Metoda rozwiązywania równań wielomianowych

Równania wielomianowe drugiego stopnia (czyli tzw. równania kwadratowe) rozwiązujemy metodami opisanymi na tej stronie.
Metoda rozwiązywania bardziej skomplikowanych równań wielomianowych (stopnia \(3\) i wyższych) jest następująca:
  • przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę równania, tak aby po prawej stronie zostało zero,
  • rozkładamy lewą stronę na iloczyn czynników,
  • przyrównujemy każdy nawias do zera,
  • rozwiązujemy kilka prostych równań, otrzymując w rezultacie rozwiązania początkowego równania wielomianowego.
Cały powyższy algorytm przedstawimy teraz na poniższym przykładzie.
Rozwiąż równanie \(x^3 + 5x^2 = 2x + 10\).
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[x^3 + 5x^2 - 2x - 10 = 0\] Teraz rozkładamy lewą stronę na iloczyn czynników. Standardowo wyciągamy wspólny czynnik przed nawias z pierwszych dwóch wyrazów oraz z ostatnich dwóch wyrazów:
\[\begin{split} x^2(x + 5) - 2(x + 5) &= 0\\[6pt] (x + 5)(x^2 - 2) &= 0\\[6pt] (x + 5)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) &= 0\\[6pt] \end{split}\] Teraz przyrównujemy każdy z nawiasów do zera: \[x + 5 = 0 \quad \lor \quad x - \sqrt{2} = 0 \quad \lor \quad x + \sqrt{2} = 0\] i otrzymujemy ostatecznie rozwiązania: \[x = -5 \quad \lor \quad x = \sqrt{2} \quad \lor \quad x = -\sqrt{2}\]
Niektóre proste równania wielomianowe można rozwiązać w szybszy sposób.
Rozwiąż równanie \(3x^4 = 48\).
W tym równaniu niewiadoma \(x\) występuje tylko w jednym miejscu, zatem liczymy od razu: \[\begin{split} 3x^4 &= 48 \qquad // : 3\\[6pt] x^4 &= 16\\[6pt] x^2 = 4 \quad &\lor \quad x^2 = -4 \end{split}\] Równanie \(x^2=-4\) jest sprzeczne, zatem rozwiązanie to: \[\begin{split} x^2 &= 4\\[6pt] x = 2 \quad &\lor \quad x = -2 \end{split}\]
Więcej przykładów na rozwiązywanie równań wielomianowych znajdziesz w zadaniach z rozwiązaniami wideo w kolejnym dziale.
Sąsiednie tematy
Metoda rozwiązywania równań wielomianowych (tu jesteś)