1. Wprowadzenie do wielomianów

Przed przystąpieniem do poznawania wielomianów dobrze jest zrozumieć takie tematy jak wyrażenia algebraiczne, czy też funkcja kwadratowa.
Gdy masz już opanowane wymienione wyżej zagadnienia, to możesz spokojnie przystąpić do uczenia się wielomianów.
Zacznijmy od określenia kilku pojęć wprowadzających.
  • Jednomian - to wyrażenie algebraiczne składające się z jednej liczby (współczynnika liczbowego) oraz ewentualnie jednej lub kilku literek (mogą być w różnych potęgach).
    Oto przykładowe jednomiany:
    Cały rozdział poświęcony jednomianom znajdziesz tutaj.
  • Dwumian - to wyrażenie algebraiczne składające się z dwóch jednomianów połączonych znakiem dodawania lub odejmowania.
    Przykłady dwumianów:
    Mówiąc trochę inaczej - każdy dwumian składa się z dwóch elementów (z dwóch mian).
  • Trójmian - to wyrażenie algebraiczne składające się z trzech jednomianów połączonych znakami dodawania lub odejmowania.
    Przykładami trójmianów są:
    Mówiąc trochę inaczej - każdy trójmian składa się z trzech elementów (z trzech mian).
Jak można zatem nazwać wyrażenie postaci:
Możemy powiedzieć – czwórmian.
A jak nazwać wyrażenie postaci:
Oczywiście możemy powiedzieć – pięciomian.
Zamiast jednak wymyślać kolejne nazwy, to powiemy krótko – wielomian.
Uwaga!
Wielomianem można nazwać również trójmian, dwumian, a nawet jednomian.
Wielomiany mogą składać się teoretycznie z wielu zmiennych (w ich wzorze może występować kilka różnych literek), przykładowo: W praktyce zajmujemy się tylko wielomianami jednej zmiennej (np. x), przykładowo: Właśnie o wielomianach tego typu mówi poniższa formalna definicja.
Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej x nazywamy wyrażenie postaci: gdzie są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, i nN oraz an ≠ 0.
Oto kilka następnych, przykładowych wielomianów zmiennej x:
Funkcją wielomianową nazywamy funkcję, której wzór jest wielomianem.
W praktyce często na funkcje wielomianowe mówi się po prostu "wielomiany". Aby zaznaczyć, że jakaś funkcja jest wielomianowa, to zapisujemy ją przy pomocy literki W. Innymi często stosowanymi literkami są również: P, Q, R.
Oto kilka przykładowych wielomianów zapisanych w postaci funkcji:

Jak widać do zapisania funkcji wielomianowej możemy posłużyć się nawet zwykłą literką f. Tak naprawdę nie ma większego znaczenia jaką literkę wykorzystamy. W podręcznikach szkolnych najczęściej spotkasz się z literką W.

2. Obliczanie wartości wielomianu

Wartości liczbowe wielomianów obliczamy tak samo jak wartości funkcji, czy też wartości wyrażeń algebraicznych. Wystarczy po prostu podstawić w miejsce x podaną liczbę.
Przykład 1. Oblicz wartość liczbową wielomianu W(x) = x2 + 3x - 6 dla argumentu x = 2.
Rozwiązanie:
Podstawiamy w miejsce x-a liczbę 2:

Przykład 2. Oblicz wartość liczbową wielomianu W(x) = x2 + 3x - 6 dla argumentu x = 5.
Rozwiązanie:
Podstawiamy w miejsce x-a liczbę 5:

Przykład 3. Oblicz wartość liczbową wielomianu W(x) = -x3 + 7x2 -x dla argumentu x = -3.
Rozwiązanie:
Podstawiamy w miejsce x-a liczbę -3:

Zadanie 1.

Wartość wielomianu W(x) = x - x3 dla x = -2 wynosi

Zadanie 2.

Wartość wielomianu W(x) = 2x4 - 5x2 + 3x - 2 dla argumentu x = -2 jest równa

3. Stopień wielomianu

Zacznijmy od podania krótkiej definicji:
Stopień wielomianu – to najwyższa potęga x-a w tym wielomianie.
Przykłady wielomianów stopnia 1-ego:

We wzorze każdego z powyższych wielomianów x występuje w pierwszej potędze, dlatego są to wielomiany pierwszego stopnia.
Przykłady wielomianów stopnia 2-ego:

Ostatni wielomian również jest stopnia drugiego. Gdyby wymnożyć te dwa nawiasy, to otrzymalibyśmy we wzorze x-a w drugiej potędze:

Przykłady wielomianów stopnia 3-ego:

Ćwiczenie 1. Określ stopnie wielomianów:
.

