1.1. Podstawowe wiadomości o wyrażeniach wymiernych

Naukę o wyrażeniach wymiernych warto rozpocząć od dobrego zrozumienia wielomianów.
Wyrażenia wymierne to ułamki, które mają w liczniku i w mianownikuwielomiany.
Ponadto w mianowniku takiego ułamka (będącego wyrażeniem wymiernym) musi stać wielomian stopnia co najmniej równego 1. W praktyce oznacza to, że w mianowniku musi znajdować się wyrażenie z x-em.
Przykłady wyrażeń wymiernych:
  • Wyrażenie wymierne, które w mianowniku ma wielomian stopnia 1: 5/x
  • Wyrażenie wymierne, które w liczniku i w mianowniku ma wielomian stopnia 1: (2x+3)/(x-1)
  • Wyrażenie wymierne, które w liczniku ma wielomian stopnia 2, a w mianowniku wielomian stopnia 1: (x^2+2x-1)/x Inny przykład tego typu: (x-1)(x+2)/(x+1)
  • Wyrażenie wymierne, które ma w liczniku i w mianowniku wielomian stopnia 2: (x^2+2x-1)/(x-3)(x+3)
  • Wyrażenie wymierne, które w liczniku ma wielomian stopnia 3, a w mianowniku wielomian stopnia 2: (x^3+2x^2+34)/(6x^2+6)

1.2. Dziedzina wyrażenia wymiernego

Dla dowolnego wyrażenia wymiernego należy zrobić założenie, że mianownik jest różny od zera.
W ten sposób dajemy sobie gwarancję, że nie wykonamy dzielenia przez 0 (które jest w matematyce działaniem niedozwolonym).
Robienie takich założeń to inaczej określanie dziedziny wyrażenia wymiernego.
Można zatem powiedzieć, że dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, z wyłączeniem tych liczb, które zerują mianownik.
Przykłady:
  • Wiele przykładów wyznaczania dziedziny można znaleźć w dziale dziedzina funkcji.
  • Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego: (4x+1)/(6x-18)
    Rozwiązanie:
    Zakładamy, że mianownik jest różny od zera: Zatem z dziedziny musimy wykluczyć liczbę 3.
    Czyli dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem 3.
    Zapisujemy to tak: D = R\{3}.
    Można również zapisać po prostu: x ≠ 3.
  • Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego: (-5x^2+2x)/(-2x-3)
    Rozwiązanie:
    Zakładamy, że mianownik jest różny od zera: Zatem z dziedziny musimy wykluczyć liczbę -1,5.
    Czyli dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem -1,5.
    Zapisujemy to tak: D = R\{-1,5}.
    Można również zapisać po prostu: x ≠ -1,5.
  • Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego: 1/(x-5)(x+7)
    Rozwiązanie:
    Sprawdzamy kiedy mianownik zeruje się: Iloczyn dwóch nawiasów jest równy zero, jeżeli przynajmniej jeden z tych nawiasów jest równy zero. Zatem powyższe równanie jest spełnione jeżeli: Czyli x = 5 zeruje mianownik oraz x = -7 zeruje mianownik.
    Zatem z dziedziny musimy wykluczyć dwie liczby – liczbę 5 oraz liczbę -7.
    Zapisujemy to tak: D = R\{-7, 5}.
    Można również dziedzinę zapisać tak: x ≠ -7 i x ≠ 5.

Zadanie 1.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór

Zadanie 2.

Zbiór R \ {-3, 0, 2} jest dziedziną wyrażenia

Zadanie 3.

Które liczby ze zbioru {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} nie należą do dziedziny poniższego wyrażenia wymiernego:(x^2+x-5)/(x^3-9x)
Kilka innych przykładów wyznaczania dziedziny wyrażenia wymiernego możesz znaleźć w poniższym pliku pdf:

1.3. Skracanie wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymierne skracamy podobnie jak zwykłe ułamki.
Musimy mieć w liczniku i w mianowniku iloczyny liczb i literek. Wówczas, gdy na górze i na dole mamy taki sam czynnik, to możemy go skreślić.
Ważne! Jeżeli skracamy wyrażenia wymierne, to koniecznie musimy założyć, że wyrażenie przez które dzielimy licznik i mianownik jest różne od zera. Aby nie musieć o tym myśleć podczas rozwiązywania zadania, warto już na początku określić dziedzinę wyrażenia wymiernego.
Przykłady:

  • W tym przykładzie podzieliliśmy licznik i mianownik ułamka przez 3.

