1.1. Podstawowe wiadomości o wyrażeniach wymiernych

Naukę o wyrażeniach wymiernych warto rozpocząć od dobrego zrozumienia wielomianów.
Wyrażenia wymierne to ułamki, które mają w liczniku i w mianownikuwielomiany.
Ponadto w mianowniku takiego ułamka (będącego wyrażeniem wymiernym) musi stać wielomian stopnia co najmniej równego 1. W praktyce oznacza to, że w mianowniku musi znajdować się wyrażenie z x-em.
Przykłady wyrażeń wymiernych:
  • Wyrażenie wymierne, które w mianowniku ma wielomian stopnia 1: 5/x
  • Wyrażenie wymierne, które w liczniku i w mianowniku ma wielomian stopnia 1: (2x+3)/(x-1)
  • Wyrażenie wymierne, które w liczniku ma wielomian stopnia 2, a w mianowniku wielomian stopnia 1: (x^2+2x-1)/x Inny przykład tego typu: (x-1)(x+2)/(x+1)
  • Wyrażenie wymierne, które ma w liczniku i w mianowniku wielomian stopnia 2: (x^2+2x-1)/(x-3)(x+3)
  • Wyrażenie wymierne, które w liczniku ma wielomian stopnia 3, a w mianowniku wielomian stopnia 2: (x^3+2x^2+34)/(6x^2+6)

1.2. Dziedzina wyrażenia wymiernego

Dla dowolnego wyrażenia wymiernego należy zrobić założenie, że mianownik jest różny od zera.
W ten sposób dajemy sobie gwarancję, że nie wykonamy dzielenia przez 0 (które jest w matematyce działaniem niedozwolonym).
Robienie takich założeń to inaczej określanie dziedziny wyrażenia wymiernego.
Można zatem powiedzieć, że dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, z wyłączeniem tych liczb, które zerują mianownik.
Przykłady:
  • Wiele przykładów wyznaczania dziedziny można znaleźć w dziale dziedzina funkcji.
  • Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego: (4x+1)/(6x-18)
    Rozwiązanie:
    Zakładamy, że mianownik jest różny od zera: Zatem z dziedziny musimy wykluczyć liczbę 3.
    Czyli dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem 3.
    Zapisujemy to tak: D = R\{3}.
    Można również zapisać po prostu: x ≠ 3.
  • Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego: (-5x^2+2x)/(-2x-3)
    Rozwiązanie:
    Zakładamy, że mianownik jest różny od zera: Zatem z dziedziny musimy wykluczyć liczbę -1,5.
    Czyli dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem -1,5.
    Zapisujemy to tak: D = R\{-1,5}.
    Można również zapisać po prostu: x ≠ -1,5.
  • Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego: 1/(x-5)(x+7)
    Rozwiązanie:
    Sprawdzamy kiedy mianownik zeruje się: Iloczyn dwóch nawiasów jest równy zero, jeżeli przynajmniej jeden z tych nawiasów jest równy zero. Zatem powyższe równanie jest spełnione jeżeli: Czyli x = 5 zeruje mianownik oraz x = -7 zeruje mianownik.
    Zatem z dziedziny musimy wykluczyć dwie liczby – liczbę 5 oraz liczbę -7.
    Zapisujemy to tak: D = R\{-7, 5}.
    Można również dziedzinę zapisać tak: x ≠ -7 i x ≠ 5.

Zadanie 1.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór

Zadanie 2.

Zbiór R \ {-3, 0, 2} jest dziedziną wyrażenia

Zadanie 3.

Które liczby ze zbioru {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} nie należą do dziedziny poniższego wyrażenia wymiernego:(x^2+x-5)/(x^3-9x)

Zadanie 4.

Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego .
Kilka innych przykładów wyznaczania dziedziny wyrażenia wymiernego możesz znaleźć w poniższym pliku pdf:

1.3. Skracanie wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymierne skracamy podobnie jak zwykłe ułamki.
Musimy mieć w liczniku i w mianowniku iloczyny liczb i literek. Wówczas, gdy na górze i na dole mamy taki sam czynnik, to możemy go skreślić.
Ważne! Jeżeli skracamy wyrażenia wymierne, to koniecznie musimy założyć, że wyrażenie przez które dzielimy licznik i mianownik jest różne od zera. Aby nie musieć o tym myśleć podczas rozwiązywania zadania, warto już na początku określić dziedzinę wyrażenia wymiernego.
Przykłady:

  • W tym przykładzie podzieliliśmy licznik i mianownik ułamka przez 3.