Zadanie 1.

Dane są wielomiany W(x) = x3 + 3x2 + x - 11 i V(x) = x3 + 3x2 + 1. Stopień wielomianu W(x) - V(x) jest równy

Zadanie 2.

Dane są wielomiany W(x) = 3x3 - 2x, V(x) = 2x2 + 3x. Stopień wielomianu W(x)⋅V(x) jest równy

Zadanie 3.

Dane są wielomiany W(x) = x4 - 1 oraz V(x) = x4 + 1. Stopień wielomianu W(x) + V(x) jest równy

Zadanie 4.

Stopień wielomianu W(x) = (x - 1)2(2x + 1)(4x3 - 3) jest równy

4.1. Wprowadzenie do rozkładania wielomianu na czynniki

Rozłożenie wielomianu na czynniki, polega na zapisaniu jego wzoru w postaci iloczynu nawiasów.
Taki sposób zapisu wielomianu nazywamy postacią iloczynową.
Poniżej znajdują się przykładowe wielomiany, zapisane w dwóch postaciach - ogólnej i iloczynowej.
Numer przykładu Postać ogólna Postać iloczynowa
1. W(x) = x2 - 4 W(x) = (x - 2)(x + 2)
2. W(x) = x2 - 25 W(x) = (x - 5)(x + 5)
3. W(x) = x2 - 6x + 9 W(x) = (x - 3)2
4. W(x) = x2 + 5x + 6 W(x) = (x + 2)(x + 3)
5. W(x) = x2 + x - 30 W(x) = (x - 5)(x + 6)
6. W(x) = x3 + x2 - 4x - 4 W(x) = (x - 2)(x + 2)(x + 1)
7. W(x) = x3 - 2x2 - 9x + 18 W(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 3)
8. W(x) = 3x3 + 4x2 - 147x - 196 W(x) = (x - 7)(x + 7)(3x + 4)
9. W(x) = x3 + 4x2 - 7x - 10 W(x) = (x - 2)(x + 1)(x + 5)
10. W(x) = x3 - 8 W(x) = (x - 2)(x2 + 2x + 4)
11. W(x) = x3 + 5x W(x) = x(x2 + 5)
12. W(x) = x4 - 16 W(x) = (x - 2)(x + 2)(x2 + 4)
13. W(x) = x4 + 4x3 + x2 - 8x - 6 W(x) = (x - √2)(x + √2)(x + 1)(x + 3)
14. W(x) = x2 + 1 nie istnieje
15. W(x) = x2 - x + 5 nie istnieje
Jak widać na przykładach dwóch ostatnich wielomianów, rozkład na czynniki nie zawsze musi istnieć.
Jeżeli natomiast mamy dany wielomian w postaci iloczynowej, to zawsze możemy łatwo przekształcić go do postaci ogólnej. Wystarczy w tym celu wymnożyć nawiasy wyraz za wyrazem (tak jak mnożymy wyrażenia algebraiczne).
Przykład 1. Zapisz wielomian W(x) = (x - 2)(x + 1) w postaci ogólnej.
Rozwiązanie:
Wymnażamy nawiasy:
W(x) = (x - 2)(x + 1) = x2 + x - 2x - 2 = x2 - x - 2
Czyli:
W(x) = x2 - x - 2
Warto zwrócić uwagę, że oba wzory (ten w postaci iloczynowej i ten w postaci ogólnej) określają ten sam wielomian. Jedyna różnica jest w sposobie zapisu.
Spójrzmy jeszcze raz na taki przykład:
Łatwo można przekształcić wielomian z postaci ogólnej na postać iloczynową. Trudniej jest wykonać przekształcenie w drugą stronę.
Przykład 2. Rozłóż wielomian W(x) = x2 - 4 na czynniki.
Rozwiązanie:
Do zapisania tego wielomianu w postaci iloczynowej wykorzystamy wzór skróconego mnożenia:
Możemy zatem zapisać, że:
W(x) = x2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Zatem wielomian W(x) po rozłożeniu na czynniki przyjmuje postać:
W(x) = (x - 2)(x + 2)
Więcej przykładów z rozkładania wielomianów na czynniki znajdziesz w następnym rozdziale. Zostaną tam również przedstawione najczęściej stosowane sposoby rozkładu.
Metody rozkładania wielomianów na czynniki zostały także omówione w poniższym nagraniu wideo.

