Rozwiązania zadań treningowych do matury
Centralnej Komisji Egzaminacyjnej

W tym dziale znajdują się rozwiązania zadań treningowych do matury, przygotowanych przez CKE.
Treści zadań można znaleźć tutaj, lub w informatorze maturalnym na stronie 75.
Zachęcam maturzystów do zapoznania się z tymi typami zadań, bo jest spora szansa, że podobne mogą pojawić się na prawdziwej maturze.

Zadanie 1. (1 pkt)

Liczba 330 ⋅ 990 jest równa:

Zadanie 2. (1 pkt)

Liczba jest równa:

Zadanie 3. (1 pkt)

Liczba log24 jest równa:

Zadanie 4. (1 pkt)

Liczba 30 to p% liczby 80, zatem:

Zadanie 5. (1 pkt)

4% liczby x jest równe 6, zatem:

Zadanie 6. (1 pkt)

Liczba y to 120% liczby x. Wynika stąd, że:

Zadanie 7. (1 pkt)

Rozwiązaniem równania jest liczba:

Zadanie 8. (1 pkt)

Mniejszą z dwóch liczb spełniających równanie x2 + 5x + 6 = 0 jest

Zadanie 9. (1 pkt)

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = (2 - m)x + 1. Wynika stąd, że

Zadanie 10. (1 pkt)

Funkcja f określona wzorem . Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?

Zadanie 11. (1 pkt)

Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x).

Wskaż rysunek na którym jest przedstawiony wykres funkcji y = f(x + 1).

Zadanie 12. (1 pkt)

Który z zaznaczonych przedziałów jest zbiorem rozwiązań nierówności |2 - x| ≤ 3.

Zadanie 13. (1 pkt)

Wskaż równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem y = -x2 + 4x - 11.

Zadanie 14. (1 pkt)

Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział (-∞, 3⟩.

Zadanie 15. (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności x2 ≥ 5 jest

Zadanie 16. (1 pkt)

Wykres funkcji kwadratowej f(x) = 3(x + 1)2 - 4 nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu

Zadanie 17. (1 pkt)

Prosta o równaniu y = a ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej f(x) = -x2 + 6x - 10. Wynika stąd, że

Zadanie 18. (1 pkt)

Jak jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f(x) = x2 + 4x - 3 w przedziale ⟨0, 3⟩?

Zadanie 19. (1 pkt)

Dane są wielomiany W(x) = 3x3 - 2x, V(x) = 2x2 + 3x. Stopień wielomianu W(x)⋅V(x) jest równy

Zadanie 20. (1 pkt)

Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie 5x4 - 13 = 0?

Zadanie 21. (1 pkt)

Wskaż liczbe rozwiązań równania

Zadanie 22. (1 pkt)

Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y = 2x - 7.

Zadanie 23. (1 pkt)

Które z poniższych równań opisuje prostą prostopadłą do prostej o równaniu y = 4x + 5

Zadanie 24. (1 pkt)

Punkty A = (-1, 3) i C = (7, 9) są wierzchołkami prostokąta ABCD. Promień okręgu opisanego na tym prostokącie jest równy

Zadanie 25. (1 pkt)

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x + 3)2 + (y - 1)2 = 4 z osiami układu współrzędnych jest równa

Zadanie 26. (1 pkt)

Środek S okręgu o równaniu x2 + y2 + 4x - 6y - 221 = 0 ma współrzędne

Zadanie 27. (1 pkt)

Dane są długości boków |BC| = 5 i |AC| = 3 trójkąta prostokątnego ABC o kącie ostrym β.Wtedy

Zadanie 28. (1 pkt)

Kąt α jest ostry i sinα = 1/4. Wówczas

Zadanie 29. (1 pkt)

Kąt α jest kątem ostrym i tgα = 1/2. Jaki warunek spełnia kąt α?

Zadanie 30. (1 pkt)

Kąt między cięciwą AB a styczną do okręgu w punkcie A ma miarę α = 62°. Wówczas:

Zadanie 31. (1 pkt)

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa 180°. Jak jest miara kąta środkowego?

Zadanie 32. (1 pkt)

Różnica miar kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem, jest równa 40°. Miara kąta przy krótszej podstawie jest równa.

Zadanie 33. (1 pkt)

Odcinki BC i DE są równoległe. Długości odcinków AC, CE i BC są podane na rysunku. Długość odcinka DE jest równa

Zadanie 34. (1 pkt)

Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 4 cm jest równe

Zadanie 35. (1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem an = (-3)n ⋅ (9 - n2) dla n ≥ 1. Wynika stąd, że

Zadanie 36. (1 pkt)

Liczby x-1, 4 i 8 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa

Zadanie 37. (1 pkt)

Liczby -8, 4 i x+1 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba x jest równa.

