}\\ 4 x+m y=8 \end{array}\right. \] z niewiadomymi \(x\) i \(y\) oraz parametrem \(m \in \mathbb{R}\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których układ jest oznaczony, a para liczb \((x, y)\) będąca rozwiązaniem układu spełnia warunek \(|x+y|\lt2\). Zapisz obliczenia.
\(m\in(0,2)\cup(2,4)\)
Dane są liczby \(a=\left(\log_{\sqrt{5}} 2\right) \cdot \log _{2} 25\) i \(b=\frac{\log_{5} 6}{\log_{5} 8}\).
Oblicz \(a^{b+1}\).
\(a^{b+1}=4\sqrt[3]{36}\)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu wielomianu \(W\) określonego wzorem \[ W(x)=\frac{1}{8} x^{3}-2 x^{2}+\frac{67}{8} x-3 \] dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).
Oblicz wszystkie pierwiastki wielomianu \(W\). Zapisz obliczenia.
\(4-\sqrt{13}\), \(4+\sqrt{13}\) oraz \(8\)
Pole powierzchni bocznej walca jest równe \(16 \pi\), a promień jego podstawy ma długość \(2\).
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Objętość tego walca jest równa
A.\( 16 \)
B.\( 32 \)
C.\( 16 \pi \)
D.\( 32 \pi \)
C
Ze zbioru sześciu liczb \(\{1,2,3,4,5,6\}\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że pierwsza wylosowana liczba będzie większa od drugiej wylosowanej liczby.
\(\frac{5}{12}\)
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przekątne równoległoboku \(A B C D\) przecinają się w punkcie \(S=\left(\frac{11}{2}, \frac{17}{2}\right)\). Bok \(A B\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \(y=x-2\), a bok \(A D\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=3 x-6\).
Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\).
\(B=(4,2)\)
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABP\), w którym \(|AP|=|BP|\). Wierzchołek \(P\) leży na osi \(O x\) układu współrzędnych.
Oblicz współrzędne punktu \(P\) oraz długość odcinka \(AP\).
\(P=\left(\frac{9}{4},0\right)\)
\(|AP|=\frac{5\sqrt{41}}{4}\)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^{\circ}\), a krawędź podstawy ma długość równą \(6 \sqrt{3}\).
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
\(V=108\)
\(P_c=108+72\sqrt{3}\)
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest trapez \(A B C D\), w którym boki \(AB\) i \(CD\) są równoległe oraz \(C=(3,15)\). Wierzchołki \(A\) i \(B\) tego trapezu leżą na prostej o równaniu \(3x-y+10=0\).
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Bok \(CD\) tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu
A.\(y=3 x+15\)
B.\(y=3 x+6\)
C.\(y=\frac{5}{3} x+10\)
D.\(y=-\frac{1}{3} x+16\)
B
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), punkty \(A=(-1,-5)\), \(B=(2,-7), C=(6,9)\) i \(D=(-2,9)\) są wierzchołkami czworokąta \(ABCD\).
Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworokąta \(ABCD\).
\(P=\left(\frac{2}{3},-\frac{5}{3}\right)\)
Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości: \(|AB| = 4\), \(|BC| = 5\), \(|AC| = 6\).
Oblicz sinus najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta \(ABC\).
\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) określony równaniem: \[ (x-2)^2+(y+3)^2=16 \]
Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-G.
1. Ṡrodek \(S\) okręgu \(\mathcal{O}\) ma współrzędne
A.\(S=(2,-3)\)
B.\(S=(-2,-3)\)
C.\(S=(-2,3)\)
D.\(S=(-2,3)\)
2. Promień \(r\) okręgu \(\mathcal{O}\) jest równy
E.\(r=16\)
F.\(r=4\)
G.\(r=5\)
AF
Dane są okrąg o środku \(S\) oraz prosta \(k\) styczna do okręgu w punkcie \(A\). Odcinek \(AB\) jest cięciwą tego okręgu. Miara kąta ostrego pomiędzy prostą \(k\) a cięciwą \(AB\) jest równa \(50^{\circ}\). Punkt \(C\) leży na okręgu. Kąt wpisany \(BCA\) jest ostry. Sytuację przedstawia rysunek poniżej.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta wpisanego \(BCA\) jest równa
A.\(100^{\circ}\)
B.\(80^{\circ}\)
C.\(50^{\circ}\)
D.\(40^{\circ}\)
C
Dany jest trójkąt prostokątny \(A B C\) o bokach \(|A C|=12,|B C|=5,|A B|=13\). Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odległość \(x\) punktu \(P\) od przeciwprostokątnej \(AB\) jest równa
A.\( 1 \)
B.\( 2 \)
C.\( \frac{5}{2} \)
D.\( \frac{20}{13} \)
B
Rozwiąż nierówność \[(3 x-4)(x-1)\lt x\]
\(x\in \left(\frac{2}{3},2\right)\)
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Układ równań \(\left\{\begin{array}{c}x+2 y=1 \\ -4 x-8 y=-4\end{array}\right.\)
A.nie ma rozwiązań.
