1. Trygonometria - wprowadzenie

Trygonometria - to dział matematyki, który uczy nas zależności między długościami boków, a miarami kątów wewnętrznych w trójkątach. Rozszerzeniem takiej podstawowej trygonometrii są tzw. funkcje trygonometryczne, którymi zajmujemy się zazwyczaj w oderwaniu od klasycznej geometrii, np. w analizie matematycznej.
W pewnym uproszczeniu możemy powiedzieć, że:
  • Istnieją 4 funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens i cotangens.
  • Funkcje te działają na kątach.
  • Definiuje się je w trójkącie prostokątnym jako stosunki odpowiednich boków.
Trygonometria ma bardzo szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach życia, w których niezbędne jest mierzenie i obliczanie rzeczywistych wielkości.
Mając do dyspozycji jedynie zwykłą miarkę i kątomierz możemy obliczyć wysokość dowolnej góry, lub szerokość rzeki.
Trygonometria jest podstawą do wykonywania wszelkich pomiarów na powierzchni ziemi, umożliwia działanie urządzeń nawigacyjnych (GPS), a także pozwala na prowadzenie badań astronomicznych.
Dzięki tzw. szeregom Fouriera (są to nieskończone sumy funkcji trygonometrycznych - zaawansowane narzędzie analizy matematycznej) możliwe jest przetwarzanie wielu sygnałów, m.in. kompresja muzyki w formacie mp3 oraz grafiki w formacie jpg.

2.1. Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego

Narysujmy dowolny trójkąt prostokątny i oznaczmy jeden z jego kątów ostrych literką α. [obrazek] Literkami a oraz b oznaczyliśmy przyprostokątne trójkąta prostokątnego.
Literką c oznaczyliśmy przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego.
Teraz możemy podać definicje funkcji trygonometrycznych:
Pisząc słowami:
Przykład 1. Podaj wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla zaznaczonego kąta α . [obrazek dla przykładu 1] Rozwiązanie:
Bezpośrednio z rysunku odczytujemy, że:
Przykład 2. Podaj wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla zaznaczonego kąta β . [obrazek dla przykładu 21] Rozwiązanie:
Bezpośrednio z rysunku odczytujemy, że:
Przykład 3. Podaj wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta α zaznaczonego na rysunku. [obrazek dla przykładu 3] Rozwiązanie:
Bezpośrednio z rysunku odczytujemy, że:
Przykład 4. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta α zaznaczonego na rysunku. [obrazek dla przykładu 4] Rozwiązanie:
Na początku musimy obliczyć długość przeciwprostokątnej AB . Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
Zatem:

2.2. Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego - metoda graficzna zapamiętania

Aby obliczyć sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, to:
  • patrzymy najpierw na bok naprzeciwko kąta,
  • potem na przeciwprostokątną.
[obrazek] Aby obliczyć cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, to:
  • patrzymy najpierw na przyprostokątną przy kącie,
  • potem na przeciwprostokątną.
[obrazek] Aby obliczyć tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, to:
  • patrzymy najpierw na bok naprzeciwko kąta,
  • potem na drugą przyprostokątną.
[obrazek] Aby obliczyć cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, to:
  • patrzymy najpierw na przyprostokątną przy kącie,
  • potem na drugą przyprostokątną.
[obrazek]

2.3. Zależności między funkcjami trygonometrycznymi kątów ostrych w trójkącie prostokątnym

Fakt 1. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym są dodatnie.
Uzasadnienie:
Funkcje trygonometryczne kątów ostrych w trójkącie prostokątnym obliczamy jako stosunki odpowiednich boków danego trójkąta. Boki trójkąta mają zawsze długość dodatnią, zatem ich stosunki również są dodatnie.
Fakt 2. Tangens i cotangens są swoimi odwrotnościami, czyli:
albo inaczej:
Fakt 3. Dla trójkąta prostokątnego: [obrazek - fakt 3] mamy:
Uzasadnienie:
Korzystając bezpośrednