Najnowsze filmy

Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(4\). Rozważamy wszystkie trójkąty \(DEF\) spełniające jednocześnie następujące warunki:

• punkt \(E\) leży na boku \(AB\) kwadratu \(ABCD\),
• punkt \(F\) leży na boku \(BC\) kwadratu \(ABCD\),
• \(|CF|=\frac{1}{2}\cdot|EB|=x\), gdzie \(x\in(0,2)\) (zobacz rysunek).

Niech \(P(x)\) oznacza pole trójkąta \(DEF\) w zależności od długości \(x\) odcinka \(CF\).

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Dany jest sześcioelementowy zbiór \(K=\{2,3,4,5,6,7\}\). Ze zbioru \(K\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfry tysięcy i jedności są równe, jest

W pewnej miejscowości zlokalizowane są dwie szkoły. W pierwszej z nich jest trzy razy więcej uczniów niż w drugiej. Średni wiek uczniów w pierwszej szkole to \(9\) lat, a średni wiek uczniów w drugiej szkole to \(13\) lat. Średni wiek wszystkich uczniów obu szkół, wyrażony w latach, jest równy

Tworząca stożka o promieniu podstawy \(3\) ma długość \(6\).

Pole powierzchni bocznej tego stożka jest dwukrotnie większe od pola jego podstawy.	P	F
Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(60^\circ\).	P	F

Odcinek \(AD\) jest wysokością walca, a odcinek \(AB\) jest średnicą podstawy walca. Odcinek \(BD\) ma długość \(4\sqrt{3}\). Miara kąta \(ABD\) jest równa \(30^\circ\) (zobacz rysunek).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) odcinek o końcach \(A=(1,1)\) oraz \(B=(3,-1)\) jest średnicą okręgu \(\mathcal{O}\). Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem

Każda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość \(12\). Wysokość tego ostrosłupa jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest równoległobok \(ABCD\), w którym \(D=(6,19)\). Bok \(AB\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \[ y=\frac{1}{2}x+9, \] a bok \(AD\) zawiera się w prostej o równaniu \[ y=4x-5. \] Punkt \(K=(10,14)\) jest środkiem odcinka \(AB\). Przekątne równoległoboku \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-3,1)\) oraz \(B=(1,-3)\) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Obwód kwadratu \(ABCD\) jest równy

Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie \(A\) przecięto dwiema prostymi równoległymi \(k\) oraz \(l\). Prosta \(k\) przecina ramiona tego kąta w punktach \(B\) oraz \(C\). Prosta \(l\) przecina ramiona tego kąta w punktach \(D\) oraz \(E\). Punkty \(B\) oraz \(D\) leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty \(C\) oraz \(E\) leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto \(|AB|=6\), \(|BC|=4\) oraz \(|BD|=2\) (zobacz rysunek). Odcinek \(DE\) ma długość

W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(AB\), a punkt \(E\) leży na boku \(AC\). Odcinek \(BE\) jest środkową trójkąta \(ABC\), a odcinek \(CD\) jest wysokością tego trójkąta. Ponadto odcinki \(DB\) oraz \(DE\) mają równe długości (zobacz rysunek).

Kąt o mierze \(\alpha\) jest rozwarty oraz \(\sin\alpha=\frac{3}{5}\). Cosinus kąta o mierze \(\alpha\) jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie \(\alpha\), że \(\sin\alpha=\frac{1}{4}\). Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość \(8\). Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Odcinek \(BD\) jest średnicą tego okręgu oraz \(|\sphericalangle ABD|=18^\circ\). Punkt \(D\) leży na krótszym łuku \(CA\) (zobacz rysunek). Miara kąta ostrego \(BCA\) jest równa

Czterowyrazowy ciąg \((7,a_2,a_3,a_4)\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(54\).

Pięciowyrazowy ciąg \((a_1,a_2,2,a_4,a_5)\) jest geometryczny. Iloczyn \(a_1\cdot a_2\cdot 2\cdot a_4\cdot a_5\) jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(-3,7)\).

Ciąg \((a_n)\) jest określony następująco: \[ \begin{cases} a_1=2\\ a_{n+1}=a_n-6 \end{cases} \] dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=2x^2-kx+6\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\). Liczba \(k\) jest równa

Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{4}{3}x+\dfrac{14}{3} & \text{dla } x\in[-5,-2)\\[6pt] \dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{2} & \text{dla } x\in[-2,2]\\[6pt] -3x+9 & \text{dla } x\in(2,4) \end{cases} \] Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Dane jest równanie \[ \frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x}, \] gdzie \(x\neq 0\) i \(x\neq 1\).

W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest \(198\). Gdyby w tym parku rosło o \(18\) drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych byłoby tam \(3\) razy więcej niż drzew iglastych. Przyjmijmy następujące oznaczenia:
\(x\) — liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim,
\(y\) — liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim. Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew iglastych oraz liczby \(y\) drzew liściastych, jest

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3x-4\).

