Jesteś tu: MaturaArkusze 2016Matura 2016 sierpień

Matura 2016 sierpień

Suma pięciu kolejnych liczb całkowitych jest równa \(195\). Najmniejszą z tych liczb jest
\( 37 \)
\( 38 \)
\( 39 \)
\( 40 \)
A
Buty, które kosztowały \(220\) złotych, przeceniono i sprzedano za \(176\) złotych. O ile procent obniżono cenę butów?
\( 80 \)
\( 20 \)
\( 22 \)
\( 44 \)
B
Liczba \(\frac{4^5\cdot 5^4}{20^4}\) jest równa
\( 4^4 \)
\( 20^{16} \)
\( 20^5 \)
\( 4 \)
D
Liczba \(\frac{\log_3729}{\log_636}\) jest równa
\( \log_6693 \)
\( 3 \)
\( \log_{\frac{1}{2}}\frac{81}{4} \)
\( 4 \)
B
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{x}{5}+\sqrt{7}\gt 0\) jest
\( -14 \)
\( -13 \)
\( 13 \)
\( 14 \)
B
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=(x-1)(x-9)\). Wynika stąd, że funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale
\( \langle 5,+\infty ) \)
\( (-\infty ,5\rangle \)
\( (-\infty ,-5\rangle \)
\( \langle -5,+\infty ) \)
A
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej \(f\), przy czym \(f(0)=-2\) i \(f(1)=0\). Wykres funkcji \(g\) jest symetryczny do wykresu funkcji \(f\) względem początku układu współrzędnych. Funkcja \(g\) jest określona wzorem
\( g(x)=2x+2 \)
\( g(x)=2x-2 \)
\( g(x)=-2x+2 \)
\( g(x)=-2x-2 \)
A
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(8\), a czwarty wyraz tego ciągu jest równy \((-216)\). Iloraz tego ciągu jest równy
\( -\frac{224}{3} \)
\( -3 \)
\( -9 \)
\( -27 \)
B
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{4}{5}\). Wtedy wartość wyrażenia \(\sin \alpha -\cos \alpha \) jest równa
\( \frac{1}{5} \)
\( \frac{3}{5} \)
\( \frac{17}{25} \)
\( \frac{1}{25} \)
A
Jeśli funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2+2x+3a\) nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba \(a\) spełnia warunek
\( a\lt -1 \)
\( -1\le a\lt 0 \)
\( 0\le a\lt \frac{1}{3} \)
\( a\gt \frac{1}{3} \)
D
Dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(n\) suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest określona wzorem \(S_n=2n^2+n\). Wtedy wyraz \(a_2\) jest równy
\( 3 \)
\( 6 \)
\( 7 \)
\( 10 \)
C
Układ równań \(\begin{cases} 2x-3y=5 \\ -4x+6y=-10 \end{cases} \)
nie ma rozwiązań.
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
ma dokładnie dwa rozwiązania.
ma nieskończenie wiele rozwiązań.
D
Liczba \(\frac{|3-9|}{-3}\) jest równa
\( 2 \)
\( -2 \)
\( 0 \)
\( -4 \)
B
Na której z podanych prostych leżą wszystkie punkty o współrzędnych \((m-1,2m+5)\), gdzie \(m\) jest dowolną liczbą rzeczywistą?
