Matura rozszerzona 2026 - styczeń - próbna SMWP

Drukuj

Poziom rozszerzony

Materiały do pobrania:

Rozwiąż równanie \[ \log _{x}(27)=2+\log _{3}(x) \] gdzie \(x \in(0,1) \cup(1,+\infty)\). Zapisz obliczenia.

\(x=3\) lub \(x=\frac{1}{27}\)

Oblicz \(\operatorname{tg} \alpha\) wiedząc, że \(\alpha \in\left(\pi, \frac{3 \pi}{2}\right)\) oraz \(\sin 2 \alpha=\frac{12}{13}\). Zapisz obliczenia.

\(\operatorname{tg} \alpha=\frac{3}{2}\) lub \(\operatorname{tg} \alpha=\frac{2}{3}\)

Szkolny turniej gry w siatkówkę składa się z dwóch tur. Pierwsza tura polega na rozegraniu przez każdą drużynę \(5\) meczy. Aby drużyna zakwalifikowała się do drugiej tury, musi zwyciężyć w co najmniej \(4\) meczach. Prawdopodobieństwo zwycięstwa w pojedynczym meczu przez drużynę \(A\) jest równe \(0,26\).

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że drużyna \(A\) zakwalifikuje się do drugiej tury turnieju. Wynik przedstaw w postaci ułamka dziesiętnego, w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.

\(P=0,02\)

Okręgi:
- \(\mathcal{O}_{1}:(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=9\)
- \(\mathcal{O}_{2}:(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=16\)
przecinają się w punktach \(M\) oraz \(N\).

Oblicz odległość między punktami \(\boldsymbol{M}\) oraz \(\boldsymbol{N}\). Zapisz obliczenia.

\(|M N|=\frac{24}{5}\)

W czworokąt \(ABCD\) o obwodzie \(30\) wpisano okrąg. Przekątna \(|AC|\) ma długość \(2\sqrt{3}\) i tworzy kąt \(ACB\) o mierze \(60^{\circ}\). Bok \(|BC|\) tego czworokąta jest dwukrotnie dłuższy od jego przekątnej \(|AC|\).

Oblicz długości wszystkich boków czworokąta \(ABCD\). Zapisz obliczenia.

\(|A B|=6\) oraz \(|B C|=4 \sqrt{3}\) oraz \(|C D|=9\) oraz \(|D A|=15-4 \sqrt{3}\)

Rozwiąż nierówność \[ |x+2|-|x-3|<6+x \] Zapisz obliczenia.

\(x \in(-11,+\infty)\)

Twierdzenie tangensów pozwala na określenie zależności między kątami i bokami trójkąta.

Twierdzenie tangensów:
Jeśli \(a\) i \(b\) są długościami boków trójkąta oraz \(\alpha\) i \(\beta\) są miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko tych boków, to zachodzi równość \[ \frac{a-b}{a+b}=\frac{\operatorname{tg} \frac{\alpha-\beta}{2}}{\operatorname{tg} \frac{\alpha+\beta}{2}} \]

Udowodnij powyższe twierdzenie.

Wielomian \(W(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\) jest określony dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkt \((-2,-4)\) należy do wykresu wielomianu \(W\). Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu wielomianu \(W\) w punkcie o pierwszej współrzędnej równej \(2\) wynosi \(23\). Ponadto, suma współczynników wielomianu \(W\) jest równa \(8\).

Wyznacz wzór wielomianu \(\boldsymbol{W}\) oraz oblicz jego wszystkie pierwiastki. Zapisz obliczenia.

\(W(x)=x^3+2 x^2+3 x+2\) oraz \(x_0=-1\)

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\boldsymbol{m}\), dla których równanie \[ x^{2}-(2 m+3) \cdot x+4 m+6=0 \] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_{1}, x_{2}\) spełniające warunek \[ x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>7 \cdot\left(x_{1}+x_{2}\right) \] Zapisz obliczenia.

\(m \in\left(-2,-\frac{3}{2}\right) \cup\left(\frac{5}{2},+\infty\right)\)

Ciągi \((a_{n})\) i \((b_{n})\) są geometryczne i monotoniczne oraz spełnione są zależności: \[ a_{3}+2=b_{1} \quad \text { oraz } \quad 2 a_{2}=21 b_{2} \quad \text { oraz } \quad b_{1} \cdot b_{3}=16 \] Ciąg \((a_{3}, 127, b_{1})\) jest arytmetyczny.

Wyznacz wzory ogólne ciągów ( \(a_{n}\) ) i ( \(b_{n}\) ) oraz określ ich monotoniczność. Zapisz obliczenia.

\(a_n=14 \cdot 3^{n-1}\) i rosnący oraz \(b_n=4 \cdot 32^{2-n}\) i malejący

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne, których suma długości przekątnej podstawy oraz nachylonej do niej przekątnej graniastosłupa \(d\) jest równa \(12\).

Wykaż, że objętość graniastosłupa w zależności od długości \(\boldsymbol{d}\) jego przekątnej jest równa \[ V(d)=(d-12)^{2} \cdot \sqrt{6 d-36} \]

Objętość graniastosłupa w zależności od długości \(d\) jego przekątnej jest równa \[ V(d)=(d-12)^{2} \cdot \sqrt{6 d-36} \] dla \(d \in(6,12)\).

Wyznacz długość \(d\) przekątnej graniastosłupa, dla której jego objętość jest największa. Zapisz obliczenia.

\(d_{\text {max }}=\frac{36}{5}\)