Najnowsze filmy

Podczas pewnego turnieju piłkarskiego rozegrano \(50\) meczów. Na diagramie kołowym przedstawiono informacje o liczbie goli strzelonych w tych meczach. Mediana liczb goli strzelonych w meczach tego turnieju jest równa

Wykładowca akademicki, aby ustalić oceny semestralne, oblicza średnie ważone ocen otrzymanych przez studentów. Ocenom przypisano następujące wagi:

• ocena z kartkówki – waga \(2\)
• ocena z projektu – waga \(3\)
• ocena za aktywność – waga \(4\)

Karolina w trakcie semestru otrzymała następujące oceny: Średnia ważona ocen uzyskanych przez Karolinę jest równa

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Zdarzenie \(A\) polega na tym, że wylosujemy liczbę, która jest wielokrotnością liczby \(34\). Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe

Rysunek drwala składa się z sześciu obszarów ponumerowanych liczbami od 1 do 6. Każdy z tych obszarów należy pokolorować jednym z siedmiu kolorów w taki sposób, aby każde dwa obszary graniczące ze sobą miały różny kolor. Wszystkich takich sposobów pokolorowania drwala jest

Pole powierzchni całkowitej walca \(C_1\) jest równe \(12\pi\), a objętość tego walca jest równa \(4\pi\). Walec \(C_2\) jest podobny do walca \(C_1\) w skali \(k=2\).

Pole powierzchni całkowitej walca \(C_2\) jest równe \(48\pi\).	P	F
Objętość walca \(C_2\) jest równa \(32\pi\).	P	F

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-3,0)\) oraz \(C=(5,6)\) są końcami przekątnej kwadratu \(ABCD\). Kwadrat \(A'B'C'D'\) jest obrazem kwadratu \(ABCD\) w symetrii osiowej względem osi \(Oy\).

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Pole trójkąta \(ACH\) jest równe \(4\sqrt{3}\). Długość krawędzi tego sześcianu jest równa

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość \(12\). Ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze \(30^\circ\).

Sześciokąt foremny wpisano w koło o promieniu \(1\). Pole zacieniowanej figury jest równe

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami \[ k:(m-1)x+3y+5=0,\qquad l:6x+y+7=0. \] Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa

W każdym trójkącie środek okręgu wpisanego w ten trójkąt leży w punkcie przecięcia się

Punkty \(A,B,C,D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Punkt \(K\) jest punktem przecięcia cięciwy \(AC\) i średnicy \(BD\). Kąt \(COB\) jest prosty, a kąt \(AKD\) ma miarę \(78^\circ\). Miara kąta ostrego \(BDA\) jest równa

Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\), w którym \(|AB|=2\cdot|CD|\). Przekątna \(AC\) tego trapezu jest zawarta w dwusiecznej kąta \(DAB\).

Ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\), jest malejący. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(a_6=25\cdot a_8\). Iloraz ciągu \((a_n)\) jest równy

Kąt o mierze \(\alpha\) jest rozwarty oraz \(\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(BC\) jest przeciwprostokątną oraz \(|AC|=6\). Tangens kąta \(BCA\) jest równy \(\frac{3}{2}\). Odcinek \(AB\) ma długość

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \[ a_n=\frac{3n+9}{n+1} \] dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\).

Ciąg \((a_n)\) jest określony następująco: \[ \begin{cases} a_1=5\\ a_{n+1}=a_n+2 \quad \text{dla } n\ge 1 \end{cases} \] Suma stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-16x^2+40x+11\). W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(C\). Ta parabola przecina oś \(Ox\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.

Wielkości \(x\) oraz \(y\) zestawione w tabeli poniżej są odwrotnie proporcjonalne.

\(x\)	18	24
\(y\)	9	\(a\)

Liczba \(a\) jest równa

Rozwiązaniem układu równań \[ \begin{cases} 20x+20y=1\\ 26x-26y=1 \end{cases} \] jest para liczb: \(x=x_0,\;y=y_0\).

