Jesteś tutaj: InneNajnowsze filmy

Najnowsze filmy

Na tej stronie umieszczam moje najnowsze filmy - dodane na stronę w ciągu ostatniego miesiąca.
W tym filmiku wyjaśniam co to są punkty przegięcia oraz wypukłość funkcji. Pokazuję na przykładach jak wyznaczać punkty przegięcia oraz jak badać przedziały wypukłości funkcji.
Czas nagrania: 20 min.
Zapisz liczby w postaci wykładniczej:
\(734\)
\(92\)
\(4200\)
\(5000000\)
\(10025\)
\(0{,}123\)
\(0{,}02\)
\(0{,}00007\)
\(0{,}0053\)
\(103{,}87\)
Zapisz liczby w postaci wykładniczej:
\(54\cdot 10^4\)
\(573\cdot 10^5\)
\(7005\cdot 10^{-8}\)
\(0{,}05\cdot 10^{3}\)
\(0{,}103\cdot 10^{-23}\)
Rozwiąż równanie: \(\log_\sqrt{3}(5+x)+\log_\sqrt{3}(5-x)=4\)
\(x=-4\) oraz \(x=4\)
Oblicz granicę: \(\lim_{x \to 4}\frac{2-\sqrt{x}}{3-\sqrt{2x+1}} \)
\(\frac{3}{4}\)
Oblicz granice jednostronne funkcji \(f(x)=\frac{x}{x-2}\) w punkcie nienależącym do dziedziny.
\(\lim_{x \to 0^{-}}f(x)=-\infty \) i \(\lim_{x \to 0^{+}}f(x)=+\infty\)
Zbadaj czy istnieje Granica funkcji:
\(f(x)=x\sin \frac{1}{x}\) w punkcie \(x_0=0\)
\(f(x)=x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\) w punkcie \(x_0=0\)
a) istnieje i jest równa \(0\)
b) nie istnieje
W tym filmiku pokazuję właściwość Księżyców Hipokratesa zbudowanych na trójkącie prostokątnym.
Oblicz odległość między prostymi \(k: y=-\frac{1}{2}x+4\ \) i \(\ l: x+2y-2=0\).
\(2\sqrt{2}\)
Oblicz granicę: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x}\).
\(\frac{1}{3}\)
Oblicz granicę: \(\lim_{x \to 1} \frac{1-\sqrt[3]{x}}{1-\sqrt[5]{x}}\).
\(\frac{5}{3}\)
Oblicz granicę \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos px-\cos qx}{x^2}\), gdzie \(p,q\in \mathbb{R} \).
\(\frac{q^2-p^2}{2}\)
Zbadaj czy istnieje granica funkcji \(f(x)=e^{-\frac{1}{x}}\) w punkcie \(x_0=0\).
Granica nie istnieje - funkcja jest nieciągła.
Zbadaj czy istnieje granica funkcji \(f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}-x\) w punkcie \(x_0=1\).
Granica nie istnieje - funkcja jest nieciągła.
Napisz równania wszystkich prostych, które są jednocześnie styczne do paraboli o równaniu \(y=\frac{1}{4}x^2-1\) i do okręgu o równaniu \(x^2+(y+6)^2=8\).
\(y=x-2, y=-x-2, y=\sqrt{17}x-18,y=-\sqrt{17}x-18\)
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym suma długości trzech różnych krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka wynosi \(S\). Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję długości jednej z jego krawędzi i podaj dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary graniastosłupa, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.
\(a=H=\frac{S}{3}, V=\frac{\sqrt{3}}{108}S^2\)
Jeżeli \((a_n)\) jest nieskończonym i niemonotonicznym ciągiem geometrycznym, w którym \(a_1=16\) i \(a_3=1\), to suma wszystkich jego wyrazów wynosi:
\( 21\frac{1}{3} \)
\( 12{,}8 \)
\( 0{,}8 \)
\( 5\frac{1}{3} \)
B
Dziedziną funkcji \(f(x)=\log_{x+1}(4-x^2)\) jest
\( (-2,0)\cup (0,2) \)
\( (-2,-1)\cup (-1,2) \)
\( (-1,0)\cup (0,2) \)
\( (-1,2) \)
C
Równanie \(\left|3-\frac{1}{x}\right|=m\) dwa różne rozwiązania dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy:
\( m\in (0,3)\cup (3,+\infty ) \)
\( m\in (0,3) \)
\( m\in (3,+\infty ) \)
\( m\in (0,+\infty ) \)
B
Funkcja \(f(x)=\frac{x+3}{(x-2)^2}\):
nie ma ekstremów lokalnych
ma dwa ekstrema lokalne w punktach \( x_1=-8 \) i \(x_2=2\)
ma dwa ekstrema lokalne w punktach \( x_1=-2 \) i \(x_2=8\)
ma jedno ekstremum lokalne w punkcie \( x_1=-8 \)
D
Czworokąt \(ABCD\) przedstawiony na rysunku jest wpisany w okrąg. Miara kąta \(\alpha \) jest równa:
\( 85^\circ \)
\( 90^\circ \)
\( 75^\circ \)
\( 55^\circ \)
A
Oblicz granicę \(\lim_{x \to -2}\left(\frac{x-3}{x+2}-\frac{x^3-52}{x^3+8}\right) \). Zakoduj kolejno, od lewej do prawej, cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
   
\(2{,}50\)
Rozwiąż nierówność \(3x-|2x-7|\lt 11\).