Metody rozkładania wielomianów na czynniki

W tym nagraniu wideo pokazuję na jak rozkładać wielomiany na iloczyn czynników.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

4.2. Podstawowe sposoby rozkładu wielomianu na czynniki

Do rozkładania wielomianów na iloczyn czynników najczęściej stosujemy takie metody jak:
  • wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias,
  • wzory skróconego mnożenia,
  • deltę (Δ),
  • grupowanie wyrazów.
Teraz omówimy każdą z wymienionych powyżej metod.
Metoda wyciągania wspólnego czynnika przed nawias
Z pojęciem "wyciągania wspólnego czynnika przed nawias" spotykamy się po raz pierwszy poznając wyrażenia algebraiczne.
Przed nawias możemy wyciągać zarówno liczbę jak i literkę, która występuje w każdym z jednomianów tworzących wielomian. Przykładowo:
Rozkładając wielomian na czynniki zawsze zaczynamy od sprawdzenia, czy nie da się wyciągnąć wspólnego czynnika przed nawias ze wszystkich jednomianów.
Samo wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias nie kończy zazwyczaj rozkładania wielomianu na czynniki. Jest to jednak pierwszy dobry krok, po którym później można wykonać kolejne przekształcenia.
Przykład 1. Zapisz wzór wielomianu W(x) = x2 - 7x wyciągając wspólny czynnik przed nawias.
Rozwiązanie:
Wspólnym czynnikiem każdego z dwóch jednomianów tworzących ten wielomian jest x. Wyciągamy go zatem przed nawias:
W(x) = x2 - 7x = x(x - 7)
Otrzymujemy zatem ostatecznie wzór:
W(x) = x(x - 7)
Przykład 2. Zapisz wzór wielomianu W(x) = 7x3 + 21x wyciągając wspólny czynnik przed nawias.
Rozwiązanie:
Wspólnym czynnikiem każdego z dwóch jednomianów tworzących ten wielomian jest 7x. Wyciągamy go zatem przed nawias:
W(x) = 7x3 + 21x = 7x(x2 + 3)
Otrzymujemy zatem ostatecznie wzór:
W(x) = 7x(x2 + 3)
Przykład 3. Zapisz wzór wielomianu W(x) = 4x3 + 6x2 wyciągając wspólny czynnik przed nawias.
Rozwiązanie:
Wspólnym czynnikiem każdego z dwóch jednomianów tworzących ten wielomian jest 2x2. Wyciągamy go przed nawias:
W(x) = 4x3 + 6x2 = 2x2(2x + 3)
Otrzymujemy ostatecznie wzór wielomianu:
W(x) = 2x2(2x + 3)
Uwaga! Jeżeli chcemy upewnić się, że dobrze wyciągnęliśmy wspólny czynnik przed nawias, to wystarczy, że wymnożymy czynniki, np.:
W(x) = 2x2(2x + 3) = 2x2 ⋅ 2x + 2x2 ⋅ 3 = 4x3 + 6x2
Przykład 4. Wyciągnij wspólny czynnik przed nawias we wzorze wielomianu W(x) = 9x3 - 3x2 + 18x.
Rozwiązanie:
Wspólnym czynnikiem każdego z trzech jednomianów tworzących ten wielomian jest 3x. Wyciągamy go przed nawias:
W(x) = 9x3 - 3x2 + 18x = 3x(3x2 - x + 6)
Otrzymujemy ostatecznie wzór wielomianu:
W(x) = 3x(3x2 - x + 6)
Przykład 5. Wyciągnij wspólny czynnik przed nawias we wzorze wielomianu
W(x) = 10x5 - 2x4 + 4x3 + 12x2.
Rozwiązanie:
Wspólnym czynnikiem każdego z czterech jednomianów tworzących ten wielomian jest 2x2. Wyciągamy go przed nawias:
W(x) = 10x5 - 2x4 + 4x3 + 12x2 = 2x2(5x3 - x2 + 2x + 6)
Otrzymujemy ostatecznie wzór wielomianu:
W(x) = 2x2(5x3 - x2 + 2x + 6)
Metoda wzorów skróconego mnożenia
Wzory skróconego mnożenia zostały dokładnie omówione w tym miejscu.
Podczas rozkładania wielomianów na czynniki najczęściej wykorzystujemy wzór:
Dla przypomnienia wypiszmy i ponumerujmy najczęściej stosowane wzory skróconego mnożenia: Korzystając z powyższych wzorów rozwiążemy teraz kilka przykładów.
Przykład 6. Rozłóż wielomian W(x) = x2 - 9 na czynniki stosując wzory skróconego mnożenia.
Rozwiązanie:
Stosujemy wzór (3):
W(x) = x2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
Czyli postać iloczynowa naszego wielomianu jest następująca:
W(x) = (x - 3)(x + 3)
Przykład 7. Rozłóż na czynniki wielomian W(x) = x2 - 36.
Rozwiązanie:
Stosujemy wzór (3):
W(x) = x2 - 36 = (x - 6)(x + 6)
Czyli postać iloczynowa naszego wielomianu jest następująca:
W(x) = (x - 6)(x + 6)
Przykład 8. Rozłóż na czynniki wielomian W(x) = x2 + 6x + 9.
Rozwiązanie:
Stosujemy wzór (1):
W(x) = x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
Zatem postać iloczynowa wielomianu jest następująca:
W(x) = (x + 3)2
Przykład 9. Rozłóż na czynniki wielomian W(x) = x2 - 10x + 25.
Rozwiązanie:
Stosujemy wzór (2):
W(x) = x2 - 10x + 25 = (x - 5)2
Zatem postać iloczynowa wielomianu jest następująca:
W(x) = (x - 5)2
Przykład 10. Rozłóż na czynniki wielomian W(x) = x3 - 27.
Rozwiązanie:
Stosujemy wzór (4):
W(x) = x3 - 27 = (x - 3)(x2 + 3x + 9)
Czyli postać iloczynowa tego wielomianu jest następująca:
W(x) = (x - 3)(x2 + 3x + 9)
Przykład 11. Rozłóż na czynniki wielomian W(x) = x3 - 16x.
Rozwiązanie:
W tym przykładzie możemy wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias, więc zaczynamy od wykonania tego kroku:
W(x) = x3 - 16x = x(x2 - 16)
Teraz do wyrażenia w nawiasie stosujemy wzór (3):
W(x) = x(x2 - 16) = x(x - 4)(x + 4)
Ostatecznie otrzymujemy następujący rozkład wielomianu na czynniki:
W(x) = x(x - 4)(x + 4)
Przykład 12. Rozłóż na czynniki wielomian W(x) = 4x4 - 36x2.
Rozwiązanie:
W tym przykładzie możemy wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias, więc zaczynamy od wykonania tego kroku:
W(x) = 4x4 - 36x2 = 4x2(x2 - 9)
Teraz do wyrażenia w nawiasie stosujemy wzór (3):
W(x) = 4x2(x2 - 9) = 4x2(x - 3)(x + 3)
Ostatecznie otrzymujemy następujący rozkład wielomianu na czynniki:
W(x) = 4x2(x - 3)(x + 3)

