1. Definicja wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględną liczby x oznaczamy symbolem |x|.
Wartość bezwzględna z liczby dodatniej, to ta sama liczba dodatnia.
Przykłady:
  • |6|=6
  • |11,3|=11,3
  • |1+√3|=1+√3
Wartość bezwzględna z liczby ujemnej, to liczba do niej przeciwna.
Przykłady:
  • |-5|=5
  • |-11,3|=11,3
  • |-1-√3|=1+√3
  • |1-√5|=-1+√5
  • |√2-2|=-√2+2
Wartość bezwzględna z zera jest równa zero, czyli: |0| = 0
Definicja Wartością bezwzględną dowolnej liczby rzeczywistej x jest:
  • ta sama liczba rzeczywista x, gdy x ≥ 0
  • liczba -x (przeciwna do x), gdy x < 0
Matematycznie zapiszemy to tak:
Zawsze przed opuszczeniem wartości bezwzględnej musimy ustalić, czy liczba pod nią jest dodatnia, czy ujemna.
Przykłady: Opuść wartość bezwzględną z liczby
  • |3,5-√3|
    Przed opuszczeniem wartości bezwzględnej musimy ustalić, czy liczba 3,5-√3 jest dodatnia, czy ujemna. W tym celu przybliżamy wartość pierwiastka:
    Czyli liczba 3,5-√3 jest dodatnia, zatem opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku:
  • |√2 - √3|
    Przed opuszczeniem wartości bezwzględnej musimy ustalić, czy liczba 2 - √3 jest dodatnia, czy ujemna. W tym celu przybliżamy wartości obu pierwiastków:
    Czyli liczba 2 - √3 jest ujemna, zatem opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku:
  • |π - 3√2|
    Przed opuszczeniem wartości bezwzględnej musimy ustalić, czy liczba π - 3√2 jest dodatnia, czy ujemna. W tym celu przybliżamy wartości liczby π i pierwiastka:
    Czyli liczba π - 3√2 jest ujemna, zatem opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku:
Bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnej wynika, że |x| jest zawsze liczbą nieujemną.
Ponadto, zgodnie z definicją pierwiastka arytmetycznego (który musi być zawsze nieujemny), dla każdej liczby rzeczywistej x> zachodzi:
Przykłady:

Zadanie 1.

Liczba |5 - 7| - |-3 + 4| jest równa

Zadanie 2.

Wartość bezwzględna z liczby liczba x jest równa

Zadanie 3.

Liczba |1,(41) - √2| jest równa

2. Wartość bezwzględna wyrażeń z x-em

Jeżeli wewnątrz wartości bezwzględnej stoi wyrażenie z x-em, to przy jej opuszczaniu powinniśmy rozpatrzyć dwa przypadki.
Przykłady:
przyklady z rozwiązaniami

Należy opuścić wartość bezwzględną:
  • bez zmiany znaku dla tych iksów, dla których wyrażenie pod wartością bezwzględną jest większe lub równe zero.
  • ze zmianą znaku (z minusem) dla tych iksów, dla których wyrażenie pod wartością bezwzględną jest mniejsze od zera.

Zadanie 1.

Wyrażenie ||x| + 1| dla x < 0 jest równe

Zadanie 2.

Wartość wyrażenia |3 - x| - |x + 4| dla x ∈ (3; +∞) jest równa
A. 7 - 2x
B. -2x - 1
C. 7
D. -7

Zadanie 3.

