1. Trygonometria - wprowadzenie

  • Istnieją 4 funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens i cotangens.
  • Funkcje te działają na kątach.
  • Definiuje się je w trójkącie prostokątnym jako stosunki odpowiednich boków: Definicje funkcji trygonometrycznych:
     
    Pisząc słowami:
     

Uwaga Powyższa definicja dotyczy jedynie kątów ostrych (tzn. < 90°). Dla kątów rozwartych łatwo można rozszerzyć tą definicję, jednak nie wykorzystuje się przy tym trójkąta prostokątnego.

2. Wzory trygonometryczne

Jedynka trygonometryczna:
 
Wzory na tangens i cotangens:
 
Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów:
 
Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego:
 
Funkcje trygonometryczne kąta potrojonego:
 
Wzory redukcyjne:
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych:
 
Sumy i różnice jedności z funkcjami trygonometrycznymi:
 
Różnice kwadratów funkcji trygonometrycznych:
 
Iloczyny funkcji trygonometrycznych:
 

3. Różne zadania z trygonometrii

Trygonometria - typowe zadanie i różne podejścia

W tym nagraniu wideo omawiam typowe zadanie z trygonometrii, w którym mamy daną wartość jednej funkcji trygonometrycznej, a musimy policzyć wartości wszystkich pozostałych funkcji trygonometrycznych.
Zadania tego typu można rozwiązywać na kilka różnych sposobów - np. korzystając z twierdzenia Pitagorasa, albo jedynki trygonometrycznej. Plusy i minusy każdej z tych metod omawiam w tym nagraniu wideo.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

Zadanie 1.

Kąt α jest ostry i cos α = . Wtedy sin α jest równy

Zadanie 2.

Kąt α jest ostry i cosα = . Wtedy

Zadanie 3.

Sinus kąta ostrego α jest równy 3/7. Wówczas cosinus tego kąta jest równy:

Zadanie 4.

Kąt α jest ostry i sinα = 1/4. Wówczas

Zadanie 5.

Kąt α jest ostry i sinα = 0,8. Wtedy cosα jest równy

Zadanie 6.

Kąt α jest ostry i cosα = 0,75. Wtedy sinα jest równy

Zadanie 7.

Kąt α jest ostry i cosα = 5/13. Wtedy

Zadanie 8.

Kąt α jest ostry i . Oblicz sinα i tgα.

Zadanie 9.

Kąt α jest ostry i sinα = √2/2. Wtedy tgα jest równy

Zadanie 10.

Kąt α jest ostry oraz sin(alfa)=2/5

Zadanie 11.

Kąt α jest ostry i sinα = 0,6. Wówczas

Zadanie 12.

Kąt α jest ostry i . Wtedy tgα jest równy

Zadanie 13.

Kąt α jest ostry i . Wówczas cos⁡α jest równy:

Zadanie 14.

Kąt α jest ostry i . Oblicz cosα.

Zadanie 15.

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 i 9. Sinus najmniejszego kąta tego trójkąta jest równy:

Zadanie 16.

Kąt α jest ostry i tgα=2. Oblicz .

Zadanie 17.

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 8 i 6. Sinus większego z kątów ostrych tego trójkąta jest równy

Zadanie 18.

W trójkącie równoramiennym wysokość jest dwa razy dłuższa od podstawy. Wynika stąd, że sinus kąta przy podstawie wynosi:

Zadanie 19.

Liczba sin60° + cos60° jest równa

Zadanie 20.

Liczba tg30° - sin30° jest równa

Zadanie 21.

Kąt α jest ostry i sinα = 3/4. Wartość wyrażenia 2 - cos2α jest równa

Zadanie 22.

Kąt α jest ostry i tgα = 1. Wówczas

Zadanie 23.

Kąt α jest ostry i sinα = 0,75. Wówczas

Zadanie 24.

Kąt α jest ostry oraz sinα = cos47°. Wtedy miara kąta α jest równa.

Zadanie 25.

Kąt α jest kątem ostrym i tgα = 1/2. Jaki warunek spełnia kąt α?

Zadanie 26.

W trójkącie prostokątnym ABC odcinek AB jest przeciwprostokątną i |AB| = 13 oraz |BC| = 12. Wówczas sinus kąta ABC jest równy.

Zadanie 27.

Kąt α jest ostry i . Wartość wyrażenia cos2 - 2 jest równa

Zadanie 28.

Kąt α jest ostry i cosα = 0,9. Wówczas

Zadanie 29.

Kąt α jest ostry i sinα = 0,8. Wówczas

Zadanie 30.

Kąt α jest ostry i sinα = cosα. Wówczas

Zadanie 31.

Wartość wyrażenia sin223° + sin267° jest równa:

Zadanie 32.

Kąt α jest ostry i . Oblicz wartość wyrażenia sin2α - 3cos2α.

Zadanie 33.

Kąt α jest ostry i sinα = . Oblicz 3 + 2tg2α.

Zadanie 34.

Oblicz wartość wyrażenia tg2α - 3cos2α , jeżeli i α jest kątem ostrym.

Zadanie 35.

Kąty ostre α i β trójkąta prostokątnego spełniają warunek sin2α + sin2β + tg2α = 4 . Wyznacz miarę kąta α.

Zadanie 36.

W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarę α. Oblicz sinα⋅cosα.

Zadanie 37.

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość a i b, zaś naprzeciw boku a znajduje się kąt ostry α. Wykaż, że jeśli tgα = 2, to:

Zadanie 38.

Uzasadnij, że jeżeli α jest kątem ostrym, to sin4α + cos2α = sin2α + cos4α.

Zadanie 39.

Kąt α jest ostry i sinα = 1/4. Oblicz 3 + 2tg2α.

Zadanie 40.

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość a. Kąt ostry przy tym boku ma miarę α. Wykaż, że sinα + cosα > 1.

Zadanie 41.

Kąt α jest ostry i . Oblicz wartość wyrażenia cosα⋅sinα.

Zadanie 42.

Rozwiąż równanie cos2x + cosx + 1 = 0 dla x ∈ [0, 2π]..

Zadanie 43.

Rozwiąż równanie cos2x + 2 = 3cosx.

Zadanie 44.

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 4. Kąt ABC rombu ma miarę 120° oraz |AS| = |CS| =  10 i |BS| = |DS|. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi BS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.

Zadanie 45.

Kąt α jest ostry i . Wtedy wartość wyrażenia 2cos2α - 1 jest równa