Jesteś tu: Działy tematyczneCiąg arytmetycznyZbiór zadań z ciągu arytmetycznego

Zbiór zadań z ciągu arytmetycznego

Czy podany ciąg jest arytmetyczny?
a) \(3,6,9,12,15\)
b) \(-2,2,6,10\)
c) \(-5,-3,3,5\)
d) \(17,17,17,17\)

a) tak
b) tak
c) nie
d) tak
Czy ciąg o podanym wyrazie ogólnym jest arytmetyczny? Jeśli tak, to oblicz \(a_1\) i różnicę tego ciągu
\( a_n=-5+n \)
\( a_n=7n+3 \)
\( a_n=2-(1-3n) \)
\( a_n=n^2-1 \)
\( a_n=\frac{3n-1}{2} \)
\( a_n=\frac{1}{2n} \)
tak, \(a_1=-4\), \(r=1\)
tak, \(a_1=10\), \(r=7\)
tak, \(a_1=4\), \(r=3\)
nie
tak, \(a_1=1\), \(r=\frac{3}{2}\)
nie
Podane liczby, to dwa początkowe wyrazy pewnego ciągu arytmetycznego, znajdź różnicę oraz dwa następne wyrazy tego ciągu.
\(14,18\)
\(1,21\)
\(0{,}3,0{,}2\)