  • W tym przykładzie podzieliliśmy licznik i mianownik ułamka najpierw przez 3, a potem przez x. Założenie jakie powinniśmy poczynić, to: x ≠ 0.

  • W tym przykładzie podzieliliśmy licznik i mianownik ułamka najpierw przez 2, a potem przez wyrażenie (x - 6). Założenie jakie powinniśmy poczynić, to: x ≠ 6.
    Pełna dziedzina tego wyrażenia wymiernego, to oczywiście: x ≠ 6 oraz x ≠ -4.

Zadanie 1.

Zadanie - Skróć wyrażenie wymierne .
Rozwiązanie PDF

Zadanie 2.

Skróć wyrażenie wymierne .
Rozwiązanie PDF

Zadanie 3.

Skróć wyrażenie wymierne .
Rozwiązanie PDF

Zadanie 4.

Skróć wyrażenie wymierne .
Rozwiązanie PDF

Zadanie 5.

Wyrażenie , gdzie x ≠ 0 i x ≠ 1, po uproszczeniu może mieć postać:

Zadanie 6.

Po skróceniu ułamek (2x^2+-4x)/(x-2) dla x ≠ 2 jest równy

Zadanie 7.

Uprość wyrażenie wymierne: (x^2+x-2)/(x^2-1)

1.4. Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymierne dodajemy i odejmujemy jak zwykłe ułamki. Najpierw sprowadzamy do wspólnego mianownika, a potem dodajemy/odejmujemy liczniki.

Zadanie 1.

Doprowadź wyrażenie wymierne do najprostszej postaci:

Rozwiązanie PDF

Zadanie 2.

Doprowadź wyrażenie wymierne do najprostszej postaci:

Rozwiązanie PDF

Zadanie 3.

Wyrażenie jest równe

Zadanie 4.

Dla każdego x ≠ 2 wyrażenie jest równe

Zadanie 5.

Dla x ≠ -2 i x ≠ 2 wyrażenie jest równe

Zadanie 6.

Po wykonaniu działania (x-2)/x + x/(x+2) wyrażenie ma postać

2. Równania wymierne

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie .

Zadanie 4.

Wskaż liczbe rozwiązań równania

Zadanie 5.

Liczba rozwiązań równania jest równa

Zadanie 6.

Liczba rozwiązań równania jest równa

Zadanie 7.

Liczba rozwiązań równania jest równa

3. Różne zadania z wyrażeń wymiernych

Zadanie 1.

Wyrażenie (x-1)/(x-2)*(x^2-4)/(x^2-1) dla x = 4 ma wartość

Zadanie 2.

Wspólny mianownik dla wyrażeń z/(ax-bx) i b/(ay-by) to

4.1. Proporcjonalność odwrotna - wprowadzenie

Jeżeli jedna wielkość maleje, a druga tyle samo razy rośnie, to mamy wówczas zależność odwrotnie proporcjonalną.
Przykład 1.
Prędkość i czas podróży są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi (jeśli jedna wielkość rośnie, to druga maleje tyle samo razy maleje). Przykładowo:
  • Jeżeli prędkość zwiększymy 2 razy, to czas podróży skróci się 2 razy.
  • Jeżeli prędkość zmniejszymy 5 razy, to czas podróży wydłuży się 5 razy.
Prześledźmy jeszcze raz tą sytuację na konkretnym przykładzie.
Przykład 2.
Adam drogę do szkoły pokonuje w minut idąc z prędkością . Ile czasu zajęłoby mu pokonanie tej samej drogi gdyby jechał na rowerze z prędkością ?
Rozwiązanie:
Na początku liczymy ile razy wzrosłaby prędkość, gdyby Adam jechał na rowerze:
 
Widzimy, że na rowerze prędkość jest 3 razy większa, zatem czas podróży skróci się 3 razy:
 