Metoda delty (Δ)
Tą metodę często stosujemy do rozkładania na czynniki wyrażeń drugiego stopnia. W prostych przypadkach można posługiwać się wzorami skróconego mnożenia, np.:
x2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
W bardziej złożonych przykładach, np.: x2 - x - 6, ciężko jest zastosować wzory skróconego mnożenia i wtedy stosujemy metodę delty.
Metoda delty, to inaczej mówiąc - zamiana postaci ogólnej wyrażenia kwadratowego na postać iloczynową. Zagadnienie to zostało już omówione w dziale o postaciach funkcji kwadratowej.
Przypomnijmy jednak jak robimy taką zamianę.
Przyjmijmy, że mam do rozłożenia na czynniki następujący wielomian drugiego stopnia: Na początku liczymy deltę korzystając ze wzoru: Mogą zajść trzy przypadki:
  • Jeżeli delta wyszła mniejsza od zera, to rozkład na czynniki nie istnieje.
  • Jeżeli delta wyszła większa od zera, to istnieją miejsca zerowe wielomianu i możemy je obliczyć korzystając ze wzorów: Postać iloczynowa wygląda wówczas tak:
  • Jeżeli delta wyszła równa zero, to istnieje jedno miejsce zerowe i możemy je obliczyć ze wzoru: Postać iloczynowa wielomianu wygląda wówczas tak:
Teraz przećwiczymy metodę delty na kilku przykładach.
Przykład 13. Rozłóż na czynniki wielomian W(x) = x2 - x - 6.
Rozwiązanie:
Zacznijmy od wypisania współczynników a, b, c:
a = 1
b = -1
c = -6
Teraz liczymy deltę:
W(x) = (-1)2 - 4⋅1⋅(-6) = 1 + 24 = 25
Delta wyszła większa od zera, zatem mamy dwa miejsca zerowe: Zapisujemy postać iloczynową:
W(x) = 1⋅(x - 3)(x - (-2)) = (x - 3)(x + 2)
Ostatecznie otrzymujemy następujący rozkład wielomianu na czynniki:
W(x) = (x - 3)(x + 2)

