Jesteś tutaj: InneNajnowsze filmy

Najnowsze filmy

Na tej stronie umieszczam moje najnowsze filmy - dodane na stronę w ciągu ostatniego miesiąca.
W poniższym rozumowaniu jest błąd. Czy umiesz go wykryć? \[\begin{split} \text{Niech: }a=1,\ b=2:\\[6pt] a^2+b^2&=b^2+a^2\\[6pt] a^2-2ab+b^2&=b^2-2ab+a^2\\[6pt] (a-b)^2&=(b-a)^2\\[6pt] a-b&=b-a\\[6pt] 1-2&=2-1\\[6pt] -1&=1 \end{split}\] Oto kolejny przykład błędnego rozumowania: \[\begin{split} \text{Niech: }a=3,\ b=-3:\\[6pt] a+b&=0\\[6pt] a+b+(2a+2b)&=0+(2a+2b)\\[6pt] 3a+3b&=2a+2b\\[6pt] 3(a+b)&=2(a+b)\\[6pt] 3&=2 \end{split}\] Czy umiesz wskazać gdzie został popełniony błąd?
Dany jest trójkąt rozwartokątny \(ABC\), w którym \(\sphericalangle ACB\) ma miarę \(120^\circ \). Ponadto wiadomo, że \(|BC|=10\) i \(|AB|=10\sqrt{7}\) (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta \(ABC\).
Liczby rzeczywiste \(x\) i \(z\) spełniają warunek \(2x+z=1\). Wyznacz takie wartości \(x\) i \(z\), dla których wyrażenie \(x^2+z^2+7xz\) przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.
Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą \(16\).
Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt o polu równym \(432\), a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy \(3:4\). Przekątne podstawy \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(O\). Odcinek \(SO\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt \(SAO\) ma miarę \(60^\circ \). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości \(12\). Objętość tego walca jest zatem równa
A.\( 36\pi\sqrt{2} \)
B.\( 108\pi\sqrt{2} \)
C.\( 54\pi \)
D.\( 108\pi \)
Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych \(\{20,21,22,...,39,40\}\) losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez \(4\) jest równe
A.\( \frac{1}{4} \)
B.\( \frac{2}{7} \)
C.\( \frac{6}{19} \)
D.\( \frac{3}{10} \)
Rozwiąż nierówność \(x(7x+2)\gt7x+2\).
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste \(x\), które spełniają warunek: \(\frac{3x^2-8x-3}{x-3}=x-3\).
Dany jest trójkąt \(ABC\). Punkt \(S\) jest środkiem boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów \(A\) i \(B\) od prostej \(CS\) są równe.
Wykaż, że dla każdej liczby \(a\gt0\) i dla każdej liczby \(b\gt0\) prawdziwa jest nierówność \[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\]
W ciągu geometrycznym przez \(S_n\) oznaczamy sumę \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych \(n\ge1\). Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: \(S_1=2\) i \(S_2=12\). Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.
W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek \(AB\) o końcach w punktach \(A=(7,4)\), \(B=(11,12)\). Punkt \(S\) leży wewnątrz odcinka \(AB\) oraz \(|AS|=3\cdot |BS|\). Wówczas
A.\( S=(8,6) \)
B.\( S=(9,8) \)
C.\( S=(10,10) \)
D.\( S=(13,16) \)
Suma odległości punktu \(A=(-4,2)\) od prostych o równaniach \(x=4\) i \(y=-4\) jest równa
A.\( 14 \)
B.\( 12 \)
C.\( 10 \)
D.\( 8 \)
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa \(96\) cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe
A.\( 48\ \text{cm}^2\)
B.\( 64\ \text{cm}^2 \)
C.\( 384\ \text{cm}^2 \)
D.\( 512\ \text{cm}^2 \)
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę \(44^\circ \). Dwusieczna kąta poprowadzona z wierzchołka \(A\) przecina bok \(BC\) tego trójkąta w punkcie \(D\). Kąt \(ADC\) ma miarę
A.\( 78^\circ \)
B.\( 34^\circ \)
C.\( 68^\circ \)
D.\( 102^\circ \)
Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(6\) jest
A.\( 60 \)
B.\( 45 \)
C.\( 30 \)
D.\( 15 \)
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(4\). Krawędź boczna \(DS\) jest prostopadła do podstawy i ma długość \(3\) (zobacz rysunek). Pole ściany \(BCS\) tego ostrosłupa jest równe
A.\( 20 \)
B.\( 10 \)
C.\( 16 \)
D.\( 12 \)
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) ściany \(ABCD\) sześcianu przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek). Tangens kąta, jaki odcinek \(PH\) tworzy z płaszczyzną \(ABCD\), jest równy
A.\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
B.\( \frac{1}{2} \)
C.\( 1 \)
D.\( \sqrt{2} \)
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \((3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)\) jest po uproszczeniu równe
A.\( 5x^2-12x-5 \)
B.\( 5x^2-13 \)
C.\( 5x^2-12x+13 \)
D.\( 5x^2+5 \)
Kąt \(\alpha \in (0^\circ , 180^\circ )\) oraz wiadomo, że \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha =-\frac{3}{8}\). Wartość wyrażenia \((\cos \alpha -\sin \alpha )^2+2\) jest równa
A.\( \frac{15}{4} \)
B.\( \frac{9}{4} \)
C.\( \frac{27}{8} \)
D.\( \frac{21}{8} \)
Wartość wyrażenia \(2\sin^{2} 18^\circ +\sin^{2} 72^\circ +\cos^{2} 18^\circ \) jest równa
A.\( 0 \)
B.\( 1 \)
C.\( 2 \)
D.\( 4 \)
Punkty \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(r\). Punkt \(A\) jest punktem wspólnym prostych \(BC\) i \(SD\), a odcinki i są równej długości. Miara kąta \(BCS\) jest równa \(34^\circ \)(zobacz rysunek). Wtedy
A.\( \alpha =12^\circ \)
B.\( \alpha =17^\circ \)
C.\( \alpha =22^\circ \)
D.\( \alpha =34^\circ \)
Pole trójkąta \(ABC\) o wierzchołkach \(A=(0,0)\), \(B=(4,2)\), \(C=(2,6)\) jest równe
A.\( 5 \)
B.\( 10 \)
C.\( 15 \)
D.\( 20 \)
Na okręgu o środku w punkcie \(O\) wybrano trzy punkty \(A\), \(B\), \(C\) tak, że, \(|\sphericalangle AOB|=70^\circ \), \(|\sphericalangle OAC|=25^\circ \). Cięciwa \(AC\) przecina promień \(OB\) (zobacz rysunek). Wtedy miara \(\sphericalangle OBC\) jest równa
A.\( \alpha =25^\circ \)
B.\( \alpha =60^\circ \)
C.\( \alpha =70^\circ \)
D.\( \alpha =85^\circ \)