Jesteś tutaj: Inne → Najnowsze filmy

Najnowsze filmy

Na tej stronie umieszczam moje najnowsze filmy.
Niech \(A\) oznacza zbiór rozwiązań nierówności \(x-1\lt x+1\).
Niech \(B\) oznacza zbiór rozwiązań nierówności \((x+7)^2\ge0\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Liczba \((3-\sqrt{7})^2-\frac{\sqrt{6}}{2}\) należy do zbioru \(A\cup B\).PF
Zbiór \(A\cap B\) jest jednoelementowy.PF
PP
Udowodnij, że dla dowolnego parametru \(k\in \mathbb{R} \) nierówność \(x^2+2\sqrt{7}x+7<\frac{k^2}{1-\sqrt{7}}\) jest sprzeczna.
Równanie \(3x-5m=(1-m)x+1\) jest sprzeczne dla
A.\( m=-2 \)
B.\( m=-1 \)
C.\( m=0 \)
D.\( m=1 \)
A
Nierówność \(\frac{x}{3} \gt \frac{x}{4}\) jest
A.sprzeczna.
B.tożsamościowa.
C.spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą dodatnią.
D.spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą ujemną.
C
Równanie \((x-\sqrt{3})^2-x^2=\frac{6-4\sqrt{3}x}{2}\) ma
A.\( 0 \) rozwiązań
B.\( 1 \) rozwiązanie
C.\( 2 \) rozwiązania
D.nieskończenie wiele rozwiązań
D
Materiał uzupełniający:
  • Uczeń znajduje ekstrema funkcji wielomianowych i wymiernych.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Oblicza granice funkcji (w tym jednostronne).
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów.
  • Stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • oblicza prawdopodobieństwo warunkowe
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną.
  • Wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • znajduje punkty wspólne prostej i okręgu
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość.
Materiał uzupełniający:
  • Uczeń stosuje wektory do opisu przesunięcia wykresu funkcji.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • twierdzenie Talesa i odwrotne do twierdzenia Talesa
Materiał uzupełniający:
  • W wymaganiach do matury rozszerzonej w 2023 i 2024 roku nie ma jednokładności i obowiązuje jedynie umiejętność stosowania podobieństwa figur.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne o stopniu trudności nie większym niż w przykładach: \(4\cos 2x\cos 5x=2\cos 7x+1\), \(2\sin^{2} x\le 1\).
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń stosuje twierdzenie sinusów i cosinusów.
  • Uczeń oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (m.in. z wykorzystaniem twierdzenia sinusów).
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych.
  • Wykresy funkcji trygonometrycznych.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych;
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub radianach.
  • Posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu \(1/n\), \(1/n^2\) oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.
Materiał uzupełniający:
  • Uczeń posługuje się funkcjami logarytmicznymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym.
Materiał uzupełniający:
  • Uczeń szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami; odczytuje własności takiej funkcji z wykresu.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń na podstawie wykresu funkcji \(y = f(x)\) szkicuje wykresy funkcji \(y = |f(x)|\), \(y = c\cdot f(x)\), \(y = f(cx)\).
Materiał uzupełniający:
  • Uczeń szkicuje wykresy funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw.
Materiał uzupełniający:
  • Równania wielomianowe dające się łatwo sprowadzić do równań kwadratowych.
Materiał uzupełniający:
  • Uczeń wyznacza dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego z jedną zmienną, w którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające się łatwo sprowadzić do iloczynu wielomianów liniowych i kwadratowych.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o stopniu trudności nie większym niż: \(2|x+3|+3|x-1|=13\), \(|x+2|+2|x-3|\lt11\)
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż
    \(\frac{x+1}{x(x-1)}+\frac{1}{x+1}\ge\frac{2x}{(x-1)(x+1)}\)
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Stosuje wzory Viete'a dla równań kwadratowych.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: \(W(x)\gt 0\), \(W(x)\ge 0\), \(W(x)\lt 0\), \(W(x)\le 0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Dzieli wielomian jednej zmiennej \(W(x)\) przez dwumian postaci \(x−a\).
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych.
Wykaż, że liczba \(7^{2023}+7^{2024}+7^{2025}\) jest podzielna przez \(57\).