Funkcja \(f\) jest rosnąca.	P	F
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(f\) przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,4)\).	P	F

Dane są wielomiany \(W\), \(V\) oraz \(H\) określone wzorami: \[ W(x)=x^4 \] \[ V(x)=x^3+1 \] \[ H(x)=x-2 \] Wielomian \(W(x)-V(x)\cdot H(x)\) jest określony wzorem

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \[ -2(x+3)(x-2)\gt 0 \] jest przedział

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \(x^3-2x^2+x\) jest równa wartości wyrażenia

Liczba \(\frac{9^4}{3^{-20}}\) jest równa

Liczba \(\log_5\sqrt[3]{25}\) jest równa

Liczba \(\frac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}\) jest równa

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości \(x\) metrów nieprzekraczającej \(10\) metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy \(4\) metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika. Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

W czworokącie \(ABCD\) są dane: \(|AB|=9\), \(|AD|=10\) oraz \(|\sphericalangle BAD|=60^\circ\). W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg.

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym \(ABCS\) podstawa \(ABC\) jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie \(ABC\) jest równa \(6\sqrt{2}\pi\), a cosinus kąta między krawędziami bocznymi \(SB\) i \(SC\) jest równy \(\frac{5}{9}\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(1,-1)\) oraz \(B=(4,0)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\), w którym \(|CA|=|CB|\). Jedno z ramion trójkąta \(ABC\) zawiera się w prostej o równaniu \(x+2y-4=0\). Na boku \(AC\) tego trójkąta obrano taki punkt \(M\), że \(|AM|:|MC|=1:4\).

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od \(6\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy \(1\), a ostatni wyraz tego ciągu jest równy \((-2025)\). Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą — w podanej kolejności — ciąg geometryczny.

Punkty \(K\) i \(L\) są środkami — odpowiednio — boków \(AB\) i \(BC\) kwadratu \(ABCD\) o boku długości \(a\). Punkt \(M\) jest takim punktem na boku \(BC\), że odcinki \(DK\) i \(KM\) są prostopadłe. Odcinek \(AL\) przecina odcinki \(DK\) oraz \(DM\) w punktach — odpowiednio — \(P\) oraz \(Q\).

Ze zbioru ośmiu liczb \(\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.

W chwili \(t=0\) z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość \(h\), na której znajduje się piłeczka w danej chwili \(t\), jest określona wzorem \[ h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t, \] gdzie czas \(t\) jest wyrażony w sekundach i zmienia się od \(0\) do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię, a wysokość \(h\) jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a,b,c\), jest równa \(2\). Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(d,e,f,g\), jest równa \(5{,}5\). Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: \(a,b,c,d,e,f,g\), jest równa

Nauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono wyniki sprawdzianu ze statystyki, jakie uzyskali uczniowie tych klas. Na osiach poziomych podano oceny, które uzyskali uczniowie tych klas, a na osiach pionowych podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.	P	F
Mediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.	P	F

Dane są dwa zbiory cyfr: \(X=\{1,3,5,7,9\}\) oraz \(Y=\{0,2,4,6,8\}\). Losujemy jedną cyfrę ze zbioru \(X\), a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru \(Y\). Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru \(X\) jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru \(Y\) jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(0,1,2,3,4,5,6\), jest

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość \(8\sqrt{3}\). Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o środku w punkcie \(S=(1,-3)\) i o promieniu \(5\).

Punkt \(A=(4,-7)\) leży na okręgu \(\mathcal{O}\).	P	F
Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem \((x-1)^2+(y+3)^2=5\).	P	F

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \[ y=-\frac{1}{3}x+2. \] Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \((2,-2)\). Prosta \(l\) przecina oś \(Oy\) w punkcie

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \[ \frac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6. \] Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(0,-3)\), \(B=(2,1)\) oraz \(C=(0,2)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Dany jest trójkąt \(KLM\), w którym \(|KM|=a\) oraz \(|LM|=b\). Dwusieczna kąta \(LMK\) przecina bok \(KL\) w punkcie \(N\). Wykaż, że stosunek pola trójkąta \(KNM\) do pola trójkąta \(NLM\) jest równy \(\frac{a}{b}\).

W okrąg \(\mathcal{O}\) o promieniu \(9\sqrt{3}\) wpisano trójkąt równoboczny \(\mathcal{T}\). Bok trójkąta \(\mathcal{T}\) ma długość .......... .

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(AC\) jest przeciwprostokątną oraz \(|BC|=2\) i \(|AC|=2\sqrt{10}\). Oznaczmy kąt \(BCA\) przez \(\gamma\). Sinus kąta \(\gamma\) jest równy

Punkty \(A,B,C,D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Punkt \(B\) leży na krótszym łuku \(AC\). Kąt \(CDA\) ma miarę \(50^\circ\), a kąt \(COB\) ma miarę \(30^\circ\). Miara kąta ostrego \(BOA\) jest równa

Na płaszczyźnie dane są cztery proste: \(k,l,m\) oraz \(n\). Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe. Prosta \(m\) przecina proste \(k\) oraz \(l\) w punktach — odpowiednio — \(A\) oraz \(C\). Prosta \(n\) przecina proste \(k\) oraz \(l\) w punktach — odpowiednio — \(D\) oraz \(B\). Odcinki \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\). Ponadto \(|OA|=12\), \(|OB|=6\) oraz \(|OC|=8\). Odcinek \(OD\) ma długość

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Trzywyrazowy ciąg \((a_1,a_9,a_k)\) jest geometryczny.

