1. Wprowadzenie do wyrażeń algebraicznych

Wyrażenia algebraiczne - to liczby wraz z literami połączone znakami działań, np.: przykłady wyrażeń algebraicznych Nazwy wyrażeń algebraicznych możemy zapisać słownie według znaków działań, które je łączą, np.:
Zapis matematyczny Zapis słowny
x + y suma liczb x i y
x - y różnica liczb x i y
x · y iloczyn liczb x i y
x : y iloraz liczb x i y
2x podwojona liczba x
3x liczba trzy razy większa x
0,5x połowa liczby x
x - 12 liczba o 12 mniejsza od x
x2 kwadrat liczby x
x2 + y2 suma kwadratów liczb x i y
(x + y)2 kwadrat sumy liczb x i y
x3 - y3 różnica sześcianów liczb x i y
(2x)2 - 0,5y3 różnica kwadratu podwojonej liczby x i połowy sześcianu liczby y
Uwaga odnośnie zapisu
W wyrażeniach algebraicznych, w których występuje mnożenie, często nie zapisuje się kropki oznaczającej iloczyn.
Zapisujemy po prostu 2x zamiast 2 · x. Ten pierwszy zapis jest po prostu krótszy, a oznacza dokładnie to samo. Podobnie w życiu - powiemy, że "mamy 2 jabłka", a nie "mamy 2 razy jedno jabłko".
Poniższy film łagodnie wprowadzi Cię w świat wyrażeń algebraicznych. Z pierwszego nagrania dowiesz się gdzie w matematyce pojawiają się wyrażenia algebraiczne i do czego one służą.

Wprowadzenie do wyrażeń algebraicznych

W tym nagraniu wideo pokazuję co to są wyrażenia algebraiczne i w jakich sytuacjach się je stosuje.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

2. Obliczanie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego, należy podstawić w miejsce literek liczby.
Przykład 1. Oblicz wartość liczbową wyrażenia 3x2 - 2x + 1 dla x = 5.
Rozwiązanie:
Do wyrażenia algebraicznego podstawiamy w miejsce x-a liczbę 5: Odpowiedź: Dla x = 5 wyrażenie 3x2 - 2x + 1 przyjmuje wartość 66.
Przykład 2. Oblicz wartość liczbową wyrażenia -x3 - (x + 1)2 dla x = 4.
Rozwiązanie:
Do wyrażenia algebraicznego podstawiamy w miejsce x-a liczbę 4: Odpowiedź: Dla x = 4 wyrażenie -x3 - (x + 1)2 przyjmuje wartość -89.
Poniższe nagranie wideo zawiera przykłady obliczania wartości kilku wyrażeń algebraicznych.

Obliczanie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego

W tym nagraniu wideo pokazuję jak obliczać wartości wyrażeń algebraicznych.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją
Poniżej znajdują się zadania maturalne na obliczanie wartości liczbowej wyrażeń algebraicznych.

Zadanie 1.

Wyrażenie (1 - 2x)2 - 3(x + √2)(x - √2) dla x = 2 przyjmuje wartość

Zadanie 2.

Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego (a2 - 16)(a + 2) dla a = √2 wynosi

Zadanie 3.

Wyrażenie (x-1)/(x-2)*(x^2-4)/(x^2-1) dla x = 4 ma wartość

Zadanie 4.

Wartość liczbowa wyrażenia x3y2 - y3x2 dla x = -1 i y = -2 wynosi

Zadanie 5.

Wartość wyrażenia (a - 1)(a2 + a + 1) dla a = 3/4 jest równa

3. Jednomiany

Jednomiany - to liczby i litery połączone znakiem mnożenia, np.: Liczbę występującą w jednomianie nazywa się współczynnikiem liczbowym jednomianu. Zauważ, że każdy jednomian musi mieć współczynnik liczbowy. W przypadku, gdy nie jest on zapisany, to znaczy, że jest równy 1.
Kolejność zapisywania składników jednomianu nie ma znaczenia (bo mnożenie jest przemienne). Dla porządku warto jednak zawsze zapisywać współczynnik liczbowy na początku jednomianu, a następnie literki w kolejności alfabetycznej.
Ćwiczenie 1. Przedstaw jednomian w postaci uporządkowanej i podaj jego współczynnik liczbowy.
  • a) 2x⋅7
    Rozwiązanie:
    Wszystkie liczby wymnażamy i zapisujemy na początku jednomianu:

    Współczynnik liczbowy tego jednomianu jest równy 14.
  • b) x2⋅5x⋅2
    Rozwiązanie:
    Na początku zapisujemy i wymnażamy liczby, a dalej literki:

    Współczynnik liczbowy tego jednomianu jest równy 10.
  • c) xx5x2
    Rozwiązanie:
    W tym przykładzie występuje tylko jedna literka x w różnych potęgach. Wymnażamy wszystkie potęgi, zapisując cały jednomian jako jedną potęgę x-a.

    Współczynnik liczbowy tego jednomianu jest równy 1.
  • d) x2y⋅3xyz
    Rozwiązanie:
    Liczbę zapisujemy na początku, a następnie wymnażamy literki:

    Współczynnik liczbowy tego jednomianu jest równy 3.