Wykaż, że jeżeli liczba przy dzieleniu przez \(11\) daje resztę \(5\), to kwadrat tej liczby przy dzieleniu przez 11 daje resztę \(3\).
Wykaż, że suma czterech kolejnych liczb niepodzielnych przez \(5\) jest podzielna przez \(5\).
Udowodnij, że suma trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez \(6\).
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Metody rozwiązywania układów równań.
  • Układy równań w zadaniach tekstowych.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Przekształcanie równań i nierówności w sposób równoważny;
  • Równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;
  • Równania i nierówności liniowe i kwadratowe;
  • Suma i część wspólna zbiorów liczbowych.
Dany jest graniastosłup prosty \(ABCDEFGH\), którego podstawą jest prostokąt \(ABCD\). W tym graniastosłupie \(|BD| = 15\), a ponadto \(|CD| = 3 + |BC|\) oraz \(|\sphericalangle CDG| = 60^\circ\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.
\(P=504\sqrt{3}\), \(V=1296\sqrt{3}\)
Ze zbioru pięciu liczb \(\{-5, -4, 1, 2, 3\}\) losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie \(A\) polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).
\(\frac{12}{25}\)
Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\) o boku długości \(24\). Punkt \(E\) leży na boku \(AB\), a punkt \(F\) - na boku \(BC\) tego trójkąta. Odcinek \(EF\) jest równoległy do boku \(AC\) i przechodzi przez środek \(S\) wysokości \(CD\) trójkąta \(ABC\) (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka \(EF\).
\(|EF|=18\)
Rozwiąż równanie \[\frac{4}{x+2}=x-1\]
\(x=-3\) lub \(x=2\)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) różnej od \(0\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) różnej od \(0\) spełniona jest nierówność \[2a^2-4ab+5b^2\gt0\]
Trójwyrazowy ciąg \((x, y - 4, y)\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(6\). Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.
\(-2,\ 2,\ 6\)
Rozwiąż nierówność \(3x^2-8x\ge3\)
\(x\le-\frac{1}{3}\) lub \(x\ge3\)
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez \(3\). Wtedy
A.\( p=\frac{1}{18} \)
B.\( p=\frac{1}{6} \)
C.\( p=\frac{1}{3} \)
D.\( p=\frac{2}{3} \)
C
Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od \(300\) o wszystkich cyfrach parzystych jest
A.\( 6\cdot 10\cdot 10 \)
B.\( 3\cdot 10\cdot 10 \)
C.\( 6\cdot 5\cdot 5\)
D.\( 3\cdot 5\cdot 5\)
D
Obrazem prostej o równaniu \(y = 2x + 5\) w symetrii osiowej względem osi \(Ox\) jest prosta o równaniu
A.\( y=2x-5 \)
B.\( y=-2x-5 \)
C.\( y=-2x+5 \)
D.\( y=2x+5 \)
B
W graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich ścian jest równy \(7 ∶ 3\). Podstawą tego graniastosłupa jest
A.trójkąt.
B.pięciokąt.
C.siedmiokąt.
D.ośmiokąt.