B.ma dokładnie jedno rozwiązanie.
C.ma dokładnie dwa rozwiązania.
D.ma nieskończenie wiele rozwiązań.
D
Punkt \(S\) jest środkiem ciężkości trójkąta \(ABC\). Długość odcinka \(SA\) jest równa \(10\).
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka \(A\) do boku \(B C\) jest równa
A.\( 10 \)
B.\( 15 \)
C.\( 20 \)
D.\( 30 \)
B
Dana jest nierówność \[ \frac{2 x-1}{2}-\frac{x+2}{3} \geq \frac{1}{6} \]
Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
B
Dane jest równanie \[ \frac{2}{2 x+1}=\frac{x-1}{x+2} \]
Wyznacz dziedzinę tego równania. Rozwiąż to równanie.
Dziedzina: \(x\ne-\frac{1}{2}\) i \(x\ne -2\)
Rozwiązania: \(x=-1\) oraz \(x=\frac{5}{2}\)
Dane są liczby \(a=\log _2(3 \sqrt{5}+\sqrt{13})\) oraz \(b=\log _2(3 \sqrt{5}-\sqrt{13})\).
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(a+b\) jest równa
A.\(\log _2 45\)
B.\(\log _2 30\)
C.\(4\)
D.\(5\)
D
Dane jest wyrażenie \(W(x)=\frac{2 x^2}{x^2-4} \cdot \frac{x-2}{x}\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Wartość wyrażenia \(W(x)\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).PF
Jeżeli wartość wyrażenia \(W(x)\) jest określona, to \(W(x)=\frac{2 x}{x+2}\).PF
FP
Udowodnij, że liczba \(3^{45}+9^{22}+27^{14}\) jest podzielna przez \(37\).
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(|\sqrt{5}-1|-3|2-\sqrt{5}|\) jest równa
A.\((-7)\)
B.\(5-4 \sqrt{5}\)
C.\(4 \sqrt{5}-7\)
D.\(5-2 \sqrt{5}\)
D
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\frac{\sqrt[3]{250}+\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{250}-\sqrt[3]{54}}\) jest równa
A.\(\sqrt[3]{\frac{76}{49}}\)
B.\( (-1) \)
C.\( 4 \)
D.\( 4 \sqrt[3]{2} \)
C
Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że \(a\lt b\) oraz obie są niepodzielne przez \(3\).
Udowodnij, że liczba \(a^2+11 a b+b^2\) jest podzielna przez \(9\).
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(n\left(n^2+3 n+2\right)\) jest podzielna przez \(6\).
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \((3 n+5)^2+11 n^2-18\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia \(2024:\left(1-\frac{1}{2025}\right)-\left(1-\frac{2025}{2024}\right): \frac{1}{2024}\) jest równa
A.\( 0 \)
B.\( 1 \)
C.\( 2024 \)
D.\( 2026 \)
D
Sklep handluje jabłkami dostarczonymi przez dwóch producentów. Wśród jabłek dostarczonych przez producenta pierwszego \(5\%\) jabłek jest popsutych, a wśród jabłek dostarczonych przez producenta drugiego \(10\%\) jabłek jest popsutych. Sklep zamawia \(4\) razy więcej jabłek u producenta pierwszego. W tym sklepie zostało kupione jedno jabłko. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że jabłko pochodzi od pierwszego producenta, jeżeli nie było popsute.
