Matura 2024 czerwiec

Liczba \(2^{-1} \cdot 32^{\frac{3}{5}}\) jest równa

Liczba \(\log _{3}\left(\frac{3}{2}\right)+\log _{3}\left(\frac{2}{9}\right)\) jest równa

Liczba \((2 \sqrt{10}+\sqrt{2})^{2}\) jest równa

Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości \(K_0\) zł. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(6 \%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym. Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(5 n^{3}-5 n\) jest podzielna przez \(30\).

Liczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności \[ \frac{3 x-5}{12}<\frac{1}{3} \] jest równa

Układ równań \(\left\{\begin{array}{c}x-2 y=3 \\ -4 x+8 y=-12\end{array}\right.\)

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od: \((-1),\ 0\) i \(1\), wartość wyrażenia \(\frac{2 x^{2}}{x^{2}-1} \cdot \frac{x+1}{x}\) jest równa wartości wyrażenia

Wielomian \(W(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d\) jest iloczynem wielomianów \(F(x)=(2-3 x)^{2}\) oraz \(G(x)=3 x-2\). Suma \(a+b+c+d\) współczynników wielomianu \(W\) jest równa ............ .

Rozwiąż równanie \[ 4 x^{3}-12 x^{2}-x+3=0 \] Zapisz obliczenia.

Na rysunku 1., w kartezjańskim układzie współrędnych \((x, y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\). Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji \(f\) z prostą o równaniu \(y=2\) ma obie współrzędne całkowite.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x) \leq 2\) jest przedział ........................ .

Na rysunku 2., w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), przedstawiono wykres funkcji \(g\), powstałej w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji \(f\) wzdłuż osi \(Ox\) o \(4\) jednostki w lewo. Funkcje \(f\) i \(g\) są powiązane zależnością

Funkcja \(y=f(x)\) jest określona za pomocą tabeli

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(3\)

Funkcja \(f\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe.	P	F
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykres funkcji \(f\) jest symetryczny względem osi \(Oy\).	P	F

Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=(3-m) x+4\). Liczba \(m\) jest równa

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\), ma z osiami kartezjańskiego układu współzędnych \((x, y)\) dokładnie dwa punkty wspólne: \(M=(0,18)\) oraz \(N=(3,0)\).

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-(x+1)^{2}+4\).

Na jednym z rysunków A-D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), fragment wykresu funkcji \(y=f(x)\). Fragment wykresu funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono na rysunku

Wykres funkcji \(f\) przecina oś \(O y\) kartezjańskiego układu współrzędnych \((x, y)\) w punkcie o współrzędnych \((0,4)\).	P	F
Miejsca zerowe funkcji \(f\) są równe: \((-3)\) oraz \(1\).	P	F

Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2 \cdot(-1)^{n+1}+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

Ciąg \(\left(a_n\right)\) jest malejący.	P	F
Ciąg \(\left(a_n\right)\) jest geometryczny.	P	F

W ciągu arytmetycznym \(\left(a_{n}\right)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), dane są wyrazy: \(a_{1}=7\) oraz \(a_{2}=13\). Wyraz \(a_{10}\) jest równy

Trzywyrazowy ciąg \((-1,2, x)\) jest arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg ( \(-1,2, y\) ) jest geometryczny. Liczby \(x\) oraz \(y\) spełniają warunki

Liczba \(1+\cos ^{2} 27^{\circ}\) jest równa

Podstawy trapezu prostokątnego \(A B C D\) mają długości: \(|A B|=8\) oraz \(|C D|=5\). Wysokość \(A D\) tego trapezu ma długość \(\sqrt{3}\) (zobacz rysunek). Miara kąta ostrego \(ABC\) jest równa

Punkty \(A, B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Długość łuku \(A B\), na którym jest oparty kąt wpisany \(A C B\), jest równa \(\frac{1}{5}\) długości okręgu (zobacz rysunek). Miara kąta ostrego \(A C B\) jest równa

Bok kwadratu \(A B C D\) ma długość równą \(12\). Punkt \(S\) jest środkiem boku \(B C\) tego kwadratu. Na odcinku \(A S\) leży punkt \(P\) taki, że odcinek \(B P\) jest prostopadły do odcinka \(A S\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o równaniu \[ (x-1)^{2}+(y+2)^{2}=5 \]

Do okręgu \(\mathcal{O}\) należy punkt o współrzędnych \((-1,-3)\).	P	F
Promień okręgu \(\mathcal{O}\) jest równy \(5\).	P	F

Okrąg \(\mathcal{K}\) jest obrazem okręgu \(\mathcal{O}\) w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Okrąg \(\mathcal{K}\) jest określony równaniem

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\). Symetralna odcinka \(A B\) przecina oś \(O x\) układu współrzędnych w punkcie \(P\).

Ostrosłup prawidłowy ma \(2024\) ściany boczne. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

Przekątna ściany sześcianu ma długość \(2 \sqrt{2}\). Objętość tego sześcianu jest równa

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(4\). Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\operatorname{tg} \alpha=2\) (zobacz rysunek). Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. \(\mathrm{Na}\) osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(2,4,7\) (np.: \(7272\), \(2222\), \(7244\)), jest

W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest 18.
Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną, jest równe \(\frac{3}{5}\). Liczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.

Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. \(Z\) badania wynika, że dzienny przychód \(P\) ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o \(x\) zł, wyraża się wzorem \[ P(x)=(70-x)(20+x) \] gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(x \geq 0\) i \(x \leq 60\).

32.1	Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy, gdy liczba \(x\) jest równa	\(\ \ \ \)
32.2	Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy \(800\) zł, gdy liczba \(x\) jest równa	\(\ \ \ \)