Jesteś tutaj: InneNajnowsze filmy

Najnowsze filmy

Na tej stronie umieszczam moje najnowsze filmy.
Powierzchnia całkowita graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa \(S\sqrt{3}\). Wyznacz największą z możliwych objętości tego graniastosłupa, wynik zapisz w najprostszej postaci.
\(V_{max}=\frac{S\sqrt{S}}{6}\)
Rozwiąż nierówność \(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{(x-3)^2}+\frac{1}{(x-3)^3}+...\ge2-x\), gdzie lewa strona nierówności jest szeregiem geometrycznym zbieżnym. Podaj odpowiednie założenia.
Założenia: \(\left|\frac{1}{x-3}\right|\lt1\)
\(x\in (4;+\infty )\)
Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie, którego boki zawierają się w prostych o równaniach \(x+6y-12=0\); \(x+y-7=0\) oraz \(x-4y+18=0\).
\(\left(x+\frac{3}{5}\right)^2+\left(y+\frac{8}{5}\right)^2=\frac{1258}{25}\)
Wyznacz wartość parametru \(m\), dla którego równanie \((m^2+m-3)x^2+(2m-1)x+2=0\) ma dwa rozwiązania dodatnie takie, że jedno z nich jest dwa razy większe od drugiego.
\(m=-4\)
Dany jest trapez równoramienny, w który wpisano okrąg. Odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość \(7\) cm. Obwód tego trapezu jest równy:
A.\( 14 \) cm
B.\( 21 \) cm
C.\( 28 \) cm
D.\( 35 \) cm
C
Dziedziną funkcji \(f(x)=\log_{\frac{2x-3}{x+3}}(x^3-x^2)\) jest:
A.\( (-\infty, -3)\cup \left(\frac{3}{2}, +\infty\right) \)
B.\( (-\infty, -3)\cup \left(1, +\infty\right) \)
C.\( (1,6)\cup (6,+\infty ) \)
D.\( \left(\frac{3}{2}, 6\right)\cup (6,+\infty ) \)
D
Liczba \(\sqrt{11-6\sqrt{2}}\) jest równa:
A.\(\sqrt{2}-3 \)
B.\( 3-\sqrt{2} \)
C.\( 1-3\sqrt{2} \)
D.\( 3\sqrt{2}-1 \)
B
Rozwiąż nierówność \(2^{13}\cdot x-3\cdot 4^6\lt 8^4(3x-5)\).
\(x\gt 2\)
Trzycyfrowy kod aktywacyjny bramy wejściowej ma następującą postać: litera, cyfra, litera. Litera jest wybierana spośród \(24\) liter alfabetu i może się w kodzie powtarzać, a cyfra jest dowolna. Ile różnych kodów można w ten sposób utworzyć?
A.\( 58 \)
B.\( 480 \)
C.\( 5760 \)
D.\( 586 \)
C
Kąt rozwarcia stożka jest równy \(30^\circ \), a tworząca tego stożka ma długość \(8\) cm. Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi:
A.\( 64\ \text{cm}^2 \)
B.\( 32\ \text{cm}^2 \)
C.\( 16\ \text{cm}^2 \)
D.\( 16\sqrt{3}\ \text{cm}^2 \)
C
Bok trójkąta równobocznego ma długość \(8\) cm. Odległość środka ciężkości tego trójkąta od jego boków jest równa:
A.\( 2\frac{2}{3} \) cm
B.\( \frac{4\sqrt{3}}{3} \) cm
C.\( \frac{8\sqrt{3}}{3} \) cm
D.\( 4\sqrt{3} \) cm
B
Mediana uporządkowanego zestawu danych: \(4, 6, a, b, 8, 9\) wynosi \(7{,}5\). Brakującymi wartościami \(a\) i \(b\) mogą być:
A.\( a=6,\ b=6 \)
B.\( a=6,\ b=7 \)
C.\( a=6,\ b=8 \)
D.\( a=7,\ b=8 \)
D
Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy \(a\) i dwa razy krótszej wysokości przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ\). Zaznacz ten kąt na rysunku oraz oblicz pole otrzymanego przekroju, wynik przedstaw w najprostszej postaci.