Z dwóch kostek jedna jest symetryczna, a dla drugiej prawdopodobieństwo otrzymania \(6\) jest równy \(\frac{1}{5}\). Rzucono dwukrotnie losowo wybraną kostką i wypadły dwie szóstki. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że rzucono kostką niesymetryczną.
W urnie I są \(3\) kule białe i \(2\) kule czarne, a w urnie II jest \(7\) kul białych i \(4\) kule czarne. Z urny I przekładamy losową kulę do urny II, a następnie losujemy kulę z urny II. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przełożono kulę czarną, jeśli z urny II wylosowano kulę białą.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że dla losowo wybranej liczby naturalnej \(n\), wyrażenie \(n^3+6\) jest podzielne przez \(7\).
\(\frac{3}{7}\)
Dane są dwa zbiory \(A=\{1,2,3, \ldots, 2024,2025\}\) i \(B=\{2026, 2027, \ldots, 2036,2037\}\). Rzucamy sześcienna, symetryczną kostką do gry. Jeśli wypadną mniej niż trzy oczka, losujemy liczbę \(c\) ze zbioru \(A\), w przeciwnym wypadku losujemy liczbę \(c\) ze zbioru \(B\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że liczba \(c^2+1\) będzie podzielna przez \(10\).
\(\frac{7}{30}\)
Sklep sprzedaje żarówki wyprodukowane w firmach I i II, przy czym w każdej z tych firm żarówki wadliwe stanowią odpowiednio \(1 \%\) i \(4 \%\) produkcji. Wyznacz stosunek liczby \(x\) żarówek wyprodukowanych przez firmę I do liczby \(y\) żarówek wyprodukowanych przez firmę II, sprzedawanych w tym sklepie tak, aby prawdopodobieństwo kupienia żarówki wadliwej (przy losowym jej zakupie) było nie większe niż \(0{,}02\).
\(\frac{x}{y}\geqslant 2\)
Wśród wyrobów firmy I i II wyroby wadliwe stanowią odpowiednio \(4\%\) i \(2\%\). Firma I dostarcza do hurtowni trzy razy więcej towaru niż firma II. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo zakupiona w tej hurtowni jedna sztuka towaru okaże się dobra.
\(\frac{193}{200}\)
W pewnej grupie młodzieży, \(25 \%\) dziewcząt i \(60 \%\) chłopców interesuje się sportem. Prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba z tej grupy interesuje się sportem, wynosi \(\frac{3}{7}\). Oblicz stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców w tej grupie.
\(\frac{24}{25}\)
Mamy \(10\) urn. Do czterech wrzucono po \(4\) kule białe, \(4\) czarne i \(1\) niebieskiej, a do sześciu pozostałych - po \(2\) kule białe, \(3\) czarne i \(4\) niebieskie. Z losowo wybranej urny losujemy jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kul różnych kolorów.
W pierwszej urnie jest \(6\) kul białych i \(4\) czarne, w drugiej - po \(8\) kul białych i \(8\) czarnych, a w trzeciej - \(5\) kul białych i \(3\) czarne. Wybieramy losowo urnę, a z niej jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej.
Wśród \(10\) monet są \(3\) monety niesymetryczne, na których orzeł wypada z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{3}\), a pozostałe monety są symetryczne. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w rzucie losowo wybraną monetą wypadnie orzeł.
Całą metodę pokażę na następujących równaniach:
  • \(x^2+5x+6=0\)
  • \(x^2+12x+35=0\)
  • \(x^2-8x+15=0\)
  • \(x^2+5x-6=0\)
  • \(x^2-3x-10\)
  • \(2x^2+8x-154=0\)
W I urnie są \(3\) kule czarne i \(1\) kula Biała. W II urnie są \(2\) kule czarne i \(2\) białe. W III urnie jest \(6\) kul czarnych i \(2\) kule białe. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry. Jeżeli wypadnie szóstka, to losujemy kulę z I urny. Jeżeli wypadnie czwórka lub piątka, to losujemy kulę z II urny. W przeciwnym przypadku losujemy kulę z III urny. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowana kula pochodzi z I urny, jeśli wiadomo, że jest to kula czarna.
