Matura 2021 marzec

Na tej stronie jest arkusz z rozwiązaniami zadań z próbnej matury CKE z marca 2021.

Szybka nawigacja do zadania numer: 5 10 15 20 25 30 35 .

Liczba \((\sqrt{6}-\sqrt{2})^2-2\sqrt{3}\) jest równa

A.\( 8-6\sqrt{3} \)

B.\( 8-2\sqrt{3} \)

C.\( 4-2\sqrt{3} \)

D.\( 8-4\sqrt{3} \)

Liczba \(2\log_54-3\log_5\frac{1}{2}\) jest równa

A.\( -\log_5\frac{7}{2} \)

B.\( 7\log_52 \)

C.\( -\log_52 \)

D.\( \log_52 \)

Medyczna maseczka ochronna wielokrotnego użytku z wymiennymi filtrami wskutek podwyżki zdrożała o \(40\%\) i kosztuje obecnie \(106{,}40\) zł. Cena maseczki przed podwyżką była równa

A.\( 63{,}84 \) zł

B.\( 65{,}40 \) zł

C.\( 76{,}00 \) zł

D.\( 66{,}40 \) zł

Dla każdej dodatniej liczby \(b\) wyrażenie \((\sqrt[2]{b}\cdot \sqrt[4]{b})^{\frac{1}{3}}\) jest równe

A.\( b^2 \)

B.\( b^{0{,}25} \)

C.\( b^{\frac{8}{3}} \)

D.\( b^\frac{4}{3} \)

Para liczb \(x = 1\), \(y = −3\) spełnia układ równań \begin{cases} x-y=a^2 \\ (1+a)x-3y=-4a \end{cases} Wtedy \(a\) jest równe

A.\( 2 \)

B.\( -2 \)

C.\( \sqrt{2} \)

D.\( -\sqrt{2} \)

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2(x-4)(x^2-1)=0\) jest równy

A.\( -8 \)

B.\( -4 \)

C.\( 4 \)

D.\( 8 \)

Zbiorem rozwiązań nierówności \(\frac{12-5x}{2}\lt3\Bigl(1-\frac{1}{2}x\Bigl)+7x\) jest

A.\( \Bigl(-\infty, \frac{7}{2}\Bigl) \)

B.\( \Bigl(\frac{2}{7}, +\infty\Bigl) \)

C.\( \Bigl(-\infty, \frac{3}{8}\Bigl) \)

D.\( \Bigl(\frac{3}{8}, +\infty\Bigl) \)

Funkcja liniowa \(f(x)=(a-1)x+3\) osiąga wartość najmniejszą równą \(3\). Wtedy

A.\( a=-1 \)

B.\( a=0 \)

C.\( a=1 \)

D.\( a=3 \)

Na wykresie przedstawiono wykres funkcji \(f\)

Wskaż zdanie prawdziwe.

A.Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \((−4, 5)\).

B.Funkcja \(f\) ma dwa miejsca zerowe.

C.Funkcja \(f\) dla argumentu \(1\) przyjmuje wartość \((−1)\).

D.Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \((−4, 5\rangle \).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{8x-7}{2x^2+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(1\) jest równa

A.\( \frac{1}{5} \)

B.\( \frac{1}{3} \)

C.\( 1 \)

D.\( 2 \)

Ciąg \((x,y,z)\) jest geometryczny. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy \(64\). Stąd wynika, że \(y\) jest równe

A.\( 3\cdot 64 \)

B.\( \frac{64}{3} \)

C.\( 4 \)

D.\( 3 \)

Ciąg \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa \(5\), a pierwszy wyraz tego ciągu jest równy \((−3)\). Wtedy iloraz \(\frac{a_4}{a_2}\) jest równy

A.\( \frac{5}{3} \)

B.\( 2 \)

C.\( 6 \)

D.\( 25 \)

Trójkąt \(ABC\) jest wpisany w okrąg o środku \(O\). Miara kąta \(CAO\) jest równa \(70^\circ \) (zobacz rysunek). Wtedy miara kąta \(ABC\) jest równa

A.\( 20^\circ \)

B.\( 25^\circ \)

C.\( 30^\circ \)

D.\( 35^\circ \)

Ciągi \((a_n), (b_n)\) oraz \((c_n)\) są określone dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) następująco:

\(a_n=6n^2-n^3\)
\(b_n=2n+13\)
\(c_n=2^n\)

Wskaż zdanie prawdziwe.

A.Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.

B.Ciąg \((b_n)\) jest arytmetyczny.

C.Ciąg \((c_n)\) jest arytmetyczny.

D.Wśród ciągów \((a_n), (b_n), (c_n)\) nie ma ciągu arytmetycznego.

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=(-2)^n\cdot n+1\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Wtedy trzeci wyraz tego ciągu jest równy

A.\( -24 \)

B.\( -17 \)

C.\( -32 \)

D.\( -23 \)

W romb o boku \(2\sqrt{3}\) i kącie \(60^\circ \) wpisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy

A.\( 3 \)

B.\( \frac{1}{2} \)

C.\( \frac{3}{4} \)

D.\( \frac{3}{2} \)

Przez punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego \(ABC\) poprowadzono prostą \(DE\) równoległą do podstawy \(AB\) (zobacz rysunek).