Dla każdej liczby x, spełniającej warunek -3 < x < 0, wyrażenie jest równe

3. Wykres wartości bezwzględnej

Każdy wykres wartości bezwzględnej ma kształt litery V.
Narysujmy najpierw wykres funkcji f(x) = |x|.
Możemy dla ułatwienia sporządzić odpowiednią tabelkę:
x -2 -1 0 1 2
f(x) = |x| 2 1 0 1 2

wykres funkcji y=|x|

Bardzo podobnie wyglądają wykresy funkcji f(x) = |ax|, gdzie a to dowolna liczba, np:
wykres funkcji y=|x|

Żeby narysować wykres funkcji f(x) = a|x + b| + c, to należy przesunąć wykres funkcji f(x) = a|x| o wektor [-b, c]. Spójrzmy na poniższy przykład.
Przykład
Narysujemy wykres funkcji f(x) = |x + 3| + 2.
Musimy zatem przesunąć wykres funkcji f(x) = |x| o wektor [-3, 2].
wykres funkcji y=|x+3|+2
Jeżeli będziesz mieć problemy z narysowaniem dowolnej funkcji, to możesz skorzystać z programu do rysowania wykresów funkcji.

4. Film wprowadzający do pojęcia wartości bezwzględnej

Poniższe materiały łagodnie wprowadzą Cię w świat wartości bezwzględnej. Na początku zostanie podana definicja oraz proste przykłady, a w dalszej części filmu zostaną zaprezentowane rozwiązania nieco trudniejszych zadań.

Zadania z wartością bezwzględną

W tym nagraniu wideo omawiam pojęcie wartości bezwzględnej.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

5. Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej

Interpretacja geometryczna równań z wartością bezwzględną została omówiona w filmie wprowadzającym.
W poniższych materiałach skoncentrujemy na interpretacji geometrycznej nierówności z wartością bezwzględną.

Zadanie 1.

Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność |x + 4| < 5

Zadanie 2.

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności |x - 2| ≥ 3.

Zadanie 3.

Zbiór rozwiązań nierówności |x - 3| ≤ 2 przedstawiony jest na rysunku:

Zadanie 4.

Zbiór rozwiązań nierówności |x + 3| > 4 jest przedstawiony na rysunku

Zadanie 5.

Zbiór rozwiązań nierówności |x - 3| ≥ 1 jest przedstawiony na rysunku

Zadanie 6.

Który z zaznaczonych przedziałów jest zbiorem rozwiązań nierówności |2 - x| ≤ 3.

Zadanie 7.

Zaznacz na osi liczbowej punkty opisane równością |x + 1| = 4.

Zadanie 8.

Zaznacz na osi liczbowej przedział opisany nierównością |x + 1| ≤ 4.

Zadanie 9.

Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.
A.
B.
C.
D.

6. Równania z wartością bezwzględną

Zadania na rozwiązanie równania z wartością bezwzględną są również w dziale Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej.

Zadanie 1.

Liczbami spełniającymi równanie |2x + 3| = 5 są

Zadanie 2.

Wskaż liczbę, która spełnia równanie |3x + 1| = 4x

7. Nierówności z wartością bezwzględną

Zadania z nierówności z wartością bezwzględną są również w dziale Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej.

Zadanie 1.

Wskaż liczbę, która spełnia nierówność |3x - 4| ≤ x +1.

Zadanie 2.

Zbiór (-∞, -8⟩ ∪ ⟨-4, +∞) jest rozwiązaniem nierówności:

Zadanie 3.

Ile rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych ma nierówność: |x + 3| ≤ 0?

Zadanie 4.

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności |x + 4| ≤ 7.

Zadanie 5.

Wskaż liczbę, która spełnia nierówność |1 - 2x| < x

Zadanie 6.

Wskaż nierówność, którą spełnia liczba 5√3

Zadanie 7.

Rozwiązaniem nierówności |x - 2| < 5 jest zbiór

Zadanie 8.

Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π

Zadanie 9.

Suma przedziałów (-∞,-11) ∪ (7,+∞) jest zbiorem rozwiązań nierówności:
A. |x+1|>10
B. |x+2|>9
C. |x-2|>11
D. |x+1|<10

Zadanie 10.

Zbiorem rozwiązań nierówności |x - 2| > 7 jest przedział:

8. Nierówności z więcej niż jedną wartością bezwzględną

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność |2x - 5| - |x + 4| ≤ 2 - 2x.