\(P=\frac{2\sqrt{6}-1}{6}a^2\)
Rozwiąż równanie \(\cos 3x+\sin 7x=0\) w przedziale \(\langle0,\pi\rangle\).
\(x\in \left\{\frac{3}{8}\pi,\frac{7}{8}\pi,\frac{3}{20}\pi,\frac{7}{20}\pi,\frac{11}{20}\pi,\frac{15}{20}\pi,\frac{19}{20}\pi\right\}\)
W urnie umieszczono \(4\) kule białe i \(8\) kul czarnych. Losujemy jedną kulę. Jeżeli będzie biała, to wrzucamy ją z powrotem do urny i dorzucamy do niej jeszcze dwie białe kule. Jeżeli będzie czarna, to zatrzymujemy ją i dorzucamy dwie zielone kule do urny. Następnie losujemy z urny jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że obie z wylosowanych za drugim razem kul są białe.
\(\frac{29}{273}\)
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x, y\) zachodzi nierówność \(2x^2+5y^2+10\gt6xy+4y\).
Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości \(a\) i \(b\), w którym kąt między środkową a wysokością wychodzącymi z wierzchołka kąta prostego ma miarę \(\alpha \). Wykaż, że \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{|a^2-b^2|}{2ab}\).
Oblicz \(\lim_{x \to -2}\frac{x^2+7x+10}{x^3+8}\).
Zakoduj cyfrę jedności i dwie kolejne cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
   
\(0{,}25\)
Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=\frac{x^2+8}{x+1}\) w przedziale \(\langle0,3 \rangle \).
\(4\) i \(8\)
Ile maksymalnie rozwiązań może mieć równanie\( \Bigl| \bigl||x|-3\bigl|-2\Bigl|=m \), gdzie \(m \in \mathbb{R} \)?
A.\( 2 \) rozwiązania
B.\( 4 \) rozwiązania
C.\( 8 \) rozwiązań
D.\( 16 \) rozwiązań
C
Suma wszystkich współczynników wielomianu \(W(x)=(7x^3-5x^2-2x+8)^5\) stojących przy nieparzystych potęgach zmiennej \(x\) wynosi:
A.\( 2^4(2^{10}+1) \)
B.\( 2^4(2^{10}-1) \)
C.\( 2^{15} \)
D.\( -2^5 \)
A
W gospodarstwie ogrodniczym zapakowano \(480\) róż do pewnej liczby kartonów. Gdyby jednak do każdego kartonu włożono o \(3\) róże mniej, to do zapakowania tej samej ilości róż należałoby użyć o \(8\) kartonów więcej. Do ilu kartonów zapakowano pierwotnie róże i ile róż było w każdym kartonie?
\(15\) róż w kartonie i \(32\) kartony
Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=-4\). Jeśli pierwszą i drugą liczbę powiększymy o \(3\), a trzecią powiększymy o \(4\), to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz liczby tworzące ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.
Ciąg arytmetyczny: \((13, 9, 5)\), ciąg geometryczny \((16, 12, 9)\).
Podstawą ostrosłupa \(ABCDE\) jest kwadrat, a spodek \(F\) wysokości \(EF\) ostrosłupa jest środkiem krawędzi \(AD\) (patrz rysunek). Ponadto wiadomo, że każda z dwóch dłuższych krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość \(12\sqrt{5}\) cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ \). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
\(288\sqrt{15}\)
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że liczba oczek w drugim rzucie jest o dwa większa od liczby oczek w pierwszym rzucie.
\(\frac{1}{9}\)
Suma długości boku kwadratu i jego przekątnej jest równa \(1\). Oblicz długość przekątnej tego kwadratu. Wynik zapisz w postaci \(a+b\sqrt{c}\).
