Granica funkcji w punkcie II
Pierwsza cześć materiałów o granicy funkcji w punkcie znajduje się na stronie: https://www.matemaks.pl/granica-funkcji-w-punkcie.html.
W szkole średniej poznaliśmy definicję Heinego granicy funkcji w punkcie.
Przypomnijmy ją:
Przypomnijmy ją:
Definicji Heinego
Jeśli dla dowolnego ciągu \((x_n)\) zbieżnego do \(x_0\) (zarówno z lewej jak i z prawej strony), wartości \((f(x_n))\) zbiegają do liczby \(g\), to \(g\) jest granicą funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\).Zapis matematyczny: \[\lim_{x \to x_0}f(x)=g\Leftrightarrow \underset{x_n\rightarrow x_0}{\forall }\lim_{x_n \to x_0}f(x_n)=g \]
Na studiach możemy spotkać się z definicją Cauchy'ego:
Definicja Cauchy'ego
Funkcja \(f(x)\) ma w punkcie \(x_0\) granicę \(g\), jeśli dla każdej liczby \(\epsilon \gt 0\) istnieje taka liczba \(\delta \gt 0\), że dla każdego \(x\) spełniającego: \(|x - x_0| \lt \delta\) zachodzi \(|f(x) - g| \lt \epsilon\).
Ilustracja graficzna definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie.
Inne sformułowanie definicji Cauchy'ego:Funkcja \(f(x)\) ma w punkcie \(x_0\) granicę \(g\), jeśli dla dowolnie małego pasa \(\epsilon\)-owego można znaleźć taki pas \(\delta\)-owy, że każdy punkt wykresu funkcji \(f(x)\) z pasa \(\delta\)-owego leży w pasie \(\epsilon\)-owym.
Zbadaj czy istnieje granica funkcji \(f(x)=e^{-\frac{1}{x}}\) w punkcie \(x_0=0\).
Zbadaj czy istnieje granica funkcji \(f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}-x\) w punkcie \(x_0=1\).
Oblicz granice jednostronne funkcji \(f(x)=\frac{x}{x-2}\) w punkcie nienależącym do dziedziny.
Zbadaj czy istnieje Granica funkcji:
\(f(x)=x\sin \frac{1}{x}\) w punkcie \(x_0=0\)
\(f(x)=x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\) w punkcie \(x_0=0\)
Oblicz granicę: \(\lim_{x \to 1} \frac{1-\sqrt[3]{x}}{1-\sqrt[5]{x}}\).
Oblicz granicę \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos px-\cos qx}{x^2}\), gdzie \(p,q\in \mathbb{R} \).