Suma \(x_0+y_0\) jest liczbą dodatnią.	P	F
Iloczyn \(x_0\cdot y_0\) jest liczbą dodatnią.	P	F

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(k+2)x+(k-3)\), gdzie \(k\) jest liczbą rzeczywistą. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja \(f\) jest malejąca dla każdej liczby \(k\) należącej do przedziału \((-\infty,2)\).	P	F
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \((0,1)\) dla \(k=4\).	P	F

Równanie \(2x(x^2-3)(x^2+2x+3)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \((-10)\) oraz różnej od \(0\) wartość wyrażenia \(\frac{x^2+20x+100}{x^3}\cdot\frac{x^2}{x+10}\) jest równa wartości wyrażenia

Liczba \(\log_{8}\sqrt[5]{2}\) jest równa

Liczba \(\frac{3^{10}\cdot 9^{20}}{27^{15}}\) jest równa

Liczba \(\frac{\sqrt[3]{50}\cdot\sqrt[3]{-15}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{3}}\) jest równa

Liczby \(x\) oraz \(y\) są całkowite i dodatnie. W wyniku dzielenia liczby \(x\) przez liczbę \(y\) otrzymano iloraz \(20\) i resztę \(26\). Liczba \(\frac{x}{y}\) jest równa

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Definicja ciągu geometrycznego.
• Obliczanie wyrazów i ilorazu ciągu geometrycznego.
• Wyznaczanie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.
• 3 kolejne wyrazy ciągu geometrycznego.
• Wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
• Wykazywanie, że ciąg jest geometryczny.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Definicja ciągu arytmetycznego.
• Obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym.
• Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
• 3 kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego
• Wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
• Wykazywanie, że ciąg jest arytmetyczny

W tym materiale dokładnie analizuję i omawiam wszystkie najważniejsze zagadnienia jakie trzeba umieć do matury rozszerzonej z matematyki. W materiale znajdziesz:

• Zestawienie wszystkich ostatnich oficjalnych arkuszy z lat 2023, 2024 i 2025 z oznaczeniem jaki typ zadania pojawił się w którym arkuszu.
• Ocenę szansy pojawiania się danego typu zadania na najbliższej maturze.
• Tier listę wszystkich zagadnień, czyli oznaczenie z których zagadnień możesz zdobyć najwięcej punktów najmniejszym wysiłkiem. Kolejność od najlepszy do najgorszych, to: S+, S, A, B, C.

W tym materiale dokładnie analizuję i omawiam wszystkie najważniejsze zagadnienia jakie trzeba umieć do matury podstawowej z matematyki. W materiale znajdziesz:

• Zestawienie wszystkich ostatnich oficjalnych arkuszy z lat 2024 i 2025 z oznaczeniem jaki typ zadania pojawił się w którym arkuszu
• Ocenę szansy pojawiania się danego typu zadania na najbliższej maturze
• Tier listę wszystkich zagadnień, czyli oznaczenie z których zagadnień możesz zdobyć najwięcej punktów najmniejszym wysiłkiem. Kolejność od najlepszy do najgorszych, to: S+, S, A, B, C

W tej lekcji pokazuję jak szybko znajdować postać iloczynową wielomianu na przykładach:

• \(x^3+x^2-16 x+20=0\)
• \(2 x^3+5 x^2-x-6=0\)

Kąt dwuścienny zawarty między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma miarę \(2\alpha\). Wyznacz sinus kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do jego podstawy.

W wyniku przeprowadzonej analizy pewnego przedsiębiorstwa ustalono, że zysk z produkcji jest zależny od liczby zatrudnionych pracowników i wyraża się następującym wzorem: \[ Z(x)=\frac{17}{29}x(130-x) \] gdzie:
\(x\) - liczba zatrudnionych pracowników
\(Z\) - miesięczny zysk z produkcji przedsiębiorstwa Miesięczny zysk z produkcji przedsiębiorstwa będzie największy, jeżeli liczba zatrudnionych pracowników wyniesie

Program komputerowy wykonał \(99\) losowań liczb, za każdym razem losując jedną liczbę ze zbioru \(\{0, 1, 2, 3\}\). Wyniki losowań zebrano w tabeli: Mediana zbioru wylosowanych liczb jest równa

Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od 1 do 6. Zdarzenie \(A\) polega na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy \(8\). Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych podzielnych przez \(5\), w zapisie których cyfry nie powtarzają się jest

Tworząca stożka ma długość \(10\). Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(90^{\circ}\). Objętość tego stożka jest równa

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha \), takim, że \(\cos \alpha =\frac{1}{3}\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są cztery okręgi: \(o_{1}, o_{2}, o_{3}, o_{4}\), o równaniach: \[ \begin{aligned} & o_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=2 \\[6pt] & o_{2}:(x+3)^{2}+(y+1)^{2}=8 \\[6pt] & o_{3}:(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=9 \\[6pt] & o_{4}:(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=10 \end{aligned} \] Okręgiem, który ma dokładnie \(3\) punkty wspólne z osiami układu współrzędnych \((x, y)\), jest

