Matura podstawowa - zbiór zadań - ciągi rekurencyjne

Drukuj

Poziom podstawowy

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem rekurencyjnym: \[\begin{cases} a_1 = -2 \\ a_{n+1} = n\cdot a_n + 4 \end{cases} \] dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).

Oblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\).

\(36\)

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony rekurencyjnie \[\begin{cases} a_1=2 \\ a_{n+1}=2-5a_n \end{cases} \] dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).

Oblicz sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\).

\(870\)

Najpierw wyznaczamy kolejne wyrazy:

\(a_1 = 2\)
\(a_2 = 2 - 5\cdot a_1 = 2 - 5\cdot 2 = 2 - 10 = -8\)
\(a_3 = 2 - 5\cdot a_2 = 2 - 5\cdot(-8) = 2 + 40 = 42\)
\(a_4 = 2 - 5\cdot a_3 = 2 - 5\cdot 42 = 2 - 210 = -208\)
\(a_5 = 2 - 5\cdot a_4 = 2 - 5\cdot(-208) = 2 + 1040 = 1042\)

Teraz sumujemy:

\(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \) \(= 2 + (-8) + 42 + (-208) + 1042\) \(= 2 - 8 + 42 - 208 + 1042 = 870\)

Odpowiedź: \(870\).

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony rekurencyjnie \[ \begin{cases} a_1 = 5, \\ a_{n+1} = a_n - n^2 + 10 \end{cases} \] dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).

Uzasadnij, że ciąg \((a_n)\) nie jest monotoniczny.

Ciąg \((a_n)\) jest monotoniczny jeżeli różnica między dwoma kolejnymi wyrazami (czyli wyrażenie \(a_{n+1} - a_n \)) ma stały znak.

Badamy znak różnicy między dwoma kolejnymi wyrazami:

\(a_{n+1} - a_n \) \(= (a_n - n^2 + 10) - a_n \) \(= -n^2 + 10\)

Wyrażenie \(-n^2 + 10\) jest dodatnie dla \(n\in \{1,2,3\}\) (wtedy ciąg rośnie), a ujemne dla \(n\ge 4\) (wtedy ciąg maleje).
Zatem ciąg \((a_n)\) nie jest monotoniczny. \(_{c.n.d.}\)

Sprawdźmy dodatkowo:

Dla małych wartości \(n\) ciąg rośnie:

\(n=1\): \(-1^2 + 10 = 9 \gt 0 \implies a_2 \gt a_1\),
\(n=2\): \(-2^2 + 10 = 6 \gt 0 \implies a_3 \gt a_2\),
\(n=3\): \(-3^2 + 10 = 1 \gt 0 \implies a_4 \gt a_3\).

Dla większych wartości \(n\) ciąg maleje:

\(n=4\): \(-4^2 + 10 = -16 + 10 = -6 \lt 0 \implies a_5 \lt a_4\).

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony rekurencyjnie \[ \begin{cases} a_1 = 20, \\ a_{n+1} = a_n - 1 \end{cases} \] dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).

Uzasadnij, że ciąg \((a_n)\) jest monotoniczny.

Ciąg \((a_n)\) jest monotoniczny jeżeli różnica między dwoma kolejnymi wyrazami (czyli wyrażenie \(a_{n+1} - a_n \)) ma stały znak.

Badamy znak różnicy między dwoma kolejnymi wyrazami:

\(a_{n+1} - a_n \) \(= (a_n -1) - a_n \) \(= -1\)

Otrzymaliśmy różnicę stałą równą \((-1)\), zatem ciąg jest malejący, czyli jest monotoniczny. \(_{c.n.d.}\)