Zatem na rowerze Adam przejechałby tą trasę w 10 minut.
Zauważmy, że jeżeli dwie wartości są odwrotnie proporcjonalne, to ich iloczyn jest stały. Nawiązując do poprzedniego przykładu wprowadźmy oznaczenia:
v - prędkość
t - czas
Przy takich oznaczeniach możemy zapisać zależność:
 
jest oczywiście droga (która się nie zmienia) i którą często oznaczamy literą S. Stosując te oznaczenia możemy zapisać znany z fizyki wzór:
 
Korzystając z tego faktu możemy rozwiązać Przykład 2 w inny sposób.
Przykład 2 - rozwiązanie - II sposób:
Wprowadźmy oznaczenia:
- czas marszu
- prędkość marszu
- czas jezdy na rowerze (tego szukamy)
- prędkość jazdy na rowerze
Ponieważ:
 
oraz:
 
zatem:
 
Przykład 3.
Trasę z miasta A do miasta B samochód pokonuje w 4 godziny, jeżeli jedzie z prędkością 100 km/h. Z jaką prędkością musiałby jechać, żeby pokonać tą samą trasę w 2,5 godziny?
Rozwiązanie:
Korzystając z metody omówionej w przykładzie 2 możemy oznaczyć:
x - szukana prędkość
i od razu zapisać równanie:
 
Odpowiedź: Aby pokonać trasę w 2,5 godziny, samochód powinien jechać z prędkością 160 km/h.
Przykład 4.
Aby wykonać pewną pracę w ciągu 10 godzin, potrzeba 2 pracowników. Ilu pracowników potrzeba, aby wykonać tą samą pracę w ciągu 4 godzin?
Rozwiązanie:
Zauważmy, że im więcej pracowników wykonuje daną pracę, tym mniejszą liczbę godzin zajmie im jej wykonanie. Zatem liczba pracowników i liczba godzin – są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. Wprowadźmy oznaczenia:
x - szukana liczba pracowników
Zapiszmy równanie wynikające z odwrotnej proporcjonalności:
 
Odpowiedź: Aby wykonać tą pracę w ciągu 4 godzin potrzeba zatrudnić 5 pracowników.

4.2. Wykres proporcjonalności odwrotnej

Jeżeli wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne, to:
 
gdzie a - to liczba stała.
Jeżeli podzielimy to równanie stronami przez x to otrzymamy wzór:
 
Wykresem funkcji określonej wzorem jest hiperbola.
Przykład 1.
Narysuj zależność dwóch wielkości odwrotnie proporcjonalnych opisanych równaniem:
 
Rozwiązanie:
Przekształcamy wzór dzieląc go stronami przez x:
 
Dla tak otrzymanego wzoru funkcji wyznaczamy kilka punktów należących do wykresu:
x 0,2 0,5 1 2 4
5 2 1 0,5 0,25
Następnie rysujemy wykres:
Dla każdego punktu iloczyn
współrzędnych jest równy 1.
Wykres narysowaliśmy tylko dla x > 0.
Przykład 2.
Motocyklista jadący z prędkością 80 km/h pokonuje pewną drogę w 3 h .
Wyznacz funkcję prędkości od czasu, a następnie naszkicuj jej wykres.
Rozwiązanie:
Zaczynamy od wyznaczenia wzoru funkcji. Wprowadźmy oznaczenia:
x - prędkość
y - czas
Korzystając z faktu, że prędkość i czas są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, zapisujemy równanie:
 
Wyznaczamy z tego równania niewiadomą y:
 
Zatem szukany wzór funkcji to:
 
Dla tak otrzymanego wzoru funkcji wyznaczamy kilka punktów:
x 2 10 20 30 80
120 24 12 8 3
i rysujemy wykres:
Dla każdego punktu iloczyn
współrzędnych jest równy 240.
Z wykresu (oraz z tabelki) możemy odczytać, że:
  • z prędkością 2km/h motocyklista będzie jechał 120 godzin.
  • z prędkością 10 km/h motocyklista będzie jechał 24 godziny.
  • z prędkością 20 km/h motocyklista będzie jechał 12 godzin.
  • z prędkością 30 km/h motocyklista będzie jechał 8 godzin.