  • W tym przykładzie podzieliliśmy licznik i mianownik ułamka najpierw przez 3, a potem przez x. Założenie jakie powinniśmy poczynić, to: x ≠ 0.

  • W tym przykładzie podzieliliśmy licznik i mianownik ułamka najpierw przez 2, a potem przez wyrażenie (x - 6). Założenie jakie powinniśmy poczynić, to: x ≠ 6.
    Pełna dziedzina tego wyrażenia wymiernego, to oczywiście: x ≠ 6 oraz x ≠ -4.

Zadanie 1.

Zadanie - Skróć wyrażenie wymierne .
Rozwiązanie PDF

Zadanie 2.

Skróć wyrażenie wymierne .
Rozwiązanie PDF

Zadanie 3.

Skróć wyrażenie wymierne .
Rozwiązanie PDF

Zadanie 4.

Skróć wyrażenie wymierne .
Rozwiązanie PDF

Zadanie 5.

Wyrażenie , gdzie x ≠ 0 i x ≠ 1, po uproszczeniu może mieć postać:

Zadanie 6.

Po skróceniu ułamek (2x^2+-4x)/(x-2) dla x ≠ 2 jest równy

Zadanie 7.

Uprość wyrażenie wymierne: (x^2+x-2)/(x^2-1)

1.4. Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymierne dodajemy i odejmujemy jak zwykłe ułamki. Najpierw sprowadzamy do wspólnego mianownika, a potem dodajemy/odejmujemy liczniki.

Zadanie 1.

Doprowadź wyrażenie wymierne do najprostszej postaci:

Rozwiązanie PDF

Zadanie 2.

Doprowadź wyrażenie wymierne do najprostszej postaci:

Rozwiązanie PDF

Zadanie 3.

Wyrażenie jest równe

Zadanie 4.

Dla każdego x ≠ 2 wyrażenie jest równe

Zadanie 5.

Dla x ≠ -2 i x ≠ 2 wyrażenie jest równe

Zadanie 6.

Po wykonaniu działania (x-2)/x + x/(x+2) wyrażenie ma postać

2. Równania wymierne

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie .

Zadanie 4.

Wskaż liczbe rozwiązań równania

Zadanie 5.

Liczba rozwiązań równania jest równa

Zadanie 6.

Liczba rozwiązań równania jest równa

Zadanie 7.

Liczba rozwiązań równania jest równa

Zadanie 8.

Liczba różnych rozwiązań równania wynosi:

Zadanie 9.

Wspólnym pierwiastkiem równań i jest liczba
A. 10
B. 5
C. 1
D. −1

3. Różne zadania z wyrażeń wymiernych

Zadanie 1.

Wyrażenie (x-1)/(x-2)*(x^2-4)/(x^2-1) dla x = 4 ma wartość

Zadanie 2.

Wspólny mianownik dla wyrażeń z/(ax-bx) i b/(ay-by) to

4.1. Proporcjonalność odwrotna - wprowadzenie

Jeżeli jedna wielkość maleje, a druga tyle samo razy rośnie, to mamy wówczas zależność odwrotnie proporcjonalną.
Przykład 1.
Prędkość i czas podróży są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi (jeśli jedna wielkość rośnie, to druga maleje tyle samo razy maleje). Przykładowo:
  • Jeżeli prędkość zwiększymy 2 razy, to czas podróży skróci się 2 razy.
  • Jeżeli prędkość zmniejszymy 5 razy, to czas podróży wydłuży się 5 razy.
Prześledźmy jeszcze raz tą sytuację na konkretnym przykładzie.
Przykład 2.
Adam drogę do szkoły pokonuje w minut idąc z prędkością . Ile czasu zajęłoby mu pokonanie tej samej drogi gdyby jechał na rowerze z prędkością ?
Rozwiązanie:
Na początku liczymy ile razy wzrosłaby prędkość, gdyby Adam jechał na rowerze:
 
Widzimy, że na rowerze prędkość jest 3 razy większa, zatem czas podróży skróci się 3 razy:
 