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). W tym ciągu \(a_1=1\) oraz \(a_5=17\). Dziewiąty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek \(a_3\cdot a_6=18\). Iloczyn \(a_2\cdot a_7\) jest równy .......... .

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(3,-2)\). Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) wzorem \(g(x)=f(x+1)\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest liczba \(0\).

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a\) i \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\). Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji \(f\) z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji \(f\) jest nachylony do osi \(Ox\) układu współrzędnych pod kątem o mierze \(\alpha\).

Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[ f(x)= \begin{cases} x+2 & \text{dla } x\in[-4,2]\\ -x+5 & \text{dla } x\in(2,5) \end{cases} \] Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Rozwiązaniem równania \[ \frac{x+2}{3x-1}=\frac{2}{5} \] jest liczba

Rozwiąż nierówność \[ 3x^2+4x\ge 6x+8. \] Zapisz obliczenia.

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika. Na to przedstawienie sprzedano łącznie \(200\) biletów. Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości \(25\%\) wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało \(4665\) zł.

Dane jest równanie \[ 3(x+3)(x-m)(2x+4)=0, \] gdzie \(x\) jest niewiadomą, natomiast \(m\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa \(0\). Liczba \(m\) jest równa

Liczba naturalna \(4^{12}\cdot5^{24}\) jest podzielna przez \(20\).	P	F
Liczba naturalna \(4^{12}\cdot5^{24}\) jest w zapisie dziesiętnym liczbą \(25\)-cyfrową.	P	F

Wartość wyrażenia \(x^2+10x+25\) dla \(x=\sqrt{2}-5\) jest równa

Liczba \(\log_8 4-\log_8 32\) jest równa

Klient wpłacił do banku \(10000\) zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(6\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie — zgodnie z procentem składanym. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie, bez uwzględniania podatków, jest równa

Liczba \(\sqrt{5\sqrt{5}}\) jest równa

Liczba \(\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}+2^{-1}\) jest równa

Czy umiesz obliczać średnią arytmetyczną i ważoną?

• Wyznacz \(x\), dla którego średnia arytmetyczna liczb: \(2, 3, x, 5\) jest równa \(5\).
• W pewnej klasie średnia ocen z matematyki wśród \(12\) dziewcząt wynosi \(4{,}5\), a wśród \(8\) chłopców wynosi \(3{,}5\). Oblicz średnią ocen z matematyki w całej klasie.

Czy umiesz obliczać medianę i dominantę?

• Wyznacz medianę i dominantę zbioru danych: \(\{3,3,5,7,3,7,4\}\)
• W tabeli przedstawiono ile w pewnej szkole jest klas z podaną liczbą uczniów:

  Liczba uczniów w klasie:	25	26	27	28	29	30
  Liczba klas:	4	5	6	1	1	1

  Oblicz medianę i dominantę liczby uczniów w klasach.

Czy wiesz jak obliczać prawdopodobieństwo w modelu klasycznym?

• Rzucamy symetryczną monetą i symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ścianie ma inną liczbę oczek od \(1\) do \(6\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucimy orła i \(5\) oczek?
• Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), że suma wyrzuconych oczek jest podzielna przez \(5\).
• W urnie mamy \(9\) kul czarnych i \(3\) kule białe. Losujemy dwa razy po jednej kuli bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), że zostaną wylosowane dwie kule czarne?

Czy umiesz stosować regułę mnożenia i dodawania w kombinatoryce?

• Ile jest liczb czterocyfrowych kończących się na cyfrę \(3\) lub cyfrę \(7\)?
• Ile jest liczb trzycyfrowych parzystych?
• Ile jest liczb czterocyfrowych w których cyfra \(5\) występuje dokładnie raz.
• Podczas gry w bilarda było \(9\) różnych kul, a w stole było \(6\) różnych łuz (otworów do których wpadają kule). Wszystkie kule wpadły do łuz. Na ile sposobów mogły wpaść kule do łuz, jeśli wiadomo, że nie wpadły wszystkie do jednej łuzy?

Czy znasz zależność między objętościami i polami powierzchni brył podobnych?

• Kula \(K_1\) ma pole powierzchni \(2\) razy większe od pola powierzchni kuli \(K_2\). Ile razy objętość kuli \(K_1\) jest większa od objętości kuli \(K_2\)?

Czy umiesz obliczać pole powierzchni i objętość kuli?

• Oblicz objętość i pole kuli o promieniu \(2\).
• Kulę o środku \(S\) przecięto płaszczyzną i otrzymano przekrój, który jest kołem o polu \(4\pi \) i środku \(O\), przy czym \(|SO|=2\). Oblicz promień kuli.
• Dana jest kula i walec. Promień kuli jest równy wysokości walca. Objętość walca jest równa \(12\pi\), a jego przekrój osiowy jest kwadratem. Oblicz objętość kuli.

Czy wiesz jak obliczać pole, objętość, pole powierzchni i przekrój osiowy stożka?

• Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym. Tworząca stożka ma długość \(3\sqrt{2}\). Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej stożka.
• Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem koła o kącie środkowym \(60^\circ \) i promieniu \(6\). Oblicz objętość i pole całkowite tego stożka.

Czy wiesz jak obliczać pole, objętość i przekrój osiowy walca?

• Przekątna przekroju osiowego walca ma długość \(6\) i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \(\alpha \), taki, że \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\). Oblicz objętość i pole ściany bocznej tego walca.