5.3. Wprowadzenie do funkcji wymiernej

Przed rozpoczęciem nauki o funkcjach wymiernych warto dobrze zrozumieć wielomiany. To właśnie z nich "powstają" funkcje wymierne.
Funkcja wymierna - to taka funkcja, której wzór można zapisać w postaci ułamka. Ponadto ułamek ten musi mieć wielomian w liczniku i w mianowniku.
Przykłady funkcji wymiernych:
Jak widać na powyższych przykładach - wielomiany, które tworzą ułamek funkcji wymiernej, mogą być nawet liczbami stałymi (wtedy są wielomianami stopnia zerowego).
Zatem z formalnego punktu widzenia, wszystkie wielomiany (w tym również funkcja liniowa i kwadratowa) są również funkcjami wymiernymi. Oto przykłady:
Normalnie nie przekształcamy funkcji wielomianowych na funkcje wymierne, ponieważ nie ma sensu komplikować sobie sytuacji.
Zdecydowanie częściej (o ile jest to możliwe) upraszczamy funkcje wymierne - zamieniając ja na proste wielomiany (musimy wtedy jednak pamiętać o dziedzinie! Takie sytuacje dokładnie omówię w dalszej części tego rozdziału).
Powyższe przykłady powinny nam tylko uzmysłowić, że wielomiany są również prostymi funkcjami wymiernymi (podobnie jak np. prostokąty są równoległobokami).
Zauważmy również, że dowolny wielomian możemy zapisać w postaci funkcji wymiernej na wiele różnych sposobów:
Więcej niż jeden ułamek
Funkcje wymierne mogą składać się z sumy kilku wyrażeń. Przykładowo:
Ten wzór funkcji nie jest zapisany w postaci ułamka dwóch wielomianów, ale łatwo możemy go do takiej postaci sprowadzić:
Wzór tej funkcji również nie jest zapisany w postaci ułamka dwóch wielomianów, ale możemy go do takiej postaci przekształcić:
Wzór tej funkcji zapisany jest w postaci sumy dwóch ułamków. Możemy spokojnie dodać te ułamki i zapisać wzór funkcji w postaci jednego ułamka:
Jeżeli wzór funkcji wymiernej jest podany w postaci sumy kilku wyrażeń z x-em, to zawsze warto uprościć taki wzór do jak najprostszej postaci.

5.4. Definicja funkcji wymiernej

Funkcja wymierna - to funkcja, którą można zapisać w postaci: gdzie:
w(x) - dowolny wielomian,
p(x) - wielomian niezerowy.
Przykłady funkcji wymiernych znajdują się w poprzednim podrozdziale.

5.5. Dziedzina funkcji wymiernej

Dziedzinę funkcji wymiernej wyznaczamy tak samo jak dziedzinę wyrażenia wymiernego.
Dla funkcji wymiernej określonej wzorem: wyznaczamy miejsca zerowe (pierwiastki) wielomianu p(x), a następnie wyrzucamy je z dziedziny, czyli ze zbioru liczb rzeczywistych.
Przykłady:
  • Wyznacz dziedzinę funkcji
    Rozwiązanie:
    Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażenia z mianownika:
    x - 5 = 0
    x = 5
    Zatem dziedziną funkcji f(x) jest zbiór: R\{5}.
  • Wyznacz dziedzinę funkcji
    Rozwiązanie:
    Wyznaczamy miejsca zerowe mianownika:
    2x - 14 = 0
    2x = 14
    x = 7
    Zatem dziedziną funkcji f(x) jest zbiór: R\{7}.
  • Wyznacz dziedzinę funkcji
    Rozwiązanie:
    Wyznaczamy miejsca zerowe mianownika:
    (x + 1)(x + 3) = 0
    x + 1 = 0 lub x + 3 = 0
    x = -1 lub x = -3
    Zatem dziedziną funkcji f(x) jest zbiór: R\{-3, -1}.
  • Wyznacz dziedzinę funkcji
    Rozwiązanie:
    Wyznaczamy miejsca zerowe mianownika:
    x(x2 - 2) = 0
    x = 0lubx2 - 2 = 0
    x2 = 2
    x = √2 lub x = -√2
    Zatem dziedziną funkcji f(x) jest zbiór: R\{-√2, 0, √2}.