Zatem na rowerze Adam przejechałby tą trasę w 10 minut.
Zauważmy, że jeżeli dwie wartości są odwrotnie proporcjonalne, to ich iloczyn jest stały. Nawiązując do poprzedniego przykładu wprowadźmy oznaczenia:
v - prędkość
t - czas
Przy takich oznaczeniach możemy zapisać zależność:
 
jest oczywiście droga (która się nie zmienia) i którą często oznaczamy literą S. Stosując te oznaczenia możemy zapisać znany z fizyki wzór:
 
Korzystając z tego faktu możemy rozwiązać Przykład 2 w inny sposób.
Przykład 2 - rozwiązanie - II sposób:
Wprowadźmy oznaczenia:
- czas marszu
- prędkość marszu
- czas jezdy na rowerze (tego szukamy)
- prędkość jazdy na rowerze
Ponieważ:
 
oraz:
 
zatem:
 
Przykład 3.
Trasę z miasta A do miasta B samochód pokonuje w 4 godziny, jeżeli jedzie z prędkością 100 km/h. Z jaką prędkością musiałby jechać, żeby pokonać tą samą trasę w 2,5 godziny?
Rozwiązanie:
Korzystając z metody omówionej w przykładzie 2 możemy oznaczyć:
x - szukana prędkość
i od razu zapisać równanie:
 
Odpowiedź: Aby pokonać trasę w 2,5 godziny, samochód powinien jechać z prędkością 160 km/h.
Przykład 4.
Aby wykonać pewną pracę w ciągu 10 godzin, potrzeba 2 pracowników. Ilu pracowników potrzeba, aby wykonać tą samą pracę w ciągu 4 godzin?
Rozwiązanie:
Zauważmy, że im więcej pracowników wykonuje daną pracę, tym mniejszą liczbę godzin zajmie im jej wykonanie. Zatem liczba pracowników i liczba godzin – są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. Wprowadźmy oznaczenia:
x - szukana liczba pracowników
Zapiszmy równanie wynikające z odwrotnej proporcjonalności:
 
Odpowiedź: Aby wykonać tą pracę w ciągu 4 godzin potrzeba zatrudnić 5 pracowników.

4.2. Wykres proporcjonalności odwrotnej

Jeżeli wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne, to:
 
gdzie a - to liczba stała.
Jeżeli podzielimy to równanie stronami przez x to otrzymamy wzór:
 
Wykresem funkcji określonej wzorem jest hiperbola.
Przykład 1.
Narysuj zależność dwóch wielkości odwrotnie proporcjonalnych opisanych równaniem:
 
Rozwiązanie:
Przekształcamy wzór dzieląc go stronami przez x:
 
Dla tak otrzymanego wzoru funkcji wyznaczamy kilka punktów należących do wykresu:
x 0,2 0,5 1 2 4
5 2 1 0,5 0,25
Następnie rysujemy wykres:
Dla każdego punktu iloczyn
współrzędnych jest równy 1.
Wykres narysowaliśmy tylko dla x > 0.
Przykład 2.
Motocyklista jadący z prędkością 80 km/h pokonuje pewną drogę w 3 h .
Wyznacz funkcję prędkości od czasu, a następnie naszkicuj jej wykres.
Rozwiązanie:
Zaczynamy od wyznaczenia wzoru funkcji. Wprowadźmy oznaczenia:
x - prędkość
y - czas
Korzystając z faktu, że prędkość i czas są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, zapisujemy równanie:
 
Wyznaczamy z tego równania niewiadomą y:
 
Zatem szukany wzór funkcji to:
 
Dla tak otrzymanego wzoru funkcji wyznaczamy kilka punktów:
x 2 10 20 30 80
120 24 12 8 3
i rysujemy wykres:
Dla każdego punktu iloczyn
współrzędnych jest równy 240.
Z wykresu (oraz z tabelki) możemy odczytać, że:
  • z prędkością 2km/h motocyklista będzie jechał 120 godzin.
  • z prędkością 10 km/h motocyklista będzie jechał 24 godziny.
  • z prędkością 20 km/h motocyklista będzie jechał 12 godzin.
  • z prędkością 30 km/h motocyklista będzie jechał 8 godzin.

