Jesteś tutaj: InneNajnowsze filmy

Najnowsze filmy

Na tej stronie umieszczam moje najnowsze filmy - dodane na stronę w ciągu ostatniego miesiąca.
Dany jest trójkąt rozwartokątny \(ABC\), w którym \(\sphericalangle ACB\) ma miarę \(120^\circ \). Ponadto wiadomo, że \(|BC|=10\) i \(|AB|=10\sqrt{7}\) (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta \(ABC\).
Liczby rzeczywiste \(x\) i \(z\) spełniają warunek \(2x+z=1\). Wyznacz takie wartości \(x\) i \(z\), dla których wyrażenie \(x^2+z^2+7xz\) przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.
Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą \(16\).
Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt o polu równym \(432\), a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy \(3:4\). Przekątne podstawy \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(O\). Odcinek \(SO\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt \(SAO\) ma miarę \(60^\circ \). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości \(12\). Objętość tego walca jest zatem równa
A.\( 36\pi\sqrt{2} \)
B.\( 108\pi\sqrt{2} \)
C.\( 54\pi \)
D.\( 108\pi \)
Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych \(\{20,21,22,...,39,40\}\) losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez \(4\) jest równe
A.\( \frac{1}{4} \)
B.\( \frac{2}{7} \)
C.\( \frac{6}{19} \)
D.\( \frac{3}{10} \)
Rozwiąż nierówność \(x(7x+2)\gt7x+2\).
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste \(x\), które spełniają warunek: \(\frac{3x^2-8x-3}{x-3}=x-3\).
Dany jest trójkąt \(ABC\). Punkt \(S\) jest środkiem boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów \(A\) i \(B\) od prostej \(CS\) są równe.
Wykaż, że dla każdej liczby \(a\gt0\) i dla każdej liczby \(b\gt0\) prawdziwa jest nierówność \[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\]
W ciągu geometrycznym przez \(S_n\) oznaczamy sumę \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych \(n\ge1\). Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: \(S_1=2\) i \(S_2=12\). Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.
W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek \(AB\) o końcach w punktach \(A=(7,4)\), \(B=(11,12)\). Punkt \(S\) leży wewnątrz odcinka \(AB\) oraz \(|AS|=3\cdot |BS|\). Wówczas
A.\( S=(8,6) \)
B.\( S=(9,8) \)
C.\( S=(10,10) \)
D.\( S=(13,16) \)
Suma odległości punktu \(A=(-4,2)\) od prostych o równaniach \(x=4\) i \(y=-4\) jest równa
A.\( 14 \)
B.\( 12 \)
C.\( 10 \)
D.\( 8 \)
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa \(96\) cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe
A.\( 48\ \text{cm}^2\)
B.\( 64\ \text{cm}^2 \)
C.\( 384\ \text{cm}^2 \)
D.\( 512\ \text{cm}^2 \)
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę \(44^\circ \). Dwusieczna kąta poprowadzona z wierzchołka \(A\) przecina bok \(BC\) tego trójkąta w punkcie \(D\). Kąt \(ADC\) ma miarę
A.\( 78^\circ \)
B.\( 34^\circ \)
C.\( 68^\circ \)
D.\( 102^\circ \)
Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(6\) jest