\(x\lt 4\)
Rozwiąż równanie \(\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos x=\frac{3}{2}\) w przedziale \(\langle 0; 2\pi \rangle \).
\(x\in \left\{0, \frac{\pi}{3}, 2\pi \right\}\)
Trapez prostokątny jest opisany na okręgu o promieniu \(5\). Kąt ostry trapezu ma miarę \(45^\circ\). Oblicz długości odcinków, na które punkt styczności okręgu podzielił ramię pochyłe trapezu.
\(5\sqrt{2}-5\) oraz \(5\sqrt{2}+5\)
W trójkącie \(ABC\): \(|AB|=c\), \(|AC|=b\), \(|BC|=a\) oraz \(|\sphericalangle BAC|=\alpha \) i \(|\sphericalangle ABC|=\beta \) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli \(\alpha =2\beta \), to \(a^2-b^2=bc\).
Wielomian \(W(x)=2x^3+ax^2+bx+c\) jest podzielny przez trójmian \(x^2+x-6\), a przy dzieleniu przez dwumian \(x+1\) daje resztę \(6\). Wyznacz wartości współczynników \(a\), \(b\) i \(c\).
\(a=3, b=-11, c=-6\)
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych od \(30\) losujemy kolejno \(2\) razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że otrzymamy w ten sposób parę liczb, których iloczyn jest mniejszy od \(30\) pod warunkiem, że pierwsza wylosowana liczba jest mniejsza od drugiej wylosowanej liczby.
\(\frac{49}{435}\)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których dwa różne rozwiązania \(x_1\) i \(x_2\) równania \((m+1)x^2+2\sqrt{2}x-m^2+2=0\) spełniają warunek \({x_1}^2+{x_2}^2\ge m-x_1x_2\).
\(m\in (-2,-1)\cup (-1,0)\cup \left(1, \frac{-3+\sqrt{33}}{2}\right\rangle \)
Liczbę \(272\) przedstaw w postaci sumy czterech całkowitych składników tworzących ciąg geometryczny i takich, że trzeci składnik jest o \(48\) większy od pierwszego.
\(272=27+45+75+125\)
Wynikiem działania \(49^{-6}:7^{-15}\) jest:
\( 7^{-21} \)
\( 7^3 \)
\( 7^8 \)
\( 7^{-27} \)
B
Wyrażenie \(\log_3(\log 30-\log 3)\) jest równe:
\( \log_310 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 3 \)
B
Liczbą odwrotną do liczby \(\frac{\sqrt{6}-3}{3}\) jest:
\( \frac{3-\sqrt{6}}{3} \)
\( -\sqrt{6}-3 \)
\( 3+\sqrt{6} \)
\( \frac{\sqrt{6}+3}{5} \)
B
Urząd skarbowy został zobowiązany do zwrotu podatku w wysokości \(235{,}40\) zł. Kwotę tę zaokrąglono do pełnych dziesiątek złotych. Błąd względny tego zaokrąglenia wyrażony w procentach wyniósł około:
\( 0{,}04\% \)
\( 1{,}95\% \)
\( 1{,}92\% \)
\( 2{,}29\% \)
B
Liczba \(2-2(\sqrt{3}-1)^2\):
należy do przedziału \( \langle 1;\infty ) \)
jest ujemna
jest równa \( 0 \)
należy do przedziału \( (0;1) \)
D
Nierówność \(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}x\lt \frac{1}{6}\) jest równoważna nierówności:
\( x\gt \frac{1}{3} \)
\( x\lt \frac{1}{3} \)
\( x\gt 3 \)
\( x\lt 3 \)
A
Liczba różnych rozwiązań równania \(\frac{3x(x^2-9)}{x-3}=0\) wynosi:
\( 4 \)
\( 3 \)
\( 2 \)
\( 1 \)
C
Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji \(f\). Maksymalny przedział, w którym funkcja \(f\) jest rosnąca, to:
\( \langle -2;0 \rangle \)
\( \langle -2;2 \rangle \)
\( \langle -3;2 \rangle \)
\( \langle -3;0 \rangle \)
D
Wykres funkcji liniowej \(f(x)=\frac{8-3x}{2}\) przecina osie układu współrzędnych w punktach \(A\) i \(B\). Pole trójkąta \(ABO\), w którym punkt \(O\) jest początkiem układu współrzędnych, wynosi:
\( 10\frac{2}{3} \)
\( 5\frac{1}{3} \)
\( 21\frac{1}{3} \)
\( 7\frac{1}{2} \)
