Jesteś tu: StudiaGranica funkcjiGranica funkcji w punkcie II

Granica funkcji w punkcie II

Strona jest w trakcie przygotowania. Więcej materiałów na: https://www.matemaks.pl/granica-funkcji-w-punkcie.html.
W szkole średniej poznaliśmy definicję Heinego granicy funkcji w punkcie.
Przypomnijmy ją:
Jeśli dla dowolnego ciągu \((x_n)\) zbieżnego do \(x_0\) (zarówno z lewej jak i z prawej strony), wartości \((f(x_n))\) zbiegają do liczby \(g\), to \(g\) jest granicą funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\).
Zapis matematyczny: \[\lim_{x \to x_0}f(x)=g\Leftrightarrow \underset{x_n\rightarrow x_0}{\forall }\lim_{x_n \to x_0}f(x_n)=g \]
Na studiach możemy spotkać się z definicją Cauchy'ego:
Definicja Cauchy'ego Funkcja \(f(x)\) ma w punkcie \(x_0\) granicę \(g\), jeśli dla każdej liczby \(\epsilon \gt 0\) istnieje taka liczba \(\delta \gt 0\), że dla każdego \(x\) spełniającego: \(|x - x_0| \lt \delta\) zachodzi \(|f(x) - g| \lt \epsilon\).
Ilustracja graficzna definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie.
Inne sformułowanie definicji Cauchy'ego:
Funkcja \(f(x)\) ma w punkcie \(x_0\) granicę \(g\), jeśli dla dowolnie małego pasa \(\epsilon\)-owego można znaleźć taki pas \(\delta\)-owy, że każdy punkt wykresu funkcji \(f(x)\) z pasa \(\delta\)-owego leży w pasie \(\epsilon\)-owym.