A.\( 60 \)
B.\( 45 \)
C.\( 30 \)
D.\( 15 \)
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(4\). Krawędź boczna \(DS\) jest prostopadła do podstawy i ma długość \(3\) (zobacz rysunek). Pole ściany \(BCS\) tego ostrosłupa jest równe
A.\( 20 \)
B.\( 10 \)
C.\( 16 \)
D.\( 12 \)
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) ściany \(ABCD\) sześcianu przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek). Tangens kąta, jaki odcinek \(PH\) tworzy z płaszczyzną \(ABCD\), jest równy
A.\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
B.\( \frac{1}{2} \)
C.\( 1 \)
D.\( \sqrt{2} \)
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \((3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)\) jest po uproszczeniu równe
A.\( 5x^2-12x-5 \)
B.\( 5x^2-13 \)
C.\( 5x^2-12x+13 \)
D.\( 5x^2+5 \)
Kąt \(\alpha \in (0^\circ , 180^\circ )\) oraz wiadomo, że \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha =-\frac{3}{8}\). Wartość wyrażenia \((\cos \alpha -\sin \alpha )^2+2\) jest równa
A.\( \frac{15}{4} \)
B.\( \frac{9}{4} \)
C.\( \frac{27}{8} \)
D.\( \frac{21}{8} \)
Wartość wyrażenia \(2\sin^{2} 18^\circ +\sin^{2} 72^\circ +\cos^{2} 18^\circ \) jest równa
A.\( 0 \)
B.\( 1 \)
C.\( 2 \)
D.\( 4 \)
Punkty \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(r\). Punkt \(A\) jest punktem wspólnym prostych \(BC\) i \(SD\), a odcinki i są równej długości. Miara kąta \(BCS\) jest równa \(34^\circ \)(zobacz rysunek). Wtedy
A.\( \alpha =12^\circ \)
B.\( \alpha =17^\circ \)
C.\( \alpha =22^\circ \)
D.\( \alpha =34^\circ \)
Pole trójkąta \(ABC\) o wierzchołkach \(A=(0,0)\), \(B=(4,2)\), \(C=(2,6)\) jest równe
A.\( 5 \)
B.\( 10 \)
C.\( 15 \)
D.\( 20 \)
Na okręgu o środku w punkcie \(O\) wybrano trzy punkty \(A\), \(B\), \(C\) tak, że, \(|\sphericalangle AOB|=70^\circ \), \(|\sphericalangle OAC|=25^\circ \). Cięciwa \(AC\) przecina promień \(OB\) (zobacz rysunek). Wtedy miara \(\sphericalangle OBC\) jest równa
A.\( \alpha =25^\circ \)
B.\( \alpha =60^\circ \)
C.\( \alpha =70^\circ \)
D.\( \alpha =85^\circ \)
Rysunek przedstawia wykres funkcji \(f\) zbudowany z \(6\) odcinków, przy czym punkty \(B=(2,-1)\) i \(C=(4,-1)\) należą do wykresu funkcji. Równanie \(f(x)=-1\) ma
A.dokładnie jedno rozwiązanie.
B.dokładnie dwa rozwiązania.
C.dokładnie trzy rozwiązania.
D.nieskończenie wiele rozwiązań.
Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla liczb naturalnych \(n\ge1\), o wyrazach dodatnich. Jeśli \(a_2+a_9=a_4+a_k\), to \(k\) jest równe
A.\( 8 \)
B.\( 7 \)
C.\( 6 \)
D.\( 5 \)
W ciągu \((a_n)\) na określonym dla każdej liczby \(n\ge1\) jest spełniony warunek \(a_{n+3}=-2\cdot 3^{n+1}\). Wtedy
A.\( a_5=-54 \)
B.\( a_5=-27 \)
C.\( a_5=27 \)
D.\( a_5=54 \)
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(a+1)x+11\), gdzie \(a\) to pewna liczba rzeczywista, ma miejsce zerowe równe \(x=\frac{3}{4}\). Stąd wynika, że
A.\( a=-\frac{41}{3} \)
B.\( a=\frac{41}{3} \)
C.\( a=-\frac{47}{3} \)
D.\( a=\frac{47}{3} \)
Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=(m\sqrt{5}-1)x+3\). Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby \(m\) spełniającej warunek
A.\( m\gt\frac{1}{\sqrt{5}} \)
B.\( m\gt1-\sqrt{5} \)
C.\( m\lt\sqrt{5}-1 \)
D.\( m\lt\frac{1}{\sqrt{5}} \)
Układ równań \(\begin{cases} 2x-y=2 \\ x+my=1 \end{cases} \) ma nieskończenie wiele rozwiązań dla
A.\( m=-1 \)
B.\( m=1 \)
C.\( m=\frac{1}{2} \)
D.\( m=-\frac{1}{2} \)
Jedną z liczb spełniających nierówność \((x-6)\cdot (x-2)^2\cdot (x+4)\cdot (x+10)\gt0\) jest
A.\( -5 \)
B.\( 0 \)
C.\( 3 \)
D.\( 5 \)
Liczba dodatnia \(a\) jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o \(50\%\), a jego mianownik zwiększymy o \(50\%\), to otrzymamy liczbę \(b\) taką, że
A.\( b=\frac{1}{4}a \)
B.\( b=\frac{1}{3}a \)
C.\( b=\frac{1}{2}a \)
D.\( b=\frac{2}{3}a \)
Liczba \(\frac{\log_327}{\log_3\sqrt{27}}\) jest równa
A.\( -\frac{1}{2} \)
B.\( 2 \)
C.\( -2 \)
D.\( \frac{1}{2} \)
Na rysunku przedstawiono figurę wyznaczoną przez trzy półokręgi. Pola dwóch obszarów są znane. Ile wynosi pole trzeciego obszaru?
Ile trójkątów jest na każdym z rysunków?
Rozwiązaniem równania \(\frac{(x^2-2x-3)\cdot (x^2-9)}{x-1}=0\) nie jest liczba
A.\( -3 \)
B.\( -1 \)
C.\( 1 \)
D.\( 3 \)
Nie odrywając długopisu od papieru narysuj \(4\) linie proste, tak aby połączyć wszystkie \(9\) punktów.
Rozwiąż równanie \((\cos x) \Biggl[ \sin \biggl(x - \frac{\pi}{3} \biggl) + \sin \biggl(x + \frac{\pi}{3} \biggl)\Biggl] = \frac{1}{2}\sin x\).
\(x \in \biggl\{-\frac{\pi}{3} + 2k\pi, k\pi, \frac{\pi}{3} + 2k\pi\biggl\}\)
Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości \(V = 2\). Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
\(P = 6\sqrt{3}\)
Trzywyrazowy ciąg \((a, b, c)\) o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg \(\Biggl(\frac{1}{a}, \frac{2}{3b}, \frac{1}{2a + 2b + c}\Biggl)\) jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.
\(q = \frac{1}{3}\)
Wielomian określony wzorem \(W(x) = 2x^3 + (m^3 + 2)x^2 - 11x - 2(2m + 1)\) jest podzielny przez dwumian \((x - 2)\) oraz przy dzieleniu przez dwumian \((x + 1)\) daje resztę \(6\). Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(W(x) \le 0\).
\(x \in (-\infty, -3\bigl] \cup \biggl[-\frac{1}{2}, 2\biggl]\)
Punkt \(D\) leży na boku \(AB\) trójkąta \(ABC\) oraz \(|AC| = 16\), \(|AD| = 6\), \(|CD| = 14\) i \(|BC| = |BD|\). Oblicz obwód trójkąta \(ABC\).
\(Obw = 120\)
Dane są okręgi o równaniach \(x^2 + y^2 - 12x - 8y + 43 = 0\) i \(x^2 + y^2 - 2ax + 4y + a^2 - 77 = 0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.
\(a \in \{6 - 6\sqrt{3}, 6, 6 + 6\sqrt{3}\}\)
Punkt \(P = (10, 2429)\) leży na paraboli o równaniu \(y = 2x^2 + x + 2219\). Prosta o równaniu kierunkowym \(y = ax + b\) jest styczna do tej paraboli w punkcie \(P\). Oblicz współczynnik \(b\).
\(b = 2019\)
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\), takich że \(x \lt y\), i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(a\), prawdziwa jest nierówność \(\frac{x + a}{y + a} + \frac{y}{x} \gt 2\).