B
Zbiorem wartości funkcji \(f(x)=-(x+7)(x-3)\) jest:
\( (-\infty ;25\rangle \)
\( (-\infty ;-2\rangle \)
\( \langle 25;+\infty ) \)
\( (-\infty ;2\frac{1}{2}\rangle \)
A
Wykres funkcji \(f(x)=-3^x\) przesunięto równolegle wzdłuż osi \(OX\) o dwie jednostki w prawo i otrzymano wykres funkcji \(y=g(x)\). Wówczas:
\( g(x)=-3^x+2 \)
\( g(x)=-3^{x+2} \)
\( g(x)=-3^x-2 \)
\( g(x)=-3^{x-2} \)
D
Dodatnich wyrazów ciągu określonego wzorem \(a_n=-2n+2018\) dla \(n\ge 1\) jest:
nieskończenie wiele
\( 1009 \)
\( 1008 \)
\( 2016 \)
C
Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu \((4, 6, 9,...)\) można obliczyć ze wzoru:
\( n(n+3) \)
\( \frac{3n+5}{2}\cdot n \)
\( 8\left[\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right] \)
\( 2\left[\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right] \)
C
W pewnym ciągu arytmetycznym suma dwóch pierwszych wyrazów jest równa \(5\frac{1}{2}\), a suma trzech pierwszych wyrazów jest równa \(12\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
\( 1\frac{1}{2} \)
\( 4\frac{1}{2} \)
\( -\frac{1}{2} \)
\( 1 \)
A
Dla pewnego kąta wypukłego \(\alpha\) mamy \(\operatorname{tg} \frac{\alpha }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Kąt \(\alpha \) ma miarę:
\( 210^\circ \)
\( 60^\circ \)
\( 90^\circ \)
\( 120^\circ \)
C
Wysokość rombu jest równa \(12\), a jego pole jest równe \(180\). Sinus kąta ostrego rombu wynosi:
\( 0{,}4 \)
\( 0{,}6 \)
\( 0{,}75 \)
\( 0{,}8 \)
D
Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) należą do okręgu o środku w punkcie \(O\) (patrz rys.). Suma \(\alpha +\beta \) wynosi:
\( 125^\circ \)
\( 120^\circ \)
\( 100^\circ \)
\( 90^\circ \)
C
Obserwowana w laboratorium populacja bakterii podwaja swoją liczebność co \(20\) minut. Początkowa liczba bakterii wynosiła \(K\) sztuk. Oznacza to, że po upływie \(n\) godzin liczebność populacji wyniesie:
\( K\cdot 2^{3n} \)
\( K\cdot 6^n \)
\( K^{3n} \)
\( K\cdot 3n\)
A
Przeciwległe wierzchołki kwadratu mają współrzędne \(A=(1,-3)\) i \(C=(-5,3)\). Bok kwadratu ma długość:
\( 12 \)
\( 6\sqrt{2} \)
\( 3\sqrt{2} \)
\( 6 \)
D
Ilość wszystkich liczb czterocyfrowych, w których cyfry się nie powtarzają, wynosi:
\( 9\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \)
\( 10\cdot9\cdot8\cdot7 \)
\( 9\cdot10\cdot10\cdot10 \)
\( 9\cdot8\cdot7\cdot6 \)
A
Rzucono trzy razy monetą symetryczną. Prawdopodobieństwo uzyskania jednej reszki wynosi:
\( \frac{1}{2} \)
\( \frac{3}{8} \)
\( \frac{7}{8} \)
\( \frac{1}{8} \)
B
Średnia arytmetyczna zestawu liczb \(5, 8, 1, 3, x, 8 \) wynosi \(6\). Mediana tego zestawu jest równa:
\( 2 \)
\( 6\frac{1}{2} \)
\( 4 \)
\( 8 \)
B
Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy równej \(4\). Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną \(BD\) podstawy i wierzchołek \(C’\). Otrzymany przekrój jest trójkątem, którego wysokość poprowadzona z wierzchołka \(C’\) jest równa \(12\). Wysokość graniastosłupa jest równa:
\( 2\sqrt{35} \)
\( 4\sqrt{7} \)
\( 2\sqrt{34} \)
\( 8\sqrt{2} \)
C
Kula o promieniu \(6\) cm i walec o wysokości równej \(4{,}5\) cm mają równe objętości. Średnica podstawy walca ma długość:
\( 8 \) cm
\( 8\sqrt{2} \) cm
\( 16 \) cm
\( 20 \) cm
C
Rozwiąż nierówność \((2x-5)(3-x) \gt -66\).