Na parkingu salonu samochodowego stoi \(10\) samochodów tej samej marki. Cztery samochody są czarne, trzy - srebrne, a pozostałe - granatowe. Wybieramy trzy samochody. Na ile sposobów można dokonać wyboru tak, aby wszystkie wybrane samochody były:
  • w różnych kolorach,
  • w tym samym kolorze?
W partii \(40\) monitorów komputerowych \(4\) są uszkodzone. Wybieramy \(3\) monitory. Na ile sposobów można dokonać takiego wyboru, aby:
  • żaden z wybranych monitorów nie był uszkodzony,
  • co najwyżej jeden z wybranych monitorów był uszkodzony?
Na ile sposobów można ustawić w kolejce:
  • \(2\) kobiety i \(6\) mężczyzn tak, aby kobiety stały obok siebie,
  • \(4\) kobiety i \(4\) mężczyzn tak, aby kobieta nie stała za kobietą?
Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\) oraz \(y\) jest równa \(12\).
Wyznacz \(x\) oraz \(y\), dla których wartość wyrażenia \(2 x^{2}+y^{2}\) jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.
\(x=4\), \(y=8\) \(f(x) = 96\)
Dane są dwa zbiory: \(C=\{0,4,5,7,9\}\) oraz \(D=\{1,2,3\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(C\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(D\).
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie większa od 9. Zapisz obliczenia.
\(P(A)=\frac{4}{15}\)
W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez \(32\) uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań testu z matematyki.
Liczba punktów012345
Liczba uczniów2256116
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych za rozwiązanie tego zadania przez uczniów tej klasy jest równa
A.\( 2,5 \)
B.\( 3,25 \)
C.\( 3,31 \)
D.\( 4 \)
B
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek jest o \(3\) większa od cyfry jedności, jest
A.\( 3 \)
B.\( 6 \)
C.\( 7 \)
D.\( 13 \)
C
Długości trzech wychodzących z jednego wierzchołka krawędzi prostopadłościanu są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi parzystymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość \(10\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe
A.\( 376 \)
B.\( 466 \)
C.\( 480 \)
D.\( 720 \)
A
Dany jest prostopadłościan \(A B C D E F G H\), w którym podstawy \(A B C D\) i \(E F G H\) są kwadratami o boku długości 6 . Przekątna \(B H\) tego prostopadłościanu tworzy z przekątną \(A H\) ściany bocznej \(A D H E\) kąt o mierze \(30^{\circ}\) (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Przekątna \(BH\) tego prostopadłościanu ma długość równą
A.\( 4 \sqrt{3} \)
B.\( 6 \sqrt{3} \)
C.\( 12 \)
D.\( 12 \sqrt{2} \)
C
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) odcinek o końcach \(A=(-4,7)\) oraz \(B=(6,-1)\) jest średnicą okręgu \(\mathcal{O}\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem
A.\((x-1)^{2}+(y-3)^{2}=41\)
B.\((x-5)^{2}+(y+4)^{2}=41\)
C.\((x-1)^{2}+(y+3)^{2}=41\)
D.\((x-5)^{2}+(y-4)^{2}=41\)
A
Liczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa \(12\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa
A.\( 10 \)
B.\( 11 \)
C.\( 12 \)
D.\( 13 \)
C
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przekątne równoległoboku \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S=(9,11)\). Bok \(AB\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x-1\), a bok \(AD\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=2x-4\).
Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\). Zapisz obliczenia.
\(B=(6,2)\)
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami \[ \begin{aligned} & k: y=(3 m-2) x-2 \\ & l: y=(2 m+4) x+2 \end{aligned} \]
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa
A.\( -6 \)
B.\( -6 \)
C.\( 2 \)
D.\( 6 \)
D
Podstawy trapezu prostokątnego \(ABCD\) mają długości: \(|AB|=12\) oraz \(|CD|=6\). Wysokość \(AD\) tego trapezu ma długość \(24\). Na odcinku \(AD\) leży punkt \(E\) taki, że \(|\sphericalangle BEA|=|\sphericalangle CED|\) (zobacz rysunek).
Oblicz długość odcinka \(BE\). Zapisz obliczenia.