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są dwa punkty \(A=(1, 0)\) oraz \(B=(-2, 1)\), które są wierzchołkami rombu \(ABCD\). Osią symetrii rombu \(ABCD\) jest oś \(OX\) układu współrzędnych. Pole tego rombu jest równe

W trójkącie prostokątnym \(ABC\) poprowadzono wysokość \(CD\) z wierzchołka kąta prostego, która podzieliła przeciwprostokątną \(BC\) na odcinki długości \(9\) i \(3\) (zobacz rysunek).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami \[ \begin{aligned} k:&\; y=(2m+1)\,x+m\\ l:&\; y=(m^2+1)x-m \end{aligned} \] Proste \(k\) oraz \(l\) nie mają punktów wspólnych, gdy liczba \(m\) jest równa

Pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny \(ABC\) jest równe \(36\pi\). Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \[\,\mathrm{tg}\,\alpha - \cos^{2} \alpha = \frac{1}{3\cos \alpha }+\sin^2\alpha-1\] Sinus kąta \(\alpha\) jest równy

Dany jest ciąg arytmetyczny \(\left(a_{n}\right)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), w którym \(a_{4}=\sqrt{2}\) oraz \(a_{8}=5\sqrt{2}\). Szósty wyraz ciągu \(\left(a_{n}\right)\) jest równy

Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest określony następująco: \[ \left\{\begin{array}{l} a_{1}=-1 \\ a_{n+1}=n^2+a_{n} \end{array} \right. \] dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Suma trzech pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(10-2k)x+\frac{k}{5}\), gdzie \(k\) jest liczbą rzeczywistą. Funkcja \(f\) jest malejąca. Liczba \(k\) należy do przedziału

Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[ f(x)= \begin{cases} 4 & \text{dla } x\in[-5,-2)\\ -2x & \text{dla } x\in[-2,1]\\ x-\frac{5}{2} & \text{dla } x\in(1,4) \end{cases} \] Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku poniżej.

• Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział …………………… .
• Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) jest stała, jest przedział …………………… .
• Suma miejsc zerowych funkcji \(f\) jest równa …………………… .
• Liczba rozwiązań równania \(f(x)=-1,(3)\) jest równa …………………… .

Serwis streamingowy wypłacił dwóm artystom łącznie \(180\ 000\) złotych za odtworzenia ich utworów 2024 roku. W roku 2025 wynagrodzenie jednego artysty wzrosło o \(20\%\), drugiego spadło o \(30\%\), ale ich łączne wynagrodzenie wyniosło tyle samo co w roku poprzednim.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \[ \frac{2-x}{4}>\;x-\frac{1}{2} \] jest przedział

Średnia arytmetyczna wszystkich rozwiązań równania \((2x+2)(3x-6)(5x+15)=0\) jest równa

Liczba \(\log_{5}105-3\log_{5}\sqrt[3]{21}\) jest równa

Dane są liczby \(a=|1+\sqrt{2}|\) oraz \(b=|1-\sqrt{2}|\).

Liczba \(a+b\) jest liczbą całkowitą.	P	F
Liczba \(a\cdot b\) jest liczbą całkowitą.	P	F

Liczba \(\frac{(5\sqrt{2}+\sqrt{18})^2}{4^{4}\cdot 8^8}\) jest równa

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Prawdopodobieństwo warunkowe
• Prawdopodobieństwo całkowite

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.
• Obliczenia prawdopodobieństwa z wykorzystaniem zdarzenia przeciwnego.
• Zastosowania wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń.
• Powtórka i rozszerzenie sytuacji z kombinatoryki.

Materiał dodatkowy z kombinatoryki o wzorze Stirlinga i zasadzie włączeń i wyłączeń.
Znajomość technik prezentowanych w tym materiale nie powinna być obecnie potrzebna na maturze rozszerzonej.
Materiał dla chętnych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Reguła mnożenia i dodawania, permutacje, kombinacje i wariacje.
• Rozwiązywanie przypadków wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów.
• Zastosowanie współczynnika dwumianowego (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.
• Omówienie ponad 30 sytuacji kombinatorycznych i różnych sposobów rozwiązywania problemów, a także prezentacja sprytnych technik z poziomu ponadrozszerzonego (matematyka dyskretna).

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• wyznaczanie przekrojów sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz obliczanie ich pól, także z wykorzystaniem trygonometrii.

Omówienie wszystkich zadań z arkusza matury próbnej od wydawnictwa Operon 2025/2026.

Omówienie wszystkich zadań z arkusza rozszerzonego matury próbnej od wydawnictwa Operon 2025/2026.