C
Punkty \(A = (-6, 5)\), \(B = (5, 7)\), \(C = (10, -3)\) są wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Długość przekątnej \(BD\) tego równoległoboku jest równa
A.\( 3\sqrt{5} \)
B.\( 4\sqrt{5} \)
C.\( 6\sqrt{5} \)
D.\( 8\sqrt{5} \)
C
Punkty \(A = (1, -3)\) oraz \(C = (-2, 4)\) są końcami przekątnej \(AC\) rombu \(ABCD\). Środek przekątnej \(BD\) tego rombu ma współrzędne
A.\( \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \)
B.\( \left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right) \)
C.\( \left(-1,2\right) \)
D.\( \left(-1,1\right) \)
A
Proste o równaniach \(y=\frac{2}{3}x-3\) oraz \(y=(2m-1)x+1\) są prostopadłe, gdy
A.\( m=-\frac{5}{4} \)
B.\( m=-\frac{1}{4} \)
C.\( m=\frac{5}{6} \)
D.\( m=\frac{5}{4} \)
B
Pole prostokąta jest równe \(16\), a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym \(\alpha\), takim, że \(\sin \alpha = 0{,}2\). Długość przekątnej tego prostokąta jest równa
A.\( 4\sqrt{5} \)
B.\( 4\sqrt{10} \)
C.\( 80 \)
D.\( 160 \)
B
Punkty \(A\) oraz \(B\) leżą na okręgu o środku \(S\). Kąt środkowy \(ASB\) ma miarę \(100^\circ\). Prosta \(l\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\) i tworzy z cięciwą \(AB\) okręgu kąt o mierze \(\alpha\) (zobacz rysunek). Wtedy
A.\( \alpha =40^\circ \)
B.\( \alpha =45^\circ \)
C.\( \alpha =50^\circ \)
D.\( \alpha =60^\circ \)
C
Wierzchołki \(A\), \(B\), \(C\) czworokąta \(ABSC\) leżą na okręgu o środku \(S\). Kąt \(ABS\) ma miarę \(40^\circ\) (zobacz rysunek), a przekątna \(BC\) jest dwusieczną tego kąta. Miara kąta \(ASC\) jest równa
A.\( 30^\circ \)
B.\( 40^\circ \)
C.\( 50^\circ \)
D.\( 60^\circ \)
B
Nie istnieje kąt ostry \(\alpha \) taki, że
A.\( \sin \alpha =\frac{1}{3} \) i \(\cos \alpha =\frac{2}{3}\)
B.\( \sin \alpha =\frac{5}{13} \) i \(\cos \alpha =\frac{12}{13} \)
C.\( \sin \alpha =\frac{3}{5} \) i \(\cos \alpha =\frac{4}{5} \)
D.\( \sin \alpha =\frac{9}{15} \) i \(\cos \alpha =\frac{12}{15} \)
A
Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a przeciwprostokątna \(AB\) ma długość \(3\sqrt{5}\). Wtedy tangens kąta ostrego \(CAB\) tego trójkąta jest równy
A.\( \frac{\sqrt{5}}{5} \)
B.\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)
C.\( \frac{1}{2} \)
D.\( 2 \)
C
W ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem \(1200\) guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością.
A.\( 800 \)
B.\( 900 \)
C.\( 1000 \)
D.\( 1500 \)
C
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu \((a_n)\) są równe \(2\). Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa
A.\( 1 \)
B.\( 11 \)
C.\( 21 \)
D.\( 31 \)
D
Dane są ciągi \(a_n = 3n\) oraz \(b_n = 4n - 2\), określone dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Liczba \(10\)
A. jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i jest wyrazem ciągu \((b_n)\).
B.jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i nie jest wyrazem ciągu \((b_n)\).
C.nie jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i jest wyrazem ciągu \((b_n)\).
D.nie jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i nie jest wyrazem ciągu \((b_n)\).
C
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej na zbiorze \(\langle -2, 5)\). Funkcja \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x) = f(x-1)\). Wykres funkcji \(g\) można otrzymać poprzez odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji \(f\). Dziedziną funkcji \(g\) jest zbiór
A.\( \langle 0,2) \)
B.\( \langle -1,6) \)
C.\( \langle -3,4) \)
D.\( \langle 1,3) \)
B
Dana jest funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x) = -2(x - 2)(x + 1)\). Funkcja \(f\) jest rosnąca w zbiorze
A.\( \left(-\infty, \frac{1}{2}\right\rangle \)
B.\( (-1,2) \)
C.\( \left(0, \frac{5}{2}\right) \)
D.\( \left\langle \frac{5}{2}, +\infty \right\rangle \)
A
Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x) = x^2 + bx + c\) osiąga dla \(x = 2\) wartość najmniejszą równą \(4\). Wtedy
A.\( b=-4,\ c=8 \)
B.\( b=4,\ c=-8 \)
C.\( b=-4,\ c=-8 \)
D.\( b=4,\ c=8 \)
A
Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m-5)x+22\) jest rosnąca dla
A.\( m\gt\frac{2}{5} \)
B.\( m\gt2{,}5 \)
C.\( m\gt0 \)
D.\( m\gt2 \)
B
Punkt \(A = (1, 2\)) należy do wykresu funkcji \(f\), określonej wzorem \(f(x) = (m^2 - 3)x^3 - m^2 + m + 1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy
A.\( m=-4 \)
B.\( m=-2 \)
C.\( m=0 \)
D.\( m=4 \)
D
Suma wszystkich rozwiązań równania \((2x − 1)(2x − 2)(x + 2) = 0\) jest równa
A.\( \left(-\frac{7}{2}\right) \)
B.\( \left(-\frac{1}{2}\right) \)
C.\( \frac{1}{2} \)
D.\( 1 \)
B
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{8x-3}{4}\gt6x\) jest przedział
A.\( \left(-\infty ,-\frac{3}{4}\right) \)
B.\( \left(-\frac{3}{4}, +\infty\right) \)
C.\( \left(-\infty ,-\frac{3}{16}\right) \)
D.\( \left(-\frac{3}{16}, +\infty\right) \)
C
Jednym z rozwiązań równania \(5(x+1)-x^2(x+1)=0\) jest liczba
A.\( 1 \)
B.\( (-1) \)
C.\( 5 \)
D.\( (-5) \)
B
Cenę \(x\) (w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o \(30\%\), a następnie obniżono o \(20\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach cena towaru jest równa
A.\( 0{,}36\cdot x \) złotych.