\(|BE|=20\)
W trójkącie prostokątnym \(A B C\) sinus kąta \(C A B\) jest równy \(\frac{3}{5}\), a przeciwprostokątna \(A B\) jest o \(8\) dłuższa od przyprostokątnej \(B C\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość przeciwprostokątnej \(A B\) tego trójkąta jest równa
A.\( 18 \)
B.\( 20 \)
C.\( 24 \)
D.\( 25 \)
B
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=5,|AC|=2\) oraz \(\cos |\sphericalangle BAC|=\frac{3}{5}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość boku \(BC\) tego trójkąta jest równa
A.\(\sqrt{17}\)
B.\(\sqrt{23}\)
C.\(\sqrt{35}\)
D.\(\sqrt{41}\)
A
Punkty \(K, L\) oraz \(M\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Miara kąta \(K S M\) jest równa \(160^{\circ}\) (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta wpisanego \(K L M\) jest równa
A.\(80^{\circ}\)
B.\(90^{\circ}\)
C.\(100^{\circ}\)
D.\(110^{\circ}\)
C
Trzywyrazowy ciąg ( \(2 m-5,4,9)\) jest arytmetyczny.
Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.
Ten ciąg jest
A2
Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\cos \alpha=\frac{24}{25}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta \(\alpha\) jest równy
A.\(\frac{7}{18}\)
B.\( \frac{7}{24} \)
C.\( \frac{7}{25} \)
D.\( \frac{18}{25} \)
B
Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).
Suma \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem \(S_{n}=n^{2}+2 n\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzeci wyraz ciągu \(\left(a_{n}\right)\) jest równy
A.\( 5 \)
B.\( 7 \)
C.\( 13 \)
D.\( 15 \)
B
Dany jest ciąg geometryczny \(\left(a_{n}\right)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), w którym \(a_{2}=2\) oraz \(a_{5}=54\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloraz ciągu \(\left(a_{n}\right)\) jest równy
A.\( 3 \)
B.\( 9 \)
C.\( \frac{52}{3} \)
D.\( 27 \)
A
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią \(O x\) układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział
A.\((-\infty,-2]\)
B.\([1,+\infty)\)
C.\([-1,3]\)
D.\([-2,+\infty)\)
D
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu
A.\( x=1 \)
B.\( y=1 \)
C.\( x=-2 \)
D.\( y=-2 \)
A
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
A.\(f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^{2}+2\)
B.\(f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^{2}+2\)
C.\(f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^{2}-2\)
D.\(f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^{2}-2\)
C
Pusta bańka na mleko o pojemności \(10\) litrów ma masę \(6,5 \mathrm{~kg}\). Jeden litr mleka ma masę \(1,03 \mathrm{~kg}\).
Niech \(x\) oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a \(f(x)\) oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie \(x \in[0,10]\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Funkcja \(f\) jest malejąca. PF
Funkcja \(f\) nie ma miejsc zerowych.PF
FP
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Największa wartość funkcji \(f\) jest równa
A.\( 16,8 \)
B.\( 15,8 \)
C.\( 11,3 \)
D.\( 10,3 \)
A
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
A.\(f(x)=6,5 x+1,03\)
B.\(f(x)=1,03 x+10\)
C.\(f(x)=10 x+1,03\)
D.\(f(x)=1,03 x+6,5\)
D
Funkcja \(y=f(x)\) jest określona za pomocą tabeli
\(x\)\(-6\)\(-4\)\(-2\)\(0\)\(2\)\(4\)\(6\)
\(y\)\(-3\)\(-4\)\(4\)\(1\)\(5\)\(0\)\(2\)
Uzupełnij poniższą tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-E.
\(9.1\)Największa wartość funkcji \(f\) jest równa
\(9.2\)Miejsce zerowe funkcji \(f\) jest równe
A.\( 1 \)
B.\( 2 \)
C.\( 4 \)
D.\( 5 \)
E.\( 6 \)
\(9.1\ \) D, \(9.2\ \) C
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{\sqrt{3}}{3} x-3\).
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykres funkcji \(y=f(x)\) jest prostą nachyloną do osi \(O x\) pod kątem ostrym \(\alpha\).
Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.
Sinus kąta \(\alpha\) jest równy ........... .
\(\frac{1}{2}\)
Rozwiąż równanie \[ x^{3}+5 x^{2}-2 x-10=0 \] Zapisz obliczenia.