a) \(r=4\)
b) \(r=20\)
c) \(r=-0{,}1\)
Zapisz wzór ogólny i oblicz dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\) znając różnicę i pierwszy wyraz tego ciągu.
\(a_1=8, \ r=2\)
\(a_1=3, \ r=-1\)
\(a_1=60, \ r=-\frac{1}{2}\)
\(a_1=-5, \ r=-11\)
\(a_1=\frac{2}{3}, \ r=\frac{1}{6}\)
\(a_1=-2, \ r=\sqrt{2}\)
Znajdź wzór ogólny ciągu arytmetycznego \((a_n)\), którego początkowymi wyrazami są podane liczby. Oblicz dziesiąty wyraz tego ciągu.
\(8,10,12,14\)
\(7,-3,-13,-23\)
\(11,22,33,44\)
\(0,\sqrt{2},2\sqrt{2},3\sqrt{2}\)
\(-2,-2\frac{1}{2},-3,-3\frac{1}{2}\)
\(1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2}\)
Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego \((a_n)\) o którym wiesz, że:
\(a_1=1\) oraz \(a_3=5\)
\(a_1=1\) oraz \(a_8=36\)
\(a_5=-6\) oraz \(a_7=-4\)
\(a_{11}=12\) oraz \(a_{20}=-6\)
Którym wyrazem podanego ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest liczba \(x\)?
\(a_n = 3n-1,\quad x=26\)
\(a_n = 17-6n,\quad x=-1\)
\(a_n = 3(n-1)+n,\quad x=41\)
Którym wyrazem podanego ciągu arytmetycznego jest liczba \(x\)?
\(5,8,11,... \quad x=38\)
\(12,8,4,... \quad x=-40\)
\(7\frac{1}{2},8,8\frac{1}{2},... \quad x=16\)
\(\sqrt{3},3\sqrt{3},5\sqrt{3},... \quad x=33\sqrt{3}\)
Oblicz sumę
\(12\) początkowych wyrazów ciągu \(a_n=4n+1\).
\(20\) początkowych wyrazów ciągu \(a_n=3(n-1)+2\).
\(15\) początkowych wyrazów ciągu \(a_n=1+\frac{n}{2}\).
\(10\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie równym \(-3\) i różnicy \(5\).
Wyznacz liczbę \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego, wiedząc, że:
a)
\(a_1=5,\ \ a_n=61,\ \ r=7;\)
b)
\(a_1=-27,\ \ a_n=15,\ \ r=3{,}5;\)
c)
\(a_1=2{,}3,\ \ a_n=48{,}8,\ \ r=3{,}1;\)
d)
\(a_1=2\frac{2}{3},\ \ a_n=33\frac{1}{3},\ \ r=1\frac{1}{3};\)
e)
\(a_1=6{,}3,\ \ a_n=-15{,}4,\ \ r=-0{,}7;\)
f)
\(a_1=-14{,}1,\ \ a_n=-21{,}54,\ \ r=-0{,}08;\)
Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu, którego suma \(n\) początkowych wyrazów wyraża się wzorem:
a)
\(S_n=3n^2-n;\)
b)
\(S_n=3n^2-4n;\)
c)
\(S_n=5n-n^2;\)
d)
\(S_n=\frac{1}{2}n-\frac{1}{4}n^2;\)
Wykaż, że każdy z tych ciągów jest ciągiem arytmetycznym.
Wyznacz liczbę \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego, mając dane:
a)
\(S_n=407,\ \ a_1=62,\ \ a_n=12;\)
b)
\(S_n=1016{,}5,\ \ a_1=22,\ \ a_n=85;\)
c)
\(S_n=420,\ \ a_1=7,\ \ r=3;\)
d)
\(S_n=204,\ \ r=6,\ \ a_n=49;\)
e)
\(S_n=578,\ \ a_1=58,\ \ r=-3;\)
f)
\(S_n=456,\ \ r=-12,\ \ a_n=15;\)
Wyznacz różnicę \(r\) wyrazów ciągu arytmetycznego, mając dane:
a)
\(S_n=518,\ \ a_1=50,\ \ n=14;\)
b)
\(S_n=728,\ \ n=16,\ \ a_n=63;\)
c)
\(S_n=1675,\ \ n=25,\ \ a_n=1;\)
d)
\(S_n=2241,\ \ n=27,\ \ a_n=148;\)
Znajdź sumę trzydziestu kolejnych liczb będących wielokrotnościami \(9\) (zaczynając od \(9\)).
\(4185\)
Znajdź sumę pięćdziesięciu kolejnych liczb będących wielokrotnościami \(12\) (zaczynając od \(24\)).
\(15900\)
Znajdź sumę:
a)
wszystkich liczb całkowitych od \(0\) do \(150\) włącznie
b)
wszystkich liczb parzystych od \(0\) do \(150\) włącznie
c)
wszystkich liczb nieparzystych od \(0\) do \(150\)
Suma stu kolejnych liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez \(7\) dają resztę \(2\), wynosi \(43950\). Wyznacz najmniejszą i największą z tych liczb.
Między liczby \(4\) i \(22\) wstaw pięć liczb tak, aby wraz z danymi liczbami tworzyły ciąg arytmetyczny.
Między liczby \(65\) i \(35\) wstaw dziewięć liczb tak, aby wraz z danymi liczbami tworzyły ciąg arytmetyczny.
Ile liczb trzeba wstawić między liczby \(16\) i \(250\), aby otrzymać ciąg arytmetyczny, którego suma wynosi \(1995\)?
Suma czwartego i siódmego wyrazu ciągu arytmetycznego wynosi \(86\), a suma drugiego i trzynastego wyrazu tego ciągu jest równa \(22\). Znajdź pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego równa się \(27\), suma dwóch ostatnich wyrazów wynosi \(105\), a siódmy wyraz jest równy \(30\). Znajdź pierwszy wyraz i liczbę wyrazów tego ciągu.
Drugi, szósty i ostatni wyraz ciągu arytmetycznego wynoszą odpowiednio \(2, 22, 222\). Znajdź pierwszy wyraz i liczbę wyrazów tego ciągu.
Dane są dwa ciągi arytmetyczne: \(1, 4, 7,…\) oraz \(20, 21, 22,…\) Zsumowano \(n\) początkowych wyrazów pierwszego ciągu i \(n\) początkowych wyrazów drugiego ciągu. Okazało się, że otrzymano równe sumy. Wyznacz \(n\).
Liczbę \(210\) podziel na siedem składników tak, aby tworzyły one malejący ciąg arytmetyczny i największy z nich był trzy razy większy od najmniejszego składnika.
W ciągu arytmetycznym piąty wyraz równa się \(25\), a iloraz otrzymany po podzieleniu wyrazu dwunastego przez trzeci jest o \(2\) większy od ilorazu otrzymanego po podzieleniu wyrazu szesnastego przez ósmy. Znajdź pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Pewien pan spłacił dług w wysokości \(5100\) zł w dwunastu ratach, z których każda była mniejsza od poprzedniej o \(50\) zł. Ile wynosiła pierwsza, a ile ostatnia rata?
Miary kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego tworzą ciąg arytmetyczny, którego różnica wynosi \(5^\circ\!\). Najmniejszy kąt ma miarę \(120^\circ\!\). Wyznacz liczbę boków wielokąta.
\(9\)
Szósty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy zeru. Oblicz \(S_{11}\).
\(S_{11}=0\)
Udowodnij, że jeżeli trzy kolejne kąty czworokąta wpisanego w koło tworzą ciąg arytmetyczny, to co najmniej dwa kąty tego czworokąta są proste.
Udowodnij, że jeżeli długości trzech kolejnych boków czworokąta opisanego na okręgu tworzą ciąg arytmetyczny, to przynajmniej dwa boki tego czworokąta mają taką samą długość.