B.\( 0{,}44\cdot x \) złotych.
C.\( 0{,}50\cdot x \) złotych.
D.\( 0{,}56\cdot x \) złotych.
D
Średnia arytmetyczna zestawu liczb \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) jest równa \(20\). Wtedy średnia arytmetyczna zestawu liczb \(a - 10\), \(b + 30\), \(c\), \(d\) jest równa
A.\( 10 \)
B.\( 20 \)
C.\( 25 \)
D.\( 30 \)
C
Liczba \((5-2\sqrt{3})^2\) jest równa
A.\( 25+4\sqrt{3} \)
B.\( 25-4\sqrt{3} \)
C.\( 37+20\sqrt{3} \)
D.\( 37-20\sqrt{3} \)
D
Liczba \(\log_232-\log_28\) jest równa
A.\( 2 \)
B.\( 14 \)
C.\( 16 \)
D.\( 24 \)
A
Liczba \(\frac{8^{-40}}{2^{10}}\) jest równa
A.\( 4^{-4} \)
B.\( 4^{-50} \)
C.\( 2^{-47} \)
D.\( 2^{-130} \)
D
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Własności kątów wpisanych i środkowych w okręgu.
  • Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Badanie w prostych przypadkach, czy ciąg jest rosnący, czy malejący.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Obliczanie wyrazów ciągu geometrycznego określonego wzorem ogólnym;
  • Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego;
  • Wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Sprawdzanie, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Posługiwanie się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym;
  • Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego;
  • Wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Wykorzystywanie własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje).
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Wyznaczanie największej i najmniejszej wartości funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Rysowanie wykresu funkcji liniowej;
  • Interpretacja współczynników występujących we wzorze funkcji liniowej;
  • Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Rysowanie wykresu funkcji kwadratowej zadanej wzorem.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Obliczanie wartości funkcji zadanej wzorem algebraicznym;
  • Obliczenie, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Odczytywanie z wykresu funkcji: dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych, przedziałów monotoniczności, przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumentów, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, interpretacja geometryczna układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Nierówności liniowe z jedną niewiadomą.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych;
  • Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych, w przypadkach nie trudniejszych niż: \(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\), \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\), \(\frac{x+1}{x+2}+\frac{x-1}{x+1}\).
  • Równania wymierne postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdzie wielomiany \(V(x)\) i \(W(x)\) są zapisane w postaci iloczynowej.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Wyłączanie poza nawias jednomianu z sumy algebraicznej;
  • Rozkładanie wielomianu na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów;
  • Rozwiązywanie równań wielomianowych postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
  • Interpretowanie miejsca zerowego wielomianu.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Obliczanie wartości wielomianu i pojęcie stopnia wielomianu;
  • Działania na wielomianach - dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomiany jednej i wielu zmiennych;
  • Zadania łączone z innymi działami oraz zadanie dowodowe.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Wzory skróconego mnożenia na: \((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \(a^2-b^2\)
  • Zadania dowodowe