1. Wprowadzenie do układów równań

Wyrażenie postaci x + 3y = 6 nazywamy równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi. Dwa takie równania połączone klamrą nazywamy układem równań.
Przykładami układów równań są:
przykłady układów równań Rozwiązaniem układu równań nazywamy parę liczb (x, y), która spełnia obydwa równania.
Istnieje kilka sposobów na znalezienie takiego rozwiązania.

2. Metoda podstawiania

Metoda polega na wyznaczeniu z któregoś równania jednej niewiadomej i podstawieniu jej do drugiego równania.
Przykład. Rozwiąż układ równań:
Rozwiązanie
Z pierwszego równania wyliczamy x, a drugie równanie przepisujemy bez zmian:

Teraz podstawiamy wyliczoną wartość (8 - 2y) pod x w drugim równaniu:

Dzięki temu podstawieniu w drugim równaniu mamy już tylko jedną niewiadomą - y. Rozwiązujemy to równanie, a pierwsze przepisujemy bez zmian.




Teraz podstawiamy wyliczoną wartość y = 3 do pierwszego równania:

I ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie:

3. Metoda przeciwnych współczynników

Ta metoda polega na dodawaniu równań stronami, w sytuacji gdy przy tej samej niewiadomej w dwóch równaniach mamy przeciwne współczynniki.
Przykład. Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników:
Rozwiązanie
Na początku drugie równanie pomnożymy stronami przez 2:

Dzięki temu, przy niewiadomej y otrzymaliśmy przeciwne współczynniki (w pierwszym równaniu 2, a w drugim -2). Możemy teraz dodać równania stronami, otrzymując równanie:

Niewiadoma y redukuje się i otrzymujemy jedno równanie z jedną niewiadomą:

Teraz z dowolnego równania (np. x + 2y = 8) wyliczamy y, podstawiając pod x znaną wartość:

Czyli rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

Zadanie 1.

Rozwiąż układ równań

4. Metoda graficzna

Rozwiązanie układu równań tą metodą polega na narysowaniu prostych w układzie współrzędnych. Najpierw należy doprowadzić każde równanie do wzoru funkcji liniowej, tzn.: y = ax + b. Z tej postaci łatwo jest narysować obie proste. Po narysowaniu odczytujemy punkt przecięcia prostych, który jest rozwiązaniem układu równań.
Przykład. Rozwiąż układ równań metodą graficzną:
Rozwiązanie
Przekształcamy oba równania do postaci y = ax + b:

A następnie rysujemy wykresy obu funkcji i odczytujemy punkt przecięcia:

Zatem rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

5. Metoda wyznaczników

W tej metodzie oba równania muszą być zapisane w postaci ax + by = c.
Jeżeli równania są zapisane inaczej, to musimy najpierw przekształcić je do podanej postaci.
Rozwiązanie polega na policzeniu trzech wyznaczników i zastosowaniu dwóch wzorów. Prześledźmy cały algorytm na poniższym przykładzie.
Przykład. Rozwiąż układ równań metodą wyznaczników:
Rozwiązanie
Oba równania są już zapisane w postaci ax + by = c.
Możemy zatem przejść do liczenia trzech wyznaczników W, Wx oraz Wy. Dla ułatwienia zapiszę nasz układ równań jeszcze raz, kolorując współczynniki liczbowe:
Teraz nasze wyznaczniki budujemy z odpowiednich kolumn w taki sposób:
Obliczamy je, mnożąc liczby na krzyż i odejmując od siebie:
Teraz obliczmy rozwiązania układu równań korzystając ze wzorów Cramera:
Zatem w naszym przypadku:
Czyli rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

6. Układy oznaczone, nieoznaczone i sprzeczne

Układ równań może nie mieć w ogóle rozwiązań, może mieć jedno rozwiązanie oraz nieskończenie wiele rozwiązań. W każdej z tych sytuacji ma przypisaną odpowiednią nazwę.
Powiemy, że układ równań jest:
  • oznaczony - jeżeli ma jedno rozwiązanie
  • nieoznaczony - jeżeli ma nieskończenie wiele rozwiązań
  • sprzeczny - jeżeli nie ma rozwiązań
Jak wygląda rozwiązanie graficzne w każdym z tych przypadków?
  • Dla układu oznaczonego proste przecinają się w 1 punkcie.
  • Dla układu nieoznaczonego proste pokrywają się.
  • Dla układu sprzecznego proste są równoległe i nie pokrywają się.

7. Układy równań w zadaniach z treścią

Trudniejsze zadania tekstowe na ułożenie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi znajdziesz na tej stronie.

Zadanie 1.

Jeśli od cyfry dziesiątek liczby trzycyfrowej odejmiemy cyfrę jedności, to otrzymamy 6. Suma cyfry dziesiątek i cyfry jedności tej liczby wynosi 10. Znajdź wszystkie liczby trzycyfrowe podzielne przez 3 spełniające ten warunek.

Zadanie 2.

W pewnej szkole pracuje 20 nauczycieli. Stosunek liczby mężczyzn do liczby kobiet jest równy 1 : 9. Ile kobiet i ilu mężczyzn pracuje w tej szkole?

Zadanie 3.

W dwóch naczyniach jest pewna ilość wody. Gdyby z pierwszego naczynia wylano do zlewu 5 cm3, to woda zawarta w tym naczyniu stanowiłaby połowę ilości wody znajdującej się w drugim naczyniu. Gdyby z drugiego naczynia przelano 10 cm3 wody do pierwszego naczynia, to ilości wody w obu naczyniach byłyby równe. Ile cm3 wody znajduje się w tych naczyniach?

Zadanie 4.

Suma trzech liczb naturalnych jest równa 42. Druga liczba stanowi 75% pierwszej liczby. Trzecia liczba jest piątą częścią sumy pozostałych liczb. Znajdź te liczby.

Zadanie 5.

Oblicz wymiary narysowanego poniżej prostokąta.
rysunek prostokąta

8. Program do rozwiązywania układów równań

W pola należy wpisać współczynniki równań w postaci:
układ równań Współczynnikami mogą być liczby dodatnie, ujemne oraz zero.
Ułamki należy wpisywać używając kropki (np. 4.5).
W przypadku gdy równanie ma postać np. ax = c, to w polu przy y należy wpisać zero, lub pozostawić to pole puste.

x + y =
x + y =

Ten układ równań jest
x =
y =

9. Różne zadania z układów równań

Zadanie 1.

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb

Zadanie 2.

Interpretację geometryczną układu równań przedstawiono na rysunku:

Zadanie 3.

Rozwiązaniem układu równań jest

Zadanie 4.

Rozwiąż układ równań

Zadanie 5.

Układ równań uklad równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli

Zadanie 6.

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (x,y) takich, że

Zadanie 7.

Liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunki: a + b = 3, b + c = 4 i c +a = 5. Wtedy suma a + b + c jest równa

Zadanie 8.

Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. Wskaż ten układ.