Jednomiany

W tym nagraniu wideo omawiam najważniejsze fakty dotyczące jednomianów.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją
Wyrażenia algebraiczne składają się z jednomianów. Przykład konstrukcji wyrażenia algebraicznego Można zatem powiedzieć, że wyrażenia algebraiczne - to jednomiany połączone znakami dodawania i odejmowania.

4. Sumowanie wyrażeń algebraicznych

Upraszczanie wyrażeń algebraicznych polega tak naprawdę na dodawaniu jednomianów podobnych.
Jednomianami podobnymi nazywamy jednomiany, które różnią się od siebie jedynie współczynnikiem liczbowym.
Przykłady:
przykłady jednomianów podobnych
Przykłady upraszczania wyrażeń algebraicznych:
przykłady upraszczania wyrażeń algebraicznych
Więcej przykładów upraszczania wyrażeń algebraicznych znajduje się w poniższym materiale wideo:

Sumowanie wyrażeń algebraicznych

W tym nagraniu wideo pokazuję jak dodawać wyrażenia algebraiczne.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

5. Mnożenie wyrażeń algebraicznych

Wyrażenia algebraiczne mnożymy "wyraz za wyrazem", tzn. każdy razy każdy.
Cała metoda jest dokładnie wyjaśniona w poniższym materiale wideo:

Mnożenie wyrażeń algebraicznych

W tym nagraniu wideo pokazuję jak mnożyć wyrażenia algebraiczne.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

6.1. Najważniejsze wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia pozwalają szybciej wykonywać mnożenie.
Oto najczęściej stosowane wzory: Przykłady zastosowania każdego z tych wzorów znajdziesz poniżej.

6.2. Kwadrat sumy

Wzór na kwadrat sumy dwóch liczb jest następujący: Do policzenia kwadratu sumy dwóch liczb nie trzeba konicznie stosować wzoru skróconego mnożenia.
Na przykład wyrażenie (x + 2)2 można policzyć na piechotę:

lub szybciej wzorem skróconego mnożenia:

Nie ma zatem obowiązku stosowania wzorów skróconego mnożenia. Warto się jednak ich nauczyć, ponieważ znacznie ułatwiają i przyśpieszają liczenie.
Przykłady:
  • (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
  • (x + 2)2 = x2 + 4x + 4
  • (x + 3)2 = x2 + 6x + 9
  • (x + 4)2 = x2 + 8x + 16
  • (x + 5)2 = x2 + 10x + 25
  • (x + 9)2 = x2 + 18x + 81
  • (7 + x)2 = 49 + 14x + x2
  • (12 + x)2 = 144 + 24x + x2
  • (2x + 5)2 = (2x)2 + 2⋅2x⋅5 + 25 = 4x2 + 20x + 25
  • (3x + 10)2 = 9x2 + 60x + 100
  • (7x + 1)2 = 49x2 + 14x + 1
  • (6x + 0,5)2 = 36x2 + 6x + 0,25

6.3. Kwadrat różnicy

Wzór na kwadrat różnicy dwóch liczb jest następujący: Wzoru tego używamy tak samo wzoru na kwadrat sumy dwóch liczb.
Przykłady:
  • (x - 1)2 = x2 - 2x + 1
  • (x - 2)2 = x2 - 4x + 4
  • (x - 3)2 = x2 - 6x + 9
  • (x - 5)2 = x2 - 10x + 25
  • (x - 6)2 = x2 - 12x + 36
  • (x - 9)2 = x2 - 18x + 81
  • (7 - x)2 = 49 - 14x + x2
  • (13 - x)2 = 169 - 26x + x2
  • (5x - 2)2 = (5x)2 - 2⋅5x⋅2 + 4 = 25x2 - 20x + 4
  • (3x - 7)2 = 9x2 - 42x + 49
  • (7x - 10)2 = 49x2 - 140x + 100
  • (6x - √2)2 = 36x2 - 12√2x + 2

6.4. Różnica kwadratów

Wzór na różnicę kwadratów dwóch liczb jest następujący: Przykłady:
  • x2 - 4 = x2 - 22 = (x - 2)(x + 2)
  • x2 - 9 = x2 - 32 = (x - 3)(x + 3)
  • x2 - 25 = x2 - 52 = (x - 5)(x + 5)
  • x2 - 36 = x2 - 62 = (x - 6)(x + 6)
  • x2 - 49 = x2 - 72 = (x - 7)(x + 7)
  • x2 - 144 = x2 - 122 = (x - 12)(x + 12)
  • 81 - x2 = 92 - x2 = (9 - x)(9 + x)
  • x2 - 2 = x2 - (√2)2 = (x - √2)(x + √2)
  • x2 - 5 = x2 - (√5)2 = (x - √5)(x + √5)
  • x2 - 0,25 = x2 - 0,52 = (x - 0,5)(x + 0,5)

6.5. Różnica sześcianów

Wzór na różnicę sześcianów dwóch liczb jest następujący: Przykłady:
  • x3 - 8 = x3 - 23 = (x - 2)(x2 + 2x + 4)
  • x3 - 125 = x3 - 53 = (x - 5)(x2 + 5x + 25)
 1  2    Następne