Czy umiesz obliczać objętości i pola powierzchni graniastosłupów i ostrosłupów?

• Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu, jeżeli wiadomo, że \(|AB|=6\) i \(|BC|=8\) oraz tangens kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy jest równy \(2\).
• Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny \(ABCS\). Okrąg opisany na podstawie \(ABC\) ma obwód długości \(4\pi\). Kąt nachylenia wysokości ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi \(45^\circ \). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa \(ABCS\).

Czy umiesz zaznaczać kąty w graniastosłupach i ostrosłupach i oceniać prostopadłość odcinków?

• Zaznacz kąt \(\alpha\) między przekątną prostopadłościanu a podstawą oraz kąt \(\beta \) między przekątną prostopadłościanu a ścianą boczną. Czy odcinki \(AB\) i \(FG\) są prostopadłe?
  Czy odcinki \(BD\) i \(GH\) są prostopadłe?
• Zaznacz kąt \(\alpha\) między odcinkiem \(HP\) sześcianu a podstawą oraz kąt \(\beta \) między odcinkiem \(HP\) sześcianu a odcinkiem \(PC\).
• Zaznacz kąt \(\alpha\) między krawędzią ostrosłupa prawidłowego czworokątnego a podstawą oraz kąt \(\beta \) między krawędzią boczną a wysokością.
• Zaznacz kąt \(\alpha\) między krawędzią ostrosłupa prawidłowego trójkątnego a podstawą oraz kąt \(\beta \) między krawędzią boczną a krawędzią podstawy.

Czy umiesz wyznaczać obrazy figur w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, oraz symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych?

• Dane są punkty \(A=(1,-1)\) oraz \(B=(2,2)\). Odcinek \(AB\) przekształcono w symetrii względem osi \(Oy\) otrzymując odcinek \(A_1B_1\). Oblicz pole figury \(ABB_1A_1\).
• Wyznacz równanie prostej \(k\), która jest obrazem prostej \(l: y=-2x+3\) w symetrii punktowej względem początku układu współrzędnych.

Czy wiesz jak znajdować środek odcinka?

• Dane są punkty \(A=(1,2)\) oraz \(B=(-3,7)\). Wyznacz środek odcinka \(AB\)
• W rombie \(ABCD\) dany jest punkt \(A=(-1,0)\), a punkt \(C\) leży na prostej \(y=x+1\). Środek symetrii rombu \(ABCD\) leży na prostej \(x=1\). Wyznacz współrzędne punktu \(C\).

Czy umiesz wyznaczać równanie okręgu o danym środku i promieniu?

• Zapisz równanie okręgu o środku \(S=(2,-3)\) i promieniu \(r=5\).
• Wyznacz parametr \(m\), dla którego środkiem okręgu \((x-m^2)^2+(y+m)^2=6\) jest punkt \(S=(4,2)\).
• Okrąg \(O_1\) ma równanie: \(x^2+y^2=9\), a okrąg \(O_2\) ma środek w punkcie \((\sqrt{2}, \sqrt{3})\). Okręgi \(O_1\) oraz \(O_2\) są styczne wewnętrznie. Oblicz promień okręgu \(O_2\)

Czy wiesz jak znajdować punkt przecięcia dwóch prostych?

• Wyznacz punkt przecięcia prostych \(y=2x+3\) oraz \(y=-x+2\).

Czy umiesz wyznaczać równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, lub przez jeden punkt i jednocześnie równoległej do innej prostej?

• Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A=(-1, 2)\) oraz \(B=(3,4)\).
• Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt \(A=(0, 5)\) oraz równoległej do prostej \(4x+2y-1=0\).

Czy wiesz jak obliczać odległość dwóch punktów?

• Punkty \(A=(0,2)\) oraz \(B=(3,1)\) są wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Oblicz długość przekątnej \(AC\).

Czy umiesz korzystać z podobieństwa trójkątów?

• (4 pkt) W trójkącie równoramiennym \(ABC\) poprowadzono odcinek \(DE\) równoległy do podstawy \(AB\). Dane są: \(|DE|=3\) oraz \(|CD|=4\), a także wiadomo, że \(|AB|:|EC|=9:4\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\).
• W trójkącie prostokątnym \(ABC\) o przeciwprostokątnej \(AB\) poprowadzono wysokość \(CD\). Wykaż, że \(|CD|^2 =|AD|\cdot |DB|\).

Czy wiesz jaka jest zależność między polami i obwodami figur podobnych?

• Siedmiokąt foremny \(S_1\) ma bok \(3\) razy dłuższy od boku siedmiokąta foremnego \(S_2\). Siedmiokąt \(S_2\) ma obwód równy \(l\), a pole równe \(3\pi\). Oblicz obwód i pole \(S_1\).

Czy wiesz jak stosować twierdzenie Talesa?

• W trójkącie \(ABC\) poprowadzono odcinki \(DE\) i \(FG\) równoległe do podstawy (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka \(BE\).

Czy wiesz kiedy dwie proste są równoległe?

• Dla jakiego parametru \(m\) proste \(y=(m+1)x+3\) oraz \(y=2mx-5\) są równoległe?
• Dla jakiego parametru \(m\) proste \(m^2x-y+3=0\) oraz \(-5x+y-m=0\) są równoległe?