\( y=2x+5 \)
\( y=2x+6 \)
\( y=2x+7 \)
\( y=2x+8 \)
C
Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ \), a tworząca tego stożka ma długość \(6\). Promień podstawy stożka jest równy
\( 3 \)
\( 6 \)
\( 3\sqrt{3} \)
\( 6\sqrt{3} \)
C
Wartość wyrażenia \((\operatorname{tg} 60^\circ +\operatorname{tg} 45^\circ )^2-\sin 60^\circ \) jest równa
\( 2-\frac{3\sqrt{3}}{2} \)
\( 2+\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( 4-\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( 4+\frac{3\sqrt{3}}{2} \)
D
Dany jest walec, w którym promień podstawy jest równy \(r\), a wysokość walca jest od tego promienia dwa razy większa. Objętość tego walca jest równa
\( 2\pi r^3 \)
\( 4\pi r^3 \)
\( \pi r^2(r+2) \)
\( \pi r^2(r-2) \)
A
Przekątne równoległoboku mają długości \(4\) i \(8\), a kąt między tymi przekątnymi ma miarę \(30^\circ \). Pole tego równoległoboku jest równe
\( 32 \)
\( 16 \)
\( 12 \)
\( 8 \)
D
Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(S\). Cięciwa \(CD\) przecina średnicę \(AB\) tego okręgu w punkcie \(E\) tak, że \(|\sphericalangle BEC|=100^\circ \). Kąt środkowy \(ASC\) ma miarę \(110^\circ \) (zobacz rysunek). Kąt wpisany \(BAD\) ma miarę
\( 15^\circ \)
\( 20^\circ \)
\( 25^\circ \)
\( 30^\circ \)
C
Okręgi o środkach \(S_1=(3,4)\) oraz \(S_2=(9,-4)\) i równych promieniach są styczne zewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy
\( 8 \)
\( 6 \)
\( 5 \)
\( \frac{5}{2} \)
C
Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(2\), a przekątna ściany bocznej ma długość \(3\) (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę \(\alpha \). Wtedy wartość \(\sin \frac{\alpha }{2}\) jest równa
\( \frac{2}{3} \)
\( \frac{\sqrt{7}}{3} \)
\( \frac{\sqrt{7}}{7} \)
\( \frac{\sqrt{2}}{3} \)
D
Różnica liczby krawędzi i liczby wierzchołków ostrosłupa jest równa \(11\). Podstawą tego ostrosłupa jest
dziesięciokąt.
jedenastokąt.
dwunastokąt.
trzynastokąt.
C
Jeżeli do zestawu czterech danych: \(4, 7, 8, x\) dołączymy liczbę \(2\), to średnia arytmetyczna wzrośnie o \(2\). Zatem
\( x=-51 \)
\( x=-6 \)
\( x=10 \)
\( x=29 \)
A
Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez \(3\)?
\( 12 \)
\( 24 \)
\( 29 \)
\( 30 \)
D
Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wynikiem rzutu są dwa orły i sześć oczek na kostce, jest równe
\( \frac{1}{48} \)
\( \frac{1}{24} \)
\( \frac{1}{12} \)
\( \frac{1}{3} \)
B
Rozwiąż nierówność \(3x^2-6x\ge (x-2)(x-8)\)
\(x\in (-\infty ,-4\rangle \cup \langle 2,+\infty )\)
Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy \(32\), a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę \(2\). Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy \(6\), to otrzymamy liczbę \(\frac{8}{17}\). Wyznacz ten ułamek.
\(\frac{14}{23}\)
Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(a, b, c\) spełniają warunek \(abc=1\), to \[a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc\]
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=x^2-11x\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -6,6\rangle \).
\(-30\frac{1}{4}\)
W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne \(AC\) oraz \(BD\) przecinają się w punkcie \(S\). Wykaż, że jeżeli \(|AS|=\frac{5}{6}|AC|\), to pole trójkąta \(ABS\) jest \(25\) razy większe od pola trójkąta \(DCS\).
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony jest wzorem \(a_n=2016-3n\), dla \(n\ge 1\). Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.
\(676368\)
Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego \(ABC\): \(A=(-3,-3)\) oraz \(C=(2,7)\) oraz prosta o równaniu \(y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\), zawierająca przeciwprostokątną \(AB\) tego trójkąta. Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta i długość odcinka \(AB\).
\(B=\left(7, 4\frac{1}{2}\right)\) oraz \(|AB|=12{,}5\)
Trójkąt równoboczny \(ABC\) jest podstawą ostrosłupa prawidłowego \(ABCS\), w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ \), a krawędź boczna ma długość \(7\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
\(V=21\sqrt{7}\)
Ze zbioru siedmiu liczb naturalnych \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba \(5\).
\(\frac{4}{21}\)