Stosunek pola trójkąta \(ABC\) do pola trójkąta \(CDE\) jest równy

A.\( 9:4 \)

B.\( 4:1 \)

C.\( 4:9 \)

D.\( 3:2 \)

Końcami odcinka \(PR\) są punkty \(P=(4,7)\) i \(R=(-2,-3)\). Odległość punktu \(T=(3,-1)\) od środka odcinka \(PR\) jest równa

A.\( \sqrt{3} \)

B.\( \sqrt{13} \)

C.\( \sqrt{17} \)

D.\( 6\sqrt{2} \)

Kąt \(\alpha \) jest ostry oraz \(\sin \alpha =\frac{4}{5}\). Wtedy

A.\( \cos \alpha =\frac{1}{5} \)

B.\( \cos \alpha =-\frac{1}{5} \)

C.\( \cos \alpha =-\frac{3}{5} \)

D.\( \cos \alpha =\frac{3}{5} \)

Dane są punkty \(M=(6,0), N=(6,8)\) oraz \(O=(0,0)\). Tangens kąta ostrego \(MON\) jest równy

A.\( \frac{4}{3} \)

B.\( \frac{6}{10} \)

C.\( \frac{3}{4} \)

D.\( \frac{8}{10} \)

Proste o równaniach o \(y=3ax-2\) i \(y=2x+3a\) są prostopadłe. Wtedy \(a\) jest równe

A.\( \frac{2}{3} \)

B.\( -\frac{1}{6} \)

C.\( \frac{3}{2} \)

D.\( -5 \)

Dany jest trapez \(ABCD\), w którym boki \(AB\) i \(CD\) są równoległe oraz \(C=(3,5)\). Wierzchołki \(A\) i \(B\) tego trapezu leżą na prostej o równaniu \(y=5x+3\). Wtedy bok \(CD\) tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu

A.\( y=3x+5 \)

B.\( y=-\frac{1}{5}x+3 \)

C.\( y=5x-10 \)

D.\( y=-\frac{1}{5}x+\frac{28}{5} \)

W trapezie równoramiennym \(ABCD\) podstawy \(AB\) i \(CD\) mają długości równe odpowiednio \(a\) i \(b\) (przy czym \(a\gt b\)). Miara kąta ostrego trapezu jest równa \(30^\circ \). Wtedy wysokość tego trapezu jest równa

A.\( \frac{a-b}{2}\cdot \sqrt{3} \)

B.\( \frac{a-b}{6}\cdot \sqrt{3} \)

C.\( \frac{a+b}{2} \)

D.\( \frac{a+b}{4} \)

Przekątna sześcianu ma długość \(5\sqrt{3}\). Wtedy objętość tego sześcianu jest równa

A.\( 125 \)

B.\( 75 \)

C.\( 375\sqrt{3} \)

D.\( 125\sqrt{3} \)

Ostrosłupy prawidłowe trójkątne \(O_1\) i \(O_2\) mają takie same wysokości. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa \(O_1\) jest trzy razy dłuższa od długości krawędzi podstawy ostrosłupa \(O_2\). Stosunek objętości ostrosłupa \(O_1\) do objętości ostrosłupa \(O_2\) jest równy

A.\( 3:1 \)

B.\( 1:3 \)

C.\( 9:1 \)

D.\( 1:9 \)

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których cyfra \(7\) występuje dokładnie jeden raz, jest

A.\( 85 \)

B.\( 90 \)

C.\( 100 \)

D.\( 150 \)

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez \(5\), jest równe

A.\( \frac{2}{5} \)

B.\( \frac{5}{100} \)

C.\( \frac{5}{90} \)

D.\( \frac{18}{90} \)

Liczba \(x\) jest dodatnia. Mediana zestawu czterech liczb: \(1+x,\ 1+2x,\ 4+3x,\ 1\), jest równa \(10\). Wtedy

A.\( x=6 \)

B.\( x=5{},5 \)

C.\( x=2{,}5 \)

D.\( x=1 \)

Rozwiąż nierówność: \(3x(x+1)\gt x^2+x+24\)

Rozwiąż równanie: \(\frac{6x-1}{3x-2}=3x+2\)

\(x=-\frac{1}{3}\) lub \(x=1\)

Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości \(a\) i \(b\). Punkt \(O\) leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta i jest środkiem okręgu stycznego do przyprostokątnych tego trójkąta (zobacz rysunek).

Wykaż, że promień \(r\) tego okręgu jest równy \(\frac{ab}{a+b}\)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{7}{5}\). Oblicz wartość wyrażenia \(2\sin \alpha \cos\alpha\).

\(\frac{24}{25}\)

Dany jest czworokąt \(ABCD\), w którym \(|BC|=|CD|=|AD|=13\) (zobacz rysunek). Przekątna \(BD\) tego czworokąta ma długość \(10\) i jest prostopadła do boku \(AD\). Oblicz pole czworokąta \(ABCD\).

\(125\)

Funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2+bx+c\) nie ma miejsc zerowych. Wykaż, że \(1+c\gt b\).

Rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa \(10\). Wyrazy \(a_3, a_5, a_{13}\) tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\).

\(a_n=3n-7\)