Jesteś tutaj: SzkołaLiczby i działaniaCechy podzielności liczb
◀ Ułamki

Cechy podzielności liczb

Liczba \(a\) jest podzielna przez liczbę \(b\), jeżeli dzieląc liczbę \(a\) przez liczbę \(b\) otrzymamy wynik całkowity (bez reszty). Mówimy wtedy, że liczba \(b\) jest dzielnikiem liczby \(a\).

Cecha podzielności przez \(2\)

Liczba jest podzielna przez \(2\), jeżeli jej ostatnią cyfrą jest: \(0,2,4,6,8\).
Liczby parzyste, to liczby podzielne przez \(2\)
Przykłady liczb podzielnych przez \(2\): \(2, 8, 24, 50, 3264276\)

Cecha podzielności przez \(3\)

Liczba jest podzielna przez \(3\), jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez \(3\).
Liczba \(452172\) jest podzielna przez \(3\), ponieważ suma jej cyfr jest podzielna przez \(3\): \[4+5+2+1+7+2=21\] Liczba \(21\) jest podzielna przez \(3\).
Liczba \(331\) nie jest podzielna przez \(3\), ponieważ suma jej cyfr nie jest podzielna przez \(3\): \[3+3+1=10\] Liczba \(10\) nie jest podzielna przez \(3\).

Cecha podzielności przez \(4\)

Liczba jest podzielna przez \(4\), jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez \(4\).
Liczba \(33172\) jest podzielna przez \(4\), ponieważ liczba \(72\) jest podzielna przez \(4\): \[72:4=18\] Liczba \(422\) nie jest podzielna przez \(4\), ponieważ liczba \(22\) nie jest podzielna przez \(4\): \[22:4=5\ r. 2\]

Cecha podzielności przez \(5\)

Liczba jest podzielna przez \(5\), jeśli jej ostatnią cyfrą jest \(0\) lub \(5\).
Liczba \(4235\) jest podzielna przez \(5\), ponieważ jej ostatnia cyfra to \(5\).
Liczba \(670\) jest podzielna przez \(5\), ponieważ jej ostatnia cyfra to \(0\).
Liczba \(866\) nie jest podzielna przez \(5\), ponieważ jej ostatnia cyfra (\(6\)) nie jest równa \(0\) ani \(5\).

Cecha podzielności przez \(6\)

Liczba jest podzielna przez \(6\), jeśli jest podzielna przez \(2\) i przez \(3\).
Zatem liczba podzielna przez \(6\) musi być parzysta i mieć sumę cyfr podzielną przez \(3\).
Liczba \(318\) jest podzielna przez \(6\), ponieważ jest parzysta (podzielna przez \(2\)) i suma jej cyfr: \(3+1+8=12\) jest podzielna przez \(3\).
Liczba \(10002\) jest podzielna przez \(6\), ponieważ jest parzysta i suma jej cyfr: \(1+0+0+0+2=3\) jest podzielna przez \(3\).
Liczba \(447\) nie jest podzielna przez \(6\), ponieważ nie jest parzysta.
Liczba \(60002\) nie jest podzielna przez \(6\), ponieważ suma jej cyfr: \(6+0+0+0+2=8\) nie jest podzielna przez \(3\).

Cecha podzielności przez \(7\)

Liczba jest podzielna przez \(7\), jeśli różnica między liczbą składającą się z trzech ostatnich cyfr liczby, a liczbą wyrażoną pozostałymi cyframi tej liczby (lub odwrotnie) dzieli się przez \(7\).
W praktyce podzielność liczby przez \(7\) najłatwiej sprawdzać wykorzystując rozdzielność dzielenia względem dodawania. Metoda ta polega na zapisaniu badanej liczby w postaci sumy dwóch lub więcej liczb, których podzielność przez \(7\) łatwo ustalić.
liczba \(721\) jest podzielna przez \(7\) ponieważ \(7\) dzieli liczbę \(700\) oraz \(21\). Z takiego rozumowania dodatkowo łatwo możemy znaleźć wynik dzielenia: \[721:7=700:7+21:7=100+3=103\]
Liczba \(42315\) jest podzielna przez \(7\) ponieważ \(7\) dzieli liczbę \(42000\) oraz \(315\). Liczba \(42000\) jest podzielna przez \(7\), ponieważ liczba \(42\) jest podzielna przez \(7\). Liczba \(315\) jest podzielna przez \(7\), ponieważ \(315=280+35\), a liczby \(280\) oraz \(35\) oczywiście dzielą się przez 7.

Cecha podzielności przez \(8\)

Liczba jest podzielna przez \(8\), jeśli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez \(8\).
Liczba \(371864\) jest podzielna przez \(8\), ponieważ liczba \(864\) jest podzielna przez \(8\).
podzielność liczby \(864\) przez \(8\) łatwo ustalić zapisując liczbę \(864\) w postaci sumy: \[864=800+64\] Oczywiście obie liczby \(800\) oraz \(64\) są podzielne przez \(8\), zatem cała liczba \(864\) także jest podzielna przez \(8\).

Cecha podzielności przez \(9\)

Liczba jest podzielna przez \(9\), jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez \(9\).
Liczba \(5571\) jest podzielna przez \(9\), ponieważ suma cyfr tej liczby: \(5+5+7+1=18\) jest podzielna przez \(9\).

Cecha podzielności przez \(11\)

Liczba jest podzielna przez \(11\), jeśli różnica sumy cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych jest podzielna przez \(11\).
Liczba \(10835\) jest podzielna przez \(11\), ponieważ różnica: \((1+8+5)-(0+3)=14-3=11\) jest podzielna przez \(11\).