Zadanie 38. (1 pkt)

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez 6 lub przez 10, jest

Zadanie 39. (1 pkt)

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od 5 jest

Zadanie 40. (1 pkt)

Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest równa

Zadanie 41. (1 pkt)

Mediana danych: 0, 1, 1, 2, 3, 1 jest równa

Zadanie 42. (1 pkt)

Mediana danych przedstawionych w tabeli liczebności jest równa

Zadanie 43. (1 pkt)

Średnia arytmetyczna danych przedstawionych na diagramie częstości jest równa

Zadanie 44. (1 pkt)

Ze zboru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba p oznacz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 3. Wtedy

Zadanie 45. (1 pkt)

O zdarzeniach losowych A i B zawartych w Ω wiadomo, że BA, P(A) = 0,7 i P(B) = 0,3. Wtedy

Zadanie 46. (1 pkt)

Przekątna sześcianu ma długość 3. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

Zadanie 47. (1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 24 cm2. Objętość tego sześcianu jest równa

Zadanie 48. (1 pkt)

Przekątna prostopadłościanu o wymiarach 2 x 3 x 5 ma długość

Zadanie 49. (1 pkt)

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości 6. Objętość tego walca jest równa

Zadanie 50. (1 pkt)

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości 6. Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe:

Zadanie 51. (2 pkt)

Rozwiąż równanie

Zadanie 52. (2 pkt)

Rozwiąż układ równań

Zadanie 53. (2 pkt)

Rozwiąż nierówność x2 + 6x - 7 ≤ 0.

Zadanie 54. (2 pkt)

Rozwiąż równanie 2x3 - x2 - 6x + 3 = 0.

Zadanie 55. (2 pkt)

O funkcji liniowej f wiadomo, że f(1) = 2 oraz, że do wykresu tej funkcji należy punkt P = (-2,3). Wyznacz wzór funkcji f.

Zadanie 56. (2 pkt)

Oblicz miejsca zerowe funkcji

Zadanie 57. (2 pkt)

Naszkicuj wykres funkcji

Zadanie 58. (2 pkt)

Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f(x) = x2 - 6x + 1 w przedziale ⟨0, 1⟩.

Zadanie 59. (2 pkt)

Wielomiany W(x) = ax(x + b)2 i V(x) = x3 + 2x2 + x są równe. Oblicz a i b.

Zadanie 60. (2 pkt)

Wyrażenie zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów.

Zadanie 61. (2 pkt)

Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 2x - y - 11 = 0 i przechodzącej przez punkt P = (1,2).

Zadanie 62. (2 pkt)

Wyznacz równanie okręgu stycznego do osi Oy, którego środkiem jest punkt S = (3, -5).

Zadanie 63. (2 pkt)

Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie S = (3, -5) przechodzącego przez początek układu współrzędnych.

Zadanie 64. (2 pkt)

Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC, którego wierzchołkami są punkty A = (-2, -1), B = (6, 1), C = (7, 10).

Zadanie 65. (2 pkt)

W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarę α. Oblicz sinα⋅cosα.

Zadanie 66. (2 pkt)

Kąt α jest ostry i sinα = 1/4. Oblicz 3 + 2tg2α.

Zadanie 67. (2 pkt)

Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że |AB| = |AD| = |CD|. Oblicz miary kątów trójkąta ABC.

Zadanie 68. (2 pkt)

Oblicz pole trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AB| = 24 i |AC| = |BC| = 13.

Zadanie 69. (2 pkt)

Liczby 4, 10, c są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c.

Zadanie 70. (2 pkt)

Liczby 6, 10, c są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c.

Zadanie 71. (2 pkt)

Liczby 6, 10, c są długościami boków trójkąta prostokątnego. Oblicz c.

Zadanie 72. (2 pkt)

Liczby x - 1, x, 5 są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz x.

Zadanie 73. (2 pkt)

Obwód czworokąta wypukłego ABCD jest równy 50 cm. Obwód trójkąta ABD jest równy 46 cm, a obwód trójkąta BCD jest równy 36 cm. Oblicz długość przekątnej BD.

Zadanie 74. (2 pkt)

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (an) określony wzorem an = n2 - 2n - 24 dla n ≥ 1?

Zadanie 75. (2 pkt)

Liczby 2, x-3, 8 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x.

Zadanie 76. (2 pkt)

Wyrazami ciągu arytmetycznego an są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2. Ponadto a3 = 12. Oblicz a15.

Zadanie 77. (2 pkt)

Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste.