\(x=-5\), \(x=-\sqrt{2}\), \(x=\sqrt{2}\)
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
A.\(\left\{\begin{array}{l}y=x+2 \\ y=2 x-3\end{array}\right.\)
B.\(\left\{\begin{array}{l}y=-x+2 \\ y=2 x-3\end{array}\right.\)
C.\(\left\{\begin{array}{l}y=x+2 \\ y=-2 x-3\end{array}\right.\)
D.\(\left\{\begin{array}{l}y=-x+2 \\ y=2 x+3\end{array}\right.\)
B
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \[ \frac{3(6-x)}{17} \leq 3 \] jest przedział
A.\((-\infty,-11)\)
B.\((-\infty,-11]\)
C.\((-11,+\infty)\)
D.\([-11,+\infty)\)
D
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie \(\ \frac{x(x+5)(2-x)}{2 x+4}=0\ \) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A.dwa rozwiązania: \((-5)\) oraz 2.
B.dwa rozwiązania: \((-5)\) oraz 0.
C.trzy rozwiązania: \((-5),\ 0\) oraz 2.
D. cztery rozwiązania: \((-5),\ (-2),\ 0\) oraz 2.
C
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Prawdziwe są równości: ............ oraz ............ .
A.\(\log _{2} 16+\log _{2} 9=\log _{2} 25\)
B.\(\log _{2} 16+\log _{2} 9=2 \cdot \log _{2} 5\)
C.\(\log _{2} 16+\log _{2} 9=\log _{2} 144\)
D.\(\log _{2} 16+\log _{2} 9=\log _{4} 144\)
E.\(\log _{2} 16+\log _{2} 9=4+2 \cdot \log _{2} 3\)
F.\(\log _{2} 16+\log _{2} 9=2 \cdot \log _{4} 12\)
C, E
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \((2 n+5)^{2}+3\) jest podzielna przez \(4\).
\((2 n+5)^{2}+3=4n^2+20n+25+3=4n^2+20n+28=4(n^2+5n+7)\)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(\left(\frac{4}{25}\right)^{-0,5}\) jest równa
A.\( 0{,}04 \)
B.\( 0{,}8 \)
C.\( 2{,}5 \)
D.\( 0{,}4 \)
C
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wszystkich całkowitych rozwiązań nierówności \(|x+1|\lt3\) jest równa
A.\( 2 \)
B.\( 3 \)
C.\( 5 \)
D.\( 7 \)
C
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Obliczanie pochodnej funkcji złożonej.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń stosuje wzór Bayesa.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń oblicza objętości i pola powierzchni walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii.
  • Uczeń wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń rozwiązuje równania trygonometryczne.
  • Uczeń korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń posługuje się złożeniami funkcji.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\) szkicuje wykresy funkcji \(y=f(x-a)\), \(y=f(x)+b\), \(y=-f(x)\), \(y=f(-x)\).
Materiał z prostymi zagadnieniami z wyrażeń wymiernych, wykraczający od 2025 roku ponad poziom podstawowy.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych;
  • Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych, w przypadkach nie trudniejszych niż: \(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\), \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\), \(\frac{x+1}{x+2}+\frac{x-1}{x+1}\).
  • Równania wymierne postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdzie wielomiany \(V(x)\) i \(W(x)\) są zapisane w postaci iloczynowej.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • uczeń stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona):
    \(\binom{n}{0}=1,\ \binom{n}{1}=n\), \(\binom{n}{n-1}=n\),
    \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\),
    \(\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1} \)
  • uczeń korzysta ze wzorów na: \(a^3+b^3,\ a^3-b^3,\ a^n-b^n,\ (a+b)^n\) i \((a-b)^n\)
Materiał z prostymi zagadnieniami z wielomianów, wykraczający od 2025 roku ponad poziom podstawowy.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Wyłączanie poza nawias jednomianu z sumy algebraicznej;
  • Rozkładanie wielomianu na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów;
  • Rozwiązywanie równań wielomianowych postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
  • Interpretowanie miejsca zerowego wielomianu.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych.
  • Dzielenie pisemne wielomianu przez dwumian \((x-a)\).
  • Równanie wielomianowe dwukwadratowe.
Tematy nadrzędne i sąsiednie