Czy wiesz jak działa twierdzenie o odcinkach stycznych?

• Oblicz długości wszystkich boków trójkąta \(ABC\)
• Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:

Czy znasz własności kątów i przekątnych w równoległobokach, rombach i trapezach?

• Jeden z kątów wewnętrznych rombu ma miarę \(120^\circ \), a krótsza przekątna ma długość \(2\). Oblicz obwód i pole tego rombu.
• W równoległoboku \(ABCD\) dane są długości boku \(|AD|=2\) i przekątnej \(|BD|=3\). Ponadto kąt \(CBD\) jest prosty. Oblicz pole \(ABCD\).
• Dany jest trapez o podstawach \(a\) oraz \(b\), w którym przekątne są jednocześnie dwusiecznymi kątów przy podstawie \(a\). Wykaż, że obwód tego trapezu to \(a+3b\).

Czy umiesz obliczać kąty w okręgu?
\(S\) to środek okręgu.

• Oblicz miarę kąta \(\alpha \):
• Oblicz miarę kąta \(\alpha \) i \(\beta \):

Czy umiesz obliczać pole wycinka koła i długość łuku okręgu?

• Oblicz długość łuku \(AC\) i pole wycinka \(ACS\):

Czy znasz własności trójkąta równobocznego?

• Okrąg wpisany w trójkąt równoboczny ma promień długości \(5\). Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
• Pole trójkąta równobocznego jest równe \(\frac{17\sqrt{3}}{4}\). Oblicz obwód tego trójkąta.

Czy znasz własności trójkąta prostokątnego?

• Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości \(3\) oraz \(4\).
• Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości \(3\) oraz \(4\).
• Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości \(5\) oraz \(12\). Oblicz długość wysokości poprowadzonej z kąta prostego na przeciwprostokątną.

Czy znasz punkty szczególne w trójkącie?

• Co to jest ortocentrum w trójkącie?
• Gdzie leży środek okręgu opisanego na trójkącie?
• Gdzie leży środek okręgu wpisanego w trójkąt?
• Jak dzielą się środkowe w trójkącie?

Czy wiesz jak analizować wielokąty foremne?

• Oblicz pole sześciokąta foremnego o boku długości \(2\).
• Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego.

Czy znasz wzór na jedynkę trygonometryczną oraz wzór na tangens?

• Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(2\operatorname{tg} \alpha -3\cos^{2} \alpha=3\sin^{2} \alpha\). Oblicz \(\operatorname{tg} \alpha\).
• Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \( \cos^2\alpha\cdot \operatorname{tg} \alpha \).

Czy umiesz rozwiązywać trójkąty prostokątne z wykorzystaniem trygonometrii?

• Dany jest trójkąt: w którym \(\sin \alpha =\frac{1}{4}\). Oblicz obwód tego trójkąta.
• W trójkącie prostokątnym miara jednego kąta wewnętrznego wynosi \(30^\circ \), a długość najdłuższego boku jest równa \(2\). Oblicz pole tego trójkąta.

Czy wiesz co to jest i do czego stosujemy twierdzenie cosinusów?

• W trójkącie \(ABC\) dane są długości boków \(|AB|=3\) oraz \(|AC|=4\) oraz miara kąta \(|\sphericalangle BAC|=60^\circ \). Oblicz długość boku \(BC\).

Czy znasz wzór na pole trójkąta z wykorzystaniem dwóch boków i kąta między nimi?

• W trójkącie \(ABC\) dane są boki \(|AB|=3\) oraz \(|AC|=4\) oraz kąta \(|\sphericalangle BAC|=60^\circ \). Oblicz pole trójkąta \(ABC\).

Czy umiesz korzystać ze wzoru ciągu danego w postaci ogólnej?

• Oblicz trzeci wyraz ciągu danego wzorem \(a_n=\frac{n^2}{(-1)^n}+1\).
• Który wyraz ciągu \(a_n=2n^3\) jest równy \(54\)?

Czy umiesz obliczać wyrazy ciągu rekurencyjnego?

• Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem rekurencyjnym: \[\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n+1} = n\cdot a_n - 1 \end{cases} \] Oblicz \(a_3\).
• Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem rekurencyjnym: \[\begin{cases} a_1 = 1 \\ a_2=2 \\ a_{n+2} = a_n + a_{n+1} \end{cases} \] Oblicz \(a_4\).

Czy wiesz, jak badać monotoniczność ciągu?

• Wykaż, że ciąg \(a_n=3n+2\) jest rosnący.
• Uzasadnij, że ciąg \(a_n = (n-2)(n-10)\) jest niemonotoniczny.

Czy znasz definicje funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym?

• Oblicz \(\sin \alpha\), \(\sin \beta\), \(\cos \alpha\), \(\cos \beta\) oraz \(\operatorname{tg} \alpha\) i \(\operatorname{tg} \beta\) w trójkącie prostokątnym:
• W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym \(\alpha \), dany jest \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}\). Oblicz \(\cos \alpha \).

Czy umiesz obliczać wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów rozwartych?