Metoda grupowania wyrazów
Metodę grupowania wyrazów stosujemy najczęściej do rozkładania na czynniki wielomianów stopnia czwartego oraz wyższych.
Można powiedzieć, że jest to rozszerzenie metody wyciągania wspólnego czynnika przed nawias.
Jeżeli np. we wzorze wielomianu występują 4 wyrazy, to możemy wyciągnąć przed nawias wspólny czynnik tylko z pierwszych dwóch wyrazów, a następnie wspólny czynnik z wyrazu trzeciego i czwartego. Spójrzmy na poniższy przykład:
W tym przykładzie zgrupowaliśmy pierwszy wyraz z drugim, a trzeci z czwartym. Następnie w ramach każdej grupy wyciągnęliśmy wspólny czynnik przed nawias.
Z pierwszych dwóch wyrazów wyciągnęliśmy przed nawias wspólny czynnik x2, a z ostatnich dwóch wyrazów wyciągnęliśmy przed nawias liczbę 2. Tak się szczęśliwie złożyło, że w obu nawiasach pojawiło się to samo wyrażenie x + 4. Dzięki temu można teraz wyciągnąć cały taki nawias przed nawias:
W ten sposób rozłożyliśmy wielomian trzeciego stopnia na iloczyn czynników (nawiasu (x2 + 2) nie da się już bardziej rozłożyć, choćby dlatego, że delta dla niego wychodzi ujemna).
Przećwiczmy teraz metodę grupowania na kilku przykładach.
Przykład 14. Rozłóż na czynniki wielomian W(x) = 5x3 + 10x2 + 2x + 4.
Rozwiązanie:
Grupujemy pierwszy wyraz z drugim, a trzeci z czwartym:
W(x) = 5x3 + 10x2 + 2x + 4 = 5x2(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(5x2 + 2)
Z pierwszych dwóch wyrazów wyciągnęliśmy przed nawias wspólny czynnik 5x2.
Z ostatnich dwóch wyrazów wyciągnęliśmy przed nawias liczbę 2.
W obu nawiasach otrzymaliśmy to samo wyrażenie (x + 2), które następnie wyciągnęliśmy przed nawias. Ostatecznie otrzymaliśmy postać iloczynową wielomianu:
W(x) = (x + 2)(5x2 + 2)
Uwaga! Należy jeszcze upewnić się, czy drugiego nawiasu nie da się rozłożyć na czynniki 1-szego stopnia. Liczymy w tym celu deltę:
Δ = 02 - 4⋅5⋅2 = -40 < 0
Delta wyszła ujemna, czyli nie istnieje rozkład nawiasu (5x2 + 2) na czynniki pierwszego stopnia.
Przykład 15. Rozłóż na czynniki wielomian W(x) = x3 + 2x2 - 9x - 18.
Rozwiązanie:
Grupujemy pierwszy wyraz z drugim, a trzeci z czwartym:
W(x) = x3 + 2x2 - 9x - 18 = x2(x + 2) - 9(x + 2) = (x + 2)(x2 - 9) = (x + 2)(x - 3)(x + 3)
W tym przykładzie drugi nawias można było rozłożyć na iloczyn czynników liniowych stosując wzór skróconego mnożenia. Ostatecznie otrzymaliśmy postać iloczynową wielomianu:
W(x) = (x + 2)(x - 3)(x + 3)

4.3. Rozkładanie wielomianu na czynniki - zadania

Zadanie 1.

Rozłóż na czynniki możliwie najniższego stopnia, wielomian: x3 + 2x2 - 9x - 18.

Zadanie 2.

Rozłóż wielomian W(x) = x4 + 5x2 - x3 - 5x na czynniki możliwie najniższego stopnia.

Zadanie 3.

Wielomian W(x) = x6 + x3 − 2 jest równy iloczynowi

Zadanie 4.