\(x\in (-3;\frac{17}{2})\)
W trapezie \(ABCD\) przekątne przecinają się w punkcie \(P\). Punkt \(P\) dzieli przekątne na odcinki długości: \(|AP|=8\), \(|PC|=3\) i \(|BP|=12\). Długości podstaw \(AB\) i \(CD\) trapezu różnią się o \(15\). Oblicz długość odcinka \(DP\) oraz długości podstaw \(AB\) i \(CD\) trapezu.
\(|DP|=4{,}5; |CD|=9; |AB|=24\)
Wykaż, że jeżeli liczby \(a\) i \(b\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, to liczba \(\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2\) jest podzielna przez \(4\).
Wiedząc, że kąt \(\alpha\) jest rozwarty oraz \(\sin^{2} \alpha =\frac{9}{25}\), oblicz \(\operatorname{tg} \alpha \).
\(\operatorname{tg} \alpha =-\frac{3}{4}\)
Dana jest funkcja \(f(x)=-3x^2+bx+c\) dla \(x\in \mathbb{R} \). Prosta o równaniu \(x=2\) jest osią symetrii paraboli będącej jej wykresem, a zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \((-\infty ;21\rangle \). Wyznacz współczynniki \(b\) i \(c\).
\(b=12, c=9\)
Do okręgu o środku w punkcie \(O\) poprowadzono z trzech punktów \(A\), \(B\) i \(C\) leżących na okręgu styczne, które przecięły się w punktach \(D\), \(E\) i \(F\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli \(|AF|=x\), to obwód trójkąta \(DEF\) jest równy \(2x\).
Spośród wszystkich wierzchołków sześciokąta foremnego o krawędzi \(1\) losujemy dowolne dwa. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowane wierzchołki utworzą odcinek, którego długość jest liczbą niewymierną.
\(\frac{2}{5}\)
Dany jest skończony, pięciowyrazowy ciąg \((4a-5; a; b; b+2; 9)\). Trzy pierwsze wyrazy tego ciągu są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a trzy ostatnie są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(a\) i \(b\).
\(a=2, b=1\) lub \(a=\frac{1}{2}, b=4\)
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(A=(-9,8)\). Bok \(BC\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=-2x+38\). Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka \(B\) ma równanie \(3x+2y-61=0\). Wyznacz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) oraz napisz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka \(C\).
\(B=(15,8), C=(9,20)\)
prosta \(CD: x=9\)
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest trzy razy dłuższa od wysokości ostrosłupa. Krawędź podstawy ma długość \(12\). Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
\(V=36\sqrt{2}\)
\(P_b=54\sqrt{2}\)
Oblicz granicę: \(\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt[3]{x(x+1)^2}-\sqrt[3]{x(x-1)^2} \right)\)
\(\frac{4}{3}\)
Niech \(x\) będzie dowolnie ustaloną liczbą rzeczywistą, \(x\gt -1\). Udowodnij, że \((1+x)^n\ge 1+nx\) dla każdego \(n\in \mathbb{N} \).
Udowodnij, że \(1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\) dla każdego \(n\in \mathbb{N} \).
Udowodnij, że \(1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) dla każdego \(n\in \mathbb{N} \).
W tym filmiku omawiam na szybkie metody obliczania wyznaczników macierzy.
Czas nagrania: 17 min.
Oblicz granice:
\(\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1} \right)\)
\(\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-3x} \right)\)
\(\lim_{x \to -\infty} \frac{1+5x}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{2x^2-7x}}\)
Oblicz wyznaczniki:
\(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \)
\(\begin{vmatrix} -3 & 5 \\ -6 & 7 \end{vmatrix} \)
\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \)
Oblicz wyznacznik: \(\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 5 & 7 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -1 & 4 \end{vmatrix} \)