• Oblicz wartość wyrażenia \(\sin 135^\circ + \cos 120^\circ \).
• Zbadaj prawdziwość zdań:

  Wyrażenie \(\frac{\sin 170^\circ}{\operatorname{tg} 100^\circ } \) jest dodatnie.	P	F
  Wyrażenie \(\cos 101^\circ \cdot \operatorname{tg} 99^\circ \) jest dodatnie.	P	F

Czy wiesz, co to jest proporcjonalność odwrotna?

• Samochód pokonuje pewną trasę w \(4\) godziny, jeżeli jedzie z prędkością \(80\) km/h. W jakim czasie pokona tę samą trasę jadąc z prędkością \(100\) km/h?
• Funkcja \(f(x)\) opisuje zależność odwrotnie proporcjonalną. Wiadomo, że \(f(2)=5\). Oblicz \(f(3)\).

Czy wiesz co to jest funkcja wykładnicza i znasz jej wykres?

• Oblicz wartość, jaką przyjmuje funkcja \(f(x)=2^x+3\) dla argumentu \(3\).
• Funkcja wykładnicza \(f(x)=a^{x+1}-3\) jest malejąca. Której spośród liczb ze zbioru \(\left\{-2, -1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1, 2\right\}\) może być wartością współczynnika \(a\)?

Czy wiesz co to jest funkcja logarytmiczna i znasz jej wykres?

• Oblicz wartość, jaką przyjmuje funkcja \(f(x)=\log_3 (x-2)+1\) dla argumentu \(5\).
• Jaka jest dziedzina oraz zbiór wartości funkcji \(f(x)=\log_\frac{1}{2}(x-3)\)?

Czy wiesz, co to jest ciąg arytmetyczny i znasz jego własności?

• W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są: \(a_1=2\) oraz \(a_2=5\). Oblicz \(a_3\).
• W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są: \(a_7=3\) oraz \(a_{11}=-5\). Oblicz \(a_5\).
• Dany jest trzywyrazowy ciąg arytmetyczny: \((6, 2m+1, 5)\). Oblicz \(m\).
• Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(3\).

Czy wiesz, co to jest ciąg geometryczny i znasz jego własności?

• W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są: \(a_1=2\) oraz \(a_2=6\). Oblicz \(a_3\).
• W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są: \(a_7=10\) oraz \(a_{9}=250\). Oblicz \(a_6\).
• Dany jest trzywyrazowy rosnący ciąg geometryczny: \((x, 2x, 5)\). Oblicz \(x\).
• Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy \((-1)\), a iloraz \(q=2\). Oblicz sumę \(10\) początkowych wyrazów tego ciągu.

Czy umiesz rysować wykres funkcji kwadratowej oraz interpretować jego własności?

• Wykres funkcji kwadratowej \(f(x)\) przechodzi przez punkty \(A=(0,2)\) i \(B=(3,0)\) oraz ma oś symetrii \(x=4\). Wyznacz wzór funkcji \(f(x)\) i narysuj jej wykres.

Czy wiesz jak wyznaczać wartość największą i najmniejszą funkcji kwadratowej na przedziale domkniętym?

• Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=-(x-2)^2+5\) na przedziale \([0, 6]\).
• Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=x(x-4)\) na przedziale \([-1, 3]\).

Czy umiesz rozwiązywać zadania optymalizacyjne z funkcji kwadratowej?

• Zysk pewnej firmy w zależności od liczby pracowników \(n\) opisuje funkcja: \(f(n)=10(n-5)(35-n)\). Oblicz, dla ilu zatrudnionych pracowników zysk firmy jest największy.
• Rozważamy wszystkie romby o sumie długości przekątnych równej \(10\). Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego rombu od długości \(x\) jednej przekątnej. Oblicz wymiary tego z rozważanych rombu, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.

Czy umiesz rozwiązywać nierówności kwadratowe?

• \(3x^2-3x\le 6\)
• \(x^2-\sqrt{3}x+10\gt 0\)
• \((1-x)(2+x)\lt 0\)

Czy umiesz rysować i interpretować funkcję liniową?

• Wyznacz wzór funkcji liniowej danej na wykresie:
• Narysuj wykres funkcji \(f(x)=2x-\sqrt{2}\)
• Dana jest funkcja liniowa \(y=ax+b\). Wiadomo, że \(b\lt 0\). Wyznacz wszystkie współczynniki \(a\), dla których funkcja ma dodatnie miejsce zerowe.
• Dana jest funkcja liniowa \(y=(m^2-1)x+2\). Wyznacz wszystkie parametry \(m\), dla których funkcja nie ma miejsc zerowych.

Czy wiesz, jak wpływa na wzór funkcji przesunięcie jej wykresu w pionie, albo poziomie o ustaloną wartość?
Wykres funkcji \(f(x)=2^x+1\) przesunięto

• w pionie o \(3\) jednostki do góry,
• w pionie o \(4\) jednostki do dołu,
• w poziomie o \(5\) jednostek w lewo,
• w poziomie o \(6\) jednostek w prawo.

i otrzymano wykres funkcji \(g(x)\). Zapisz wzór funkcji \(g(x)\).

Czy umiesz narysować funkcję kwadratową daną w postaci ogólnej?

• Narysuj wykres funkcji \(f(x)=x^2\).
• Narysuj wykres funkcji \(f(x)=-\frac{1}{3}x^2\).
• Narysuj wykres funkcji \(f(x)=x^2+3x+2\).