Wielomian 4x2 - 100 jest równy

Zadanie 5.

Rozkładając wielomian W(x) = x3 - 2x2 - 9x + 18 na czynniki liniowe otrzymamy wielomian

Zadanie 6.

Wielomian W(x) = x3 + 7x2 - 2x - 14 po rozłożeniu na czynniki ma postać

Zadanie 7.

Rozkład wielomianu W(x) = x3 - 2x2 - 16x + 32 na czynniki liniowe to

Zadanie 8.

Przedstawieniem wyrażenia 4 - x2 + 2xy - y2 w postaci iloczynu jest

Zadanie 9.

Wyrażenie x2 - xy - 2y + 2x rozłożone na czynniki ma postać

5. Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Wielomiany dodajemy i odejmujemy tak samo jak wyrażenia algebraiczne.
Przykład 1. Dodaj wielomiany W(x) = 5x3 - 7x2 + 11 oraz G(x) = 2x3 + 6x2 - 4x.
Rozwiązanie:
W(x) + G(x) = 5x3 - 7x2 + 11 + 2x3 + 6x2 - 4x = 7x3 - x2 - 4x + 11
W powyższym rachunku tym samym kolorem zaznaczono jednomiany podobne, które mogliśmy do siebie dodać.
Przykład 2. Od wielomianu W(x) = 5x3 - 7x2 + 11 odejmij wielomian G(x) = 2x3 + 6x2 - 4x.
Rozwiązanie:
W(x) - G(x) = 5x3 - 7x2 + 11 - (2x3 + 6x2 - 4x) = 5x3 - 7x2 + 11 - 2x3 - 6x2 + 4x =
= 3x3 - 13x2 + 4x + 11

Zadanie 1.

Dane są wielomiany W(x) = -2x3 + 5x2 - 3 oraz P(x) = 2x3 + 12x. Wielomian W(x) + P(x) jest równy

Zadanie 2.

Dane są wielomiany W(x) = 4x3 + 2x2 - 3x - 4 oraz F(x) = -x2 + 5x - 6. Wielomian G(x) = W(x) - F(x) jest równy.

6. Dzielenie wielomianów

Metoda dzielenia wielomianów została dokładnie omówiona w poniższych nagraniach wideo.

Zadanie 1.

Wykonaj dzielenie poniższych wielomianów:

Zadanie 2.

Wykonaj pisemne dzielenie liczb 86735 : 5.

Zadanie 3.

Wykonaj dzielenie wielomianów (x2 + 4x - 5) : (x - 1)

Zadanie 4.

Wykonaj dzielenie wielomianów (6x2 - x - 2) : (2x + 1)

Zadanie 5.

Wykonaj dzielenie wielomianów (x3 + 9x2 - 20x - 4) : (x - 2)

Zadanie 6.

Wykonaj dzielenie wielomianów (2x7 - 10x5 - 6x4 + 2) : (2x3 - 6)

7. Równość wielomianów

Równość wielomianów

W tym nagraniu wideo wyjaśniam kiedy dwa wielomiany są równe.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

Zadanie 1.

Wielomiany W(x) = ax(x + b)2 i V(x) = x3 + 2x2 + x są równe. Oblicz a i b.

Zadanie 2.

Dla jakich współczynników a i b wielomian W(x) = 7x3 + 3x2 + 26x - 28 jest równy wielomianowi P(x) = ax3 + 3x2 + bx - 28?

Zadanie 3.

Dla jakich współczynników a i b wielomianW(x) = 7x3 + 3x2 + 26x - 28 jest równy wielomianowi P(x) = 7x3 + (2a - b)x2 + (4a + 2b)x -28?

8.1. Równania wielomianowe - wprowadzenie

Oto przykładowe równania wielomianowe:
  • 2x2 + 6x + 1 = 0
  • x3 + 5x2 - 2x - 10 = 0
  • x6 + 4x3 - 2 = 0
  • x5 = 2x2 + x
W równaniach wielomianowych niewiadoma x występuje tylko w potęgach o wykładniku naturalnym.
Równania wielomianowe najczęściej rozwiązujemy szukając miejsc zerowych wielomianu. Przykładowo, żeby znaleźć miejsca zerowe wielomianu: W(x) = x3 + 5x2 - 2x - 10 to trzeba rozwiązać równanie: x3 + 5x2 - 2x - 10 = 0
Żeby rozwiązywać równania tego typu, to musisz nauczyć się:
 1  2  3    Następne