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Na ramieniu \(AC\) tego trójkąta wybrano punkt \(M (M \ne A\) i \(M \ne C)\), a na ramieniu \(BC\) wybrano punkt \(N\), w taki sposób, że \(|AM| = |CN|\). Przez punkty \(M\) i \(N\) poprowadzono proste prostopadłe do podstawy \(AB\) tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty \(S\) i \(T\). Udowodnij, że \(|ST| = \frac{1}{2}|AB|\).
Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \Biggl( \frac{9n^3 + 11n^2}{7n^3 + 5n^2 + 3n + 1} - \frac{n^2}{3n^2 + 1}\Biggl)\)
Wpisz w poniższe kratki – od lewej do prawej – trzy kolejne cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
   
\(952\)
Rozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr \(1\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\), bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb.
\(6\ 666\ 600\)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji \(y = f(x)\), który jest złożony z dwóch półprostych \(AD\) i \(CE\) oraz dwóch odcinków \(AB\) i \(BC\), gdzie \(A = (-1, 0)\), \(B = (1, 2)\), \(C = (3, 0)\), \(D = (-4, 3)\), \(E = (6, 3)\). Wzór funkcji \(f\) to
A.\( f(x) = |x + 1| + |x - 1| \)
B.\( f(x) = ||x - 1| - 2| \)
C.\( f(x) = ||x - 1| + 2| \)
D.\( f(x) = |x - 1| + 2 \)
\(f(x) = ||x - 1| - 2|\)
Zdarzenia losowe \(A\) i \(B\) zawarte w \(\Omega\) są takie, że prawdopodobieństwo \(P(B')\) zdarzenia \(B'\), przeciwnego do zdarzenia \(B\), jest równe \(\frac{1}{4}\). Ponadto prawdopodobieństwo warunkowe \(P(A|B) = \frac{1}{5}\). Wynika stąd, że
A.\( P(A\cap B) = \frac{1}{20} \)
B.\( P(A\cap B) = \frac{4}{15} \)
C.\( P(A\cap B) = \frac{3}{20} \)
D.\( P(A\cap B) = \frac{4}{5} \)
\(P(A\cap B) = \frac{3}{20}\)
Dla dowolnych liczb \(x\gt 0,\ x\ne 1,\ y\gt 0,\ y\ne 1\) wartość wyrażenia \(\left(\log_{\frac{1}{x}}y\right)\cdot \left(\log_{\frac{1}{y}}x\right)\) jest równa
A.\( x\cdot y \)
B.\( \frac{1}{x\cdot y} \)
C.\( -1 \)
D.\( 1 \)
D
Liczba \(\cos^{2}105^\circ -\sin^{2} 105^\circ \) jest równa
A.\( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
B.\( -\frac{1}{2} \)
C.\( \frac{1}{2} \)
D.\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
A
Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(6\). Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta \(\alpha\).
\(\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}\)
Dany jest punkt \(A = (-18, 10)\). Prosta o równaniu \(y = 3x\) jest symetralną odcinka \(AB\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\).
\(B = \left(20\frac{2}{5}; -2\frac{4}{5}\right)\)
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Różnicą tego ciągu jest liczba \(r = -4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(a_5\), \(a_6\), jest równa \(16\).
Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_k = -78\).
\(a_1 = 26\) i \(k = 27\)
W trapezie prostokątnym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB\) ma długość \(8\). Przekątna \(AC\) tego trapezu ma długość \(4\) i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze \(30^\circ\) (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej \(BD\) tego trapezu.
\(|BD| = 2\sqrt{17}\)
Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
\(\frac{9}{25}\)
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(3a^2 - 2ab + 3b^2 \ge 0\).
Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(r\). Na przedłużeniu cięciwy \(AB\) poza punkt \(B\) odłożono odcinek \(BC\) równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty \(C\) i \(S\) poprowadzono prostą. Prosta \(CS\) przecina dany okrąg w punktach \(D\) i \(E\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta \(ACS\) jest równa \(\alpha\), to miara kąta \(ASD\) jest równa \(3\alpha\).
