Wzory - poziom podstawowy
Jeżeli \(a, b\) i \(c\) są liczbami dodatnimi oraz \(a \ne 1\), to: \[ \begin{split} &\log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c)\\[6pt] &\log_ab-\log_ac=\log_a\left(\frac{b}{c}\right)\\[6pt] &a^{\log_ab}=b\\[6pt] &n\cdot \log_ab=\log_a(b^n) \end{split} \] Wzory - poziom rozszerzony
Jeżeli \(a, b\) i \(c\) są liczbami dodatnimi oraz \(a \ne 1\) i \(c \ne 1\), to: \[ \begin{split} &n\cdot \log_ab=\log_{a^{\frac{1}{n}}}b\\[6pt] &\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca} \end{split} \] Poniżej kilka przykładowych zastosowań tych wzorów. Więcej przykładów znajdziesz w poprzednich rozdziałach.
Oblicz \(\log_26+\log_2\frac{2}{3}\).
Korzystamy ze wzoru na dodawanie logarytmów: \(\log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c)\): \[\log_26+\log_2\frac{2}{3}=\log_2\left(6\cdot\frac{2}{3}\right)=\log_24=2 \]
Oblicz \(\log_318-\log_32\).
Korzystamy ze wzoru na odejmowanie logarytmów: \(\log_ab-\log_ac=\log_a\left(\frac{b}{c}\right)\): \[\log_318-\log_32=\log_3\left(\frac{18}{2}\right)=\log_39=2\]
Wyciąganie wykładnika potęgi przed logarytm: \[\log_27^3=3\log_27=\log_{2^{\frac{1}{3}}}7=\log_\sqrt[3]{2}7\] W tym przykładzie wykorzystaliśmy wzory: \[\begin{split} &\log_a(b^n)=n\cdot \log_ab\\[6pt] &\log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}\log_ab \end{split}\]
Przedstaw wyrażenie \(\log \sqrt[3]{x}-\frac{1}{4}\log x\) w postaci logarytmu pewnej liczby.
Liczbę \(\log \sqrt[3]{x}\) można zapisać tak: \(\log x^{\frac{1}{3}}\), zatem:
\[\log x^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{4}\log x=\frac{1}{3}\log x-\frac{1}{4}\log x=\frac{1}{12}\log x=\log x^{\frac{1}{12}}\]
\[\begin{split}\log x^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{4}\log x&=\frac{1}{3}\log x-\frac{1}{4}\log x=\\[6pt] &=\frac{1}{12}\log x=\log x^{\frac{1}{12}}\end{split}\]