Zadanie 78. (2 pkt)

Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 15 lub 20?

Zadanie 79. (2 pkt)

Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o 2 większa od cyfry jedności?

Zadanie 80. (2 pkt)

Na jednej prostej zaznaczono 3 punkty, a na drugiej 4 punkty. Ile jest wszystkich trójkątów, których wierzchołkami są trzy spośród zaznaczonych punktów?

Zadanie 81. (2 pkt)

Średnia arytmetyczna liczb: 3, 1, 1, 0, x, 0 jest równa 2. Oblicz x.

Zadanie 82. (2 pkt)

Oblicz średnią arytmetyczną danych przedstawionych na poniższym diagramie częstości.

Zadanie 83. (2 pkt)

Oblicz medianę danych: 0, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1.

Zadanie 84. (2 pkt)

Oblicz medianę danych przedstawionych w postaci tabeli liczebności

Zadanie 85. (2 pkt)

Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 3 lub przez 2.

Zadanie 86. (2 pkt)

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 15.

Zadanie 87. (2 pkt)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego 5.

Zadanie 88. (2 pkt)

A i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω, że AB oraz P(A) = 0,3 i P(B) = 0,4. Oblicz P(AB).

Zadanie 89. (2 pkt)

A i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω, że AB oraz P(A) = 0,3 i P(B) = 0,7. Oblicz prawdopodobieństwo różnicy B\A.

Zadanie 90. (2 pkt)

Przekątna sześcianu ma długość 9. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.

Zadanie 91. (2 pkt)

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości 12. Wysokość stożka jest równa 8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

Zadanie 92. (2 pkt)

Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu, a jego płaszczyzną podstawy.

Zadanie 93. (2 pkt)

Czworokąty ABCD i APQR są kwadratami. Udowodnij, że |BP| = |DR|.

Zadanie 94. (2 pkt)

Na boku BC trójkąta ABC wybrano punkt D tak, by |∠CAD| = |∠ABC|. Odcinek AE jest dwusieczną kąta DAB. Udowodnij, że |AC| = |CE|.

Zadanie 95. (5 pkt)

Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr wybranych ze zbioru {0, 1, 2, 3}.

Zadanie 96. (5 pkt)

Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.

Zadanie 97. (5 pkt)

Z miejscowości A i B oddalonych od siebie o 182 km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości B do miejscowości A jedzie ze średnią prędkością mniejszą od 25 km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości A do miejscowości B wyjeżdża o 1 godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o 7 km/h większą od średniej prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z miejscowości A przebył do tego miejsca całej drogi z A do B. Z jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści?

Zadanie 98. (5 pkt)

Uczeń przeczytał książkę liczącą 480 stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron więcej, to przeczytałby tę książkę o 3 dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę.

Zadanie 99. (6 pkt)

Liczby a, b, c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 93. Te same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz a, b i c.

Zadanie 100. (5 pkt)

Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.

Zadanie 101. (5 pkt)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Pole trójkąta równoramiennego ACS jest równe 120 oraz |AC| : |AS| = 10 : 13. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Zadanie 102. (5 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDE jest kwadrat ABCD. Punkt F jest środkiem krawędzi AD, odcinek EF jest wysokością ostrosłupa (patrz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że |AE|=15, |BE|=17.

Zadanie 103. (6 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |BC| = 30, |AC| = 40, |AB| = 50. Punkt W jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boku AB w punkcie M. Oblicz długość odcinka CM.

Zadanie 104. (5 pkt)

Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym |ACB| = 90° oraz |AC| = 5, |BC| = 12 zbudowano kwadrat ACDE (patrz rysunek). Punkt H leży na prostej AB i kąt |EHA| = 90°. Oblicz pole trójkąta HAE.

Zadanie 105. (5 pkt)

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność √250 + 1 + √250 - 1 < 226.

Zadanie 106. (5 pkt)

Udowodnij, że jeśli
   a) x, y są liczbami rzeczywistymi, to x2 + y2 ≥ 2xy.
   b) x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że x + y + z = 1, to x2 + y2 + z2 ≥ 1/3.

Zadanie 107. (5 pkt)

Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że |AD| = |CD| oraz |AB| = |BD| (patrz rysunek). Udowodnij, że |ADC| = 5⋅|ACD|.

Zadanie 108. (5 pkt)

Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku O i średnicach odpowiednio AB i CD (punkty A, B, C, D i O są współliniowe). Punkt P leży na wewnętrznym półokręgu, punkt R leży na zewnętrznym półokręgu, punkty O, P i R są współliniowe. Udowodnij, że |APB| + |CRD| = 180°.