Rozwiąż nierówność \(3x^2 - 16x + 16\gt 0\).
\(x\in \left(-\infty ;\frac{4}{3}\right)\cup (4;+\infty )\)
Rozwiąż równanie \((x^3 - 8)(x^2 - 4x - 5) = 0\).
\(x=-1 \lor x=2 \lor x=5\)
Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry \(0\), \(2\), \(5\), jest
A.\( 12 \)
B.\( 36 \)
C.\( 162 \)
D.\( 243 \)
\(162\)
W pudełku jest \(40\) kul. Wśród nich jest \(35\) kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe
A.\( \frac{1}{8} \)
B.\( \frac{1}{5} \)
C.\( \frac{1}{40} \)
D.\( \frac{1}{35} \)
\(\frac{1}{8}\)
Promień kuli i promień podstawy stożka są równe \(4\). Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa
A.\( 8 \)
B.\( 4 \)
C.\( 16 \)
D.\( 12 \)
D
Mediana zestawu sześciu danych liczb: \(4\), \(8\), \(21\), \(a\), \(16\), \(25\), jest równa \(14\). Zatem
A.\( a = 7 \)
B.\( a = 12 \)
C.\( a = 14 \)
D.\( a = 20 \)
\(a = 12\)
Dane są punkty o współrzędnych \(A = (-2, 5)\) oraz \(B = (4, -1)\). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku \(AB\) jest równa
A.\( 12 \)
B.\( 6 \)
C.\( 6\sqrt{2} \)
D.\( 2\sqrt{6} \)
\(6\sqrt{2}\)
Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary \(5\) dm x \(3\) dm x \(2\) dm (zobacz rysunek). Przekątna \(KL\) tego prostopadłościanu jest – z dokładnością do \(0,01\) dm – równa
A.\( 5,83\) dm
B.\( 6,16\) dm
C.\( 3,61\) dm
D.\( 5,39\) dm
B
Prosta o równaniu \(y = ax + b\) jest prostopadła do prostej o równaniu \(y = -4x + 1\) i przechodzi przez punkt \(P = \biggl( \frac{1}{2}, 0\biggl)\), gdy
A.\( a = -4\) i \(b = -2 \)
B.\( a = \frac{1}{4}\) i \(b = -\frac{1}{8} \)
C.\( a = -4\) i \(b = 2 \)
D.\( a = \frac{1}{4}\) i \( b = \frac{1}{2} \)
\(a = \frac{1}{4} i b = -\frac{1}{8}\)
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej \(f\). Na wykresie tej funkcji leżą punkty \(A = (0, 4)\) i \(B = (2, 2)\). Obrazem prostej \(AB\) w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji \(g\) określonej wzorem
A.\( g(x) = x + 4 \)
B.\( g(x) = x - 4 \)
C.\( g(x) = -x - 4 \)
D.\( g(x) = -x + 4 \)
\(g(x) = -x - 4\)
Dany jest romb o boku długości \(4\) i kącie rozwartym \(150^\circ\). Pole tego rombu jest równe
A.\( 8 \)
B.\( 12 \)
C.\( 8\sqrt{3} \)
D.\( 16 \)
\(8\)
Proste o równaniach \(y = (2m + 2)x - 2019\) oraz \(y = (3m - 3)x + 2019\) są równoległe, gdy
A.\( m = -1 \)
B.\( m = 0 \)
C.\( m = 1 \)
D.\( m = 5 \)
\(m = 5\)
Punkty \(D\) i \(E\) leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym \(ABC\) (zobacz rysunek). Odcinek \(CD\) jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany \(DEB\) ma miarę \(\alpha\). Zatem
A.\( \alpha = 30^\circ \)
B.\( \alpha \lt 30^\circ \)
C.\( \alpha \gt 45^\circ \)
D.\( \alpha = 45^\circ \)
\(\alpha = 30^\circ\)
Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(5\) oraz okrąg o środku w punkcie \(P\) i promieniu \(3\). Odcinek \(OP\) ma długość \(16\). Prosta \(AB\) jest styczna do tych okręgów w punktach \(A\) i \(B\). Ponadto prosta \(AB\) przecina odcinek \(OP\) w punkcie \(K\) (zobacz rysunek). Wtedy
A.\( |OK| = 6 \)
B.\( |OK| = 8 \)
C.\( |OK| = 10 \)
D.\( |OK| = 12 \)
\(|OK| = 10\)
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\ge1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_5}{a_3} = \frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy
A.\( \frac{1}{3} \)
B.\( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
C.\( 3 \)
D.\( \sqrt{3} \)
\(\frac{1}{3}\)
Sinus kąta ostrego \(\alpha\) jest równy \(\frac{4}{5}\). Wtedy
A.\( \cos\alpha = \frac{5}{4} \)
B.\( \cos\alpha = \frac{1}{5} \)
C.\( \cos\alpha = \frac{9}{25} \)
D.\( \cos\alpha = \frac{3}{5} \)
\(cos\alpha = \frac{3}{5}\)
Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu
A.\( y = -4 \)
B.\( x = -4 \)
C.\( y = 2 \)
D.\( x = 2 \)
\(x = 2\)
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge1\), dane są dwa wyrazy: \(a_1 = 7\) i \(a_8 = -49\). Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A.\( -168 \)
B.\( -189 \)
C.\( -21 \)
D.\( -42 \)
\(-168\)
Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1, 4 \rangle\) jest równa
A.\( -3 \)
B.\( -4 \)
C.\( 4 \)
D.\( 0 \)
\(0\)
Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x) = 3(x + 1) - 6\sqrt{3}\) jest liczba
A.\( 3 - 6\sqrt{3} \)
B.\( 1 - 6\sqrt{3} \)
C.\( 2\sqrt{3} - 1 \)
D.\( 2\sqrt{3} - \frac{1}{3} \)
\(2\sqrt{3} - 1\)
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W = (2, -4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział
A.\( (-\infty , 0\rangle \)
B.\( \langle 0, 4\rangle \)
C.\( \langle -4, +\infty) \)
D.\( \langle 4, +\infty) \)
\(\langle -4, +\infty)\)
Para liczb \(x = 2\) i \(y = 2\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} ax + y = 4 \\ -2x + 3y = 2a \end{cases}\) dla
A.\( a = -1 \)
B.\( a = 1 \)
C.\( a = -2 \)
D.\( a = 2 \)
\(a = 1\)
Równanie \(\frac{(x-1)(x+2)}{x-3} = 0\)
A.ma trzy różne rozwiązania: \( x = 1, x = 3, x = -2. \)
B.ma trzy różne rozwiązania: \( x = -1, x = -3, x = 2. \)
C.ma dwa różne rozwiązania: \( x = 1, x = -2. \)
D.ma dwa różne rozwiązania: \( x = -1, x = 2. \)
W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa \(4\%\). Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o \(1\) punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o
A.\( 1\% \)
B.\( 25\% \)
C.\( 33\% \)
D.\( 75\% \)
Równość \(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{a}=1\) jest prawdziwa dla
A.\( a=\frac{11}{20} \)
B.\( a=\frac{8}{9} \)
C.\( a=\frac{9}{8} \)
D.\( a=\frac{20}{11} \)
Liczba naturalna \(n=2^{14}\cdot 5^{15}\) w zapisie dziesiętnym ma
A.\( 14 \) cyfr
B.\( 15 \) cyfr
C.\( 16 \) cyfr
D.\( 30 \) cyfr
Liczba \(\log_\sqrt{2}2\) jest równa
A.\( 2 \)
B.\( 4 \)
C.\( \sqrt{2} \)
D.\( \frac{1}{2} \)