Czy znasz postać kanoniczną funkcji kwadratowej oraz jej związek z wierzchołkiem?

• Wyznacz wzór funkcji kwadratowej o wierzchołku w punkcie \((2,-1)\) i przechodzącej przez początek układu współrzędnych.
• Wyznacz wierzchołek funkcji kwadratowej \(f(x)=-\frac{1}{3}(x-5)^2+7\).
• Wyznacz równanie osi symetrii funkcji \(f(x)=2(x+3)^2-1\).

Czy znasz postać iloczynową funkcji kwadratowej oraz jej związek z miejscami zerowymi?

• Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej \(f(x)=3\left(2x-\sqrt{2}\right)(x+2)\).
• Zapisz postać iloczynową funkcji \(f(x)=x^2-5\).
• Zapisz postać iloczynową funkcji \(f(x)=x^2-6x+9\).
• Wyznacz równanie osi symetrii funkcji \(f(x)=(x+2)(x-4)\).

Czy umiesz rozwiązywać równania kwadratowe?
Rozwiąż równanie:

• \(2x^2+3x-4=0\)
• \(2x^2+3x=0\)
• \((x-5)^2=9\)
• \((2x+3)(x-2)=0\)
• \((x-\sqrt{2})^2+3x^2+1=0\)

Czy umiesz rozwiązywać proste równania wymierne?
Rozwiąż równanie i zapisz założenia:

• \(\frac{2}{x}=\frac{x}{2x-2}\)
• \(\frac{x+2}{x-1}=\frac{5x+5}{x-2}\)
• \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=2\)

Czy umiesz odczytywać informacje z wykresu funkcji?
Dany jest wykres funkcji \(f\):

• Dziedzina funkcji \(f\) to: .................
• Zbiór wartości funkcji \(f\) to: .................
• Największa wartość funkcji \(f\) to: .................
• Najmniejsza wartość funkcji \(f\) to: .................
• Największa wartość funkcji \(f\) jest przyjmowana dla argumentu: .................
• Wyrażenie \(\frac{f(0)+f(2)}{f(1)}\) jest równe: .................
• Oceń prawdziwość zdań:

  Funkcja jest stała na przedziale \([-5, -3]\)	P	F
  Funkcja jest malejąca na przedziale \([-3, -2]\)	P	F
  Funkcja jest stała na przedziale \([-2, 1]\)	P	F
  Funkcja jest rosnąca na przedziale \([1, 2]\)	P	F
  Funkcja jest rosnąca na przedziale \([2, 4)\)	P	F

Czy umiesz wykorzystać informacje o funkcji dane za pomocą wzoru, opisu słownego lub tabeli?

• Funkcja \(f\) każdej liczbie wymiernej przyporządkowuje liczbę o \(1\) większą, a każdej liczbie niewymiernej przyporządkowuje kwadrat tej liczby. Oblicz \(f(1)\cdot f(\sqrt{2})\).
• Dana jest funkcja za pomocą tabelki:

  \(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
  \(y\)	\(0\)	\(0\)	\(-1\)	\(-1\)	\(5\)

  Oceń prawdziwość zdań:

  Funkcja ma trzy miejsca zerowe.	P	F
  Najmniejsza wartość tej funkcji to \(-2\).	P	F

• Dana jest funkcja wzorem \(f(x)=\frac{x^2-3}{(5-\sqrt{7})x-\sqrt[3]{5}}\). Oblicz \(f(\sqrt{3})\).

Czy umiesz rozwiązywać równania dane w postaci iloczynowej?

• Rozwiąż równanie: \((x-2)(x+3)(x-5)^2=0\)
• Ile rozwiązań ma równanie: \(\frac{x^2(x-1)(x-2)^2(x-3)^2}{x(x-4)}=0\)

Czy wiesz, co to są równania i nierówności sprzeczne i tożsamościowe?

• Ile rozwiązań ma równanie: \(5x^2-x=(2x-1)(2x+1)+x^2-x+1\) ?
• Ile rozwiązań ma nierówność: \(3x^2+|2x-\sqrt{3}|\lt 0\) ?
• Dla jakiego parametru \(m\) równanie: \(2mx+3=1-x\) jest sprzeczne?
• Dla jakiego parametru \(m\) nierówność: \(x^2+mx+1\lt 0\) jest sprzeczna?
• Dla jakiego parametru \(m\) równanie: \((m-2)x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\) jest tożsamościowe?

Czy umiesz wykonywać działania na wielomianach?

• Dany jest wielomian \(W(x)=3x^4+2x^2-1\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{W(1)-W(0)}{W(0)}\).
• Dane są wielomiany \(W(x)=x^4-1\) oraz \(P(x)=x^5-x^3+2x\). Wyznacz stopień wielomianu \(Q(x)=W(x)\cdot P(x)\) oraz wielomianu \(R(x)=W(x) + P(x)\).
• Dany jest wielomian \(W(x)=x^6-x^5+(k+3)x^4\) z parametrem \(k\). Dla jakiego parametru \(k\) równanie \(|2x-W(2026)|=W(1)\) jest sprzeczne?

Czy umiesz wykonywać działania na procentach?