\(2-\sqrt{2}\)
Sprawdź, czy punkty \(A=(-2,3)\), \(B=(2,5)\), \(C=(2\sqrt{2},4+\sqrt{2})\) są współliniowe.
Są współliniowe.
Uzasadnij, że równanie \(x^2+(a-1)x-a=0\) dla dowolnej liczby rzeczywistej \(a\) ma przynajmniej jedno rozwiązanie.
Na trójkącie o bokach długości \(\sqrt{5}, \sqrt{15}, \sqrt{10}\) opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.
\(r=\frac{\sqrt{15}}{2}\)
Rzucono \(10\) razy standardową sześcienną kostką do gry. Średnia arytmetyczna liczb oczek uzyskanych w pierwszych \(6\) rzutach była równa \(3{,}5\), a średnia arytmetyczna liczb oczek uzyskanych w kolejnych \(4\) rzutach to \(4{,}5\). Średnia arytmetyczna liczb oczek w \(10\) rzutach wynosi:
A.\( 4{,}1 \)
B.\( 4{,}0 \)
C.\( 3{,}9 \)
D.\( 3{,}8 \)
C
Przekątna sześcianu ma długość \(6\) cm. Objętość tego sześcianu jest równa:
A.\( 24\sqrt{3}\ \text{cm}^3 \)
B.\( 24\ \text{cm}^3 \)
C.\( 72\sqrt{3}\ \text{cm}^3 \)
D.\( 72\ \text{cm}^3 \)
A
Funkcję \(f(x)\) przesunięto wzdłuż osi układu współrzędnych, otrzymując funkcję o wzorze \(g(x)=f(x+4)\). Wobec tego funkcję \(f(x)\) przesunięto o:
A.\( 4 \) jednostki w prawo
B.\( 4 \) jednostki w górę
C.\( 4 \) jednostki w lewo
D.\( 4 \) jednostki w dół
C
Równanie \(\frac{x^2-9}{x-3}=0\):
A.nie ma rozwiązań
B.ma dokładnie jedno rozwiązanie
C.ma dokładnie dwa rozwiązania
D.ma dokładnie trzy rozwiązania
B
Stosunek obwodów dwóch sześciokątów foremnych wynosi \(\frac{3}{4}\), a długość boku większego z nich jest równa \(12\) cm. Mniejszy sześciokąt foremny ma bok długości:
A.\( 27 \) cm
B.\( 48 \) cm
C.\( 16 \) cm
D.\( 9 \) cm
D
W ciągu geometrycznym, który ma sześć wyrazów, dane są \(a_3=\frac{1}{2}\) i \(a_6=\frac{1}{16}\). Zatem:
A.\( a_2=\frac{1}{4} \)
B.\( a_2=\frac{1}{8} \)
C.\( a_2=1 \)
D.\( a_2=2 \)
C
Sześciu robotników wykonało pewną pracę w ciągu \(6\) godzin i \(20\) minut. Ośmiu robotników pracujących z taką samą wydajnością wykona tę samą pracę w ciągu:
A.\(8\) godzin i \(26\) minut
B.\(4\) godzin i \(45\) minut
C.\(4\) godzin i \(20\) minut
D.\(4\) godzin i \(40\) minut
B
Funkcja, której wykres przedstawiono na rysunku jest rosnąca:
A.tylko w przedziale \( (-\infty ,0) \)
B.tylko w przedziale \( (0,+\infty ) \)
C.w \( \mathbb{R} \backslash \{0\} \)
D.w każdym z przedziałów \( (-\infty ,0) \) i \((0, +\infty )\)
D
Szósty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest równy zero. Suma jedenastu wyrazów tego ciągu ma wartość:
A.\( 0 \)
B.\( 5 \)
C.\( 11 \)
D.\( -11 \)
A
W trójkącie przedstawionym na rysunku sinus kąta ostrego \(\alpha\) jest równy:
A.\( \frac{1}{3} \)