5.3. Wprowadzenie do funkcji wymiernej

Przed rozpoczęciem nauki o funkcjach wymiernych warto dobrze zrozumieć wielomiany. To właśnie z nich "powstają" funkcje wymierne.
Funkcja wymierna - to taka funkcja, której wzór można zapisać w postaci ułamka. Ponadto ułamek ten musi mieć wielomian w liczniku i w mianowniku.
Przykłady funkcji wymiernych:
Jak widać na powyższych przykładach - wielomiany, które tworzą ułamek funkcji wymiernej, mogą być nawet liczbami stałymi (wtedy są wielomianami stopnia zerowego).
Zatem z formalnego punktu widzenia, wszystkie wielomiany (w tym również funkcja liniowa i kwadratowa) są również funkcjami wymiernymi. Oto przykłady:
Normalnie nie przekształcamy funkcji wielomianowych na funkcje wymierne, ponieważ nie ma sensu komplikować sobie sytuacji.
Zdecydowanie częściej (o ile jest to możliwe) upraszczamy funkcje wymierne - zamieniając ja na proste wielomiany (musimy wtedy jednak pamiętać o dziedzinie! Takie sytuacje dokładnie omówię w dalszej części tego rozdziału).
Powyższe przykłady powinny nam tylko uzmysłowić, że wielomiany są również prostymi funkcjami wymiernymi (podobnie jak np. prostokąty są równoległobokami).
Zauważmy również, że dowolny wielomian możemy zapisać w postaci funkcji wymiernej na wiele różnych sposobów:
Więcej niż jeden ułamek
Funkcje wymierne mogą składać się z sumy kilku wyrażeń. Przykładowo:
Ten wzór funkcji nie jest zapisany w postaci ułamka dwóch wielomianów, ale łatwo możemy go do takiej postaci sprowadzić:
Wzór tej funkcji również nie jest zapisany w postaci ułamka dwóch wielomianów, ale możemy go do takiej postaci przekształcić:
Wzór tej funkcji zapisany jest w postaci sumy dwóch ułamków. Możemy spokojnie dodać te ułamki i zapisać wzór funkcji w postaci jednego ułamka:
Jeżeli wzór funkcji wymiernej jest podany w postaci sumy kilku wyrażeń z x-em, to zawsze warto uprościć taki wzór do jak najprostszej postaci.

5.4. Definicja funkcji wymiernej

Funkcja wymierna - to funkcja, którą można zapisać w postaci: gdzie:
w(x) - dowolny wielomian,
p(x) - wielomian niezerowy.
Przykłady funkcji wymiernych znajdują się w poprzednim podrozdziale.

5.5. Dziedzina funkcji wymiernej

Dziedzinę funkcji wymiernej wyznaczamy tak samo jak dziedzinę wyrażenia wymiernego.
Dla funkcji wymiernej określonej wzorem: wyznaczamy miejsca zerowe (pierwiastki) wielomianu p(x), a następnie wyrzucamy je z dziedziny, czyli ze zbioru liczb rzeczywistych.
Przykłady:
  • Wyznacz dziedzinę funkcji
    Rozwiązanie:
    Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażenia z mianownika:
    x - 5 = 0
    x = 5
    Zatem dziedziną funkcji f(x) jest zbiór: R\{5}.
  • Wyznacz dziedzinę funkcji
    Rozwiązanie:
    Wyznaczamy miejsca zerowe mianownika:
    2x - 14 = 0
    2x = 14
    x = 7
    Zatem dziedziną funkcji f(x) jest zbiór: R\{7}.
  • Wyznacz dziedzinę funkcji
    Rozwiązanie:
    Wyznaczamy miejsca zerowe mianownika:
    (x + 1)(x + 3) = 0
    x + 1 = 0 lub x + 3 = 0
    x = -1 lub x = -3
    Zatem dziedziną funkcji f(x) jest zbiór: R\{-3, -1}.
  • Wyznacz dziedzinę funkcji
    Rozwiązanie:
    Wyznaczamy miejsca zerowe mianownika:
    x(x2 - 2) = 0
    x = 0lubx2 - 2 = 0
    x2 = 2
    x = √2 lub x = -√2
    Zatem dziedziną funkcji f(x) jest zbiór: R\{-√2, 0, √2}.