• Oblicz liczbę, której \(20\%\) jest równe \(4\).
• Liczba \(a\) to \(20\%\) liczby \(b\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{5b}{a}\).
• Cenę pewnego towaru obniżono o \(10\%\), a potem nową cenę podwyższono o \(10\%\). Czy cena towaru wróciła do początkowej wartości?
• Wpłacono \(1000\) zł na lokatę oprocentowaną w wysokości \(4\%\) w skali roku. Zapisz wzorem, ile środków będzie na lokacie po \(10\) latach oszczędzania (nie uwzględniając podatku).

Czy umiesz rozwiązywać układy równań?

• Rozwiąż układ: \(\begin{cases} y=2x+1 \\ 3x+y=6 \end{cases} \)
• Rozwiąż układ: \(\begin{cases} 7x+9y=5 \\ 7x+8y=0 \end{cases} \)

Czy umiesz rozwiązywać zadania tekstowe prowadzące do układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi?

• Podczas szkolnego kiermaszu sprzedawano dwa rodzaje cegiełek charytatywnych: zwykłe i specjalne. Sprzedano łącznie \(150\) cegiełek. Cegiełka zwykła kosztowała \(20\) zł. Ze sprzedaży wszystkich cegiełek zebrano \(4200\) zł, z czego \(80\%\) tej kwoty pochodziło ze sprzedaży cegiełek specjalnych. Oblicz, ile sprzedano cegiełek specjalnych.

Czy umiesz skracać wyrażenia wymierne?

• Uprość wyrażenie: \(\frac{(x-1)(x+2)}{x^2}\cdot \frac{x^3(x+3)}{(x+2)^2}\). Jakie założenia należy przyjąć?
• Określ dziedzinę i uprość wyrażenie: \(\frac{1}{x^2 - 2x + 1} : \frac{x+1}{x-1}\)

Czy umiesz rozwiązywać równania i nierówności liniowe?

• Rozwiąż równanie: \(\sqrt{2}+\sqrt{3}x=4\sqrt{2}\)
• Rozwiąż nierówność: \(\frac{2x+1}{3}-x\gt2\)

Czy wiesz, jak zapisać liczbę:

• parzystą?
• nieparzystą?
• podzielną przez \(7\)?
• taką, która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\)?

Czy umiesz rozwiązywać zadania dowodowe z podzielnością i resztą z dzielenia?

• Wykaż, że liczba \(7^{13}+7^{14}+7^{15}\) jest podzielna przez \(57\).
• Wykaż, że liczba \(2026^{2027}+2026^{2026}\) jest podzielna przez \(2027\).
• Niech \(a\) to będzie liczba, która przy dzieleniu przez \(6\) daje resztę \(1\). Wykaż, że liczba \(a^2-1\) jest podzielna przez \(12\).
• Niech \(a\) to będzie liczba podzielna przez \(8\), a \(b\) to liczba która przy dzieleniu przez \(4\) daje resztę \(3\). Wykaż, że liczba \(a+2b-6\) jest podzielna przez \(8\).

Czy umiesz wykonywać działania na ułamkach oraz usuwać niewymierność z mianownika?

• Oblicz: \(\frac{\frac{3}{7}+\frac{4}{7}\cdot \frac{3}{2}}{\frac{9}{5}}\)
• Usuń niewymierność z mianownika: \(\frac{3}{\sqrt{5}}\)
• Usuń niewymierność z mianownika: \(\frac{3}{1-\sqrt{5}}\)
• Uprość: \(\frac{3\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}\)

Czy umiesz obliczać wartość wyrażenia z wartością bezwzględną i rozwiązywać proste równania z wartością bezwzględną?

• Oblicz: \(|1+\sqrt{2}|+|1-\sqrt{2}|\)
• Oblicz: \(\frac{|3-\pi|+3}{\pi^2}\)
• Rozwiąż równanie: \(|x+2|=7\)
• Rozwiąż równanie: \(\left|3x^2-\frac{x}{7}\right|=1-\sqrt{2}\)

Czy umiesz korzystać ze wzorów skróconego mnożenia?

• Oblicz: \((\sqrt{2}-\sqrt{3})\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{2})\)
• Oblicz: \((3\sqrt{7}-1)^2+6\sqrt{7}\)
• Wykaż, że liczba \((\sqrt{2}-\sqrt{8})^{26}\) jest liczbą całkowitą.

Czy umiesz wykonywać działania na logarytmach?
Oblicz:

• \(\log_2(8\sqrt{2})\)
• \(\log_{25}\sqrt[7]{5}\)
• \(\log_550-\log_52\)
• \(\log_2\frac{8}{9}+4\log_2\sqrt{6}\)

Czy umiesz wykonywać działania na pierwiastkach?
Oblicz:

• \(\sqrt{8}-\sqrt{2}\)
• \((\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{3})^2\)
• \(\frac{3\sqrt{5}-\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}\)
• \(\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}+\sqrt{2^{-2}}\)
• \(\frac{\sqrt[5]{5}\cdot \sqrt[6]{25}}{5^{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}}\)

Czy umiesz wykonywać działania na potęgach?
Zapisz poniższe wyrażenia w postaci jednej potęgi \(a^k\):

• \(2^{10}\cdot 4^{20}\)
• \(\frac{9^{30}\cdot 81^4}{3^{10}}\)
• \(3^6+3^6+3^6\)
• \((3^5)^{\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}}\)