B.\( 3 \)
C.\( \sqrt{10} \)
D.\( \frac{\sqrt{10}}{10} \)
D
Pole trapezu jest równe \(20\ \text{cm}^2\), a odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość \(4\) cm. Wysokości tego trapezu jest równa:
A.\( 5\ \text{cm}\)
B.\( 10\ \text{cm}\)
C.\( 2{,}5\ \text{cm}\)
D.\( 7{,}5\ \text{cm}\)
A
Rozwiązaniem równania \((2x-5)(3x+2)=(3x+2)(x+5)\) są liczby:
A.\( -\frac{2}{3} \) i \(10\)
B.\( -5 \) i \(2{,}5\)
C.\( -5 \), \(-\frac{2}{3}\) i \(2{,}5\)
D.\( -5 \) i \(10\)
A
W trójkącie równoramiennym \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\) poprowadzono dwusieczne kątów \(ABC\) i \(ACB\). Dwusieczne te przecięły się w punkcie \(O\) (patrz rysunek). Jeśli \(|\sphericalangle BAC|=70^\circ \), to miara kąta \(\alpha \) jest równa:
A.\( 140^\circ \)
B.\( 110^\circ \)
C.\( 55^\circ \)
D.\( 125^\circ \)
D
Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \(f(x)=\frac{1}{7}(x-5)(x+9)\) jest prosta o równaniu:
A.\( x=5 \)
B.\( x=-9 \)
C.\( x=-2 \)
D.\( x=-7 \)
C
Funkcja liniowa \(f(x)=(m^2-3)x+2\) jest rosnąca wtedy, gdy:
A.\( m \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \)
B.\( m \in (-\infty, -\sqrt{3})\cup (\sqrt{3}, \infty ) \)
C.\( m \in \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\} \)
D.\( m \in (\sqrt{3}, \infty ) \)
B
Suma liczb \(0{,}3(7)\) i \(0{,}(7)\) zapisana w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego to:
A.\( \frac{52}{45} \)
B.\( \frac{115555}{100000} \)
C.\( \frac{29}{25} \)
D.\( \frac{23}{20} \)
A
Funkcja \(f\) przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od \(1\) jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą. Który zapis jest fałszywy?
A.\( f(22)\gt f(28) \)
B.\( f(21)=f(28) \)
C.\( f(25) \lt 10\)
D.\( f(28)\gt 9 \)
D
Cenę pewnego towaru obniżono dwukrotnie: najpierw o \(20\%\), a następnie o \(10\%\). Końcowa cena tego towaru jest niższa od ceny początkowej o:
A.\( 30\% \)
B.\( 72\% \)
C.\( 28\% \)
D.\( 15\% \)
C
Zbiorem rozwiązań nierówności \(|x|\le 4\) jest przedział:
A.\( \langle -4,4 \rangle \)
B.\( (-\infty ,4\rangle \)
C.\( (-4,4) \)
D.\( (-\infty ,-4\rangle \cup \langle 4,+\infty ) \)
A
Liczba \(3\log 2+\log 5^3\) jest równa:
A.\( \log 7^3 \)
B.\( \log 133 \)
C.\( 3\log 7 \)
D.\( 3 \)
D
Wartość wyrażenia \((\sqrt{3}-\sqrt{6})^2\) jest równa:
A.\( -3 \)
B.\( 9-6\sqrt{2} \)
C.\( -3-3\sqrt{2} \)
D.\( 3 \)
B
Na rysunku zaznaczono odcinki równej długości oraz trójkąt o polu \(10\). Ile wynosi pole trójkąta \(ABC\)?
Rozwiąż nierówność: \(\left(\frac{1}{2}\right)^x-\left(\frac{1}{2}\right)^{-1-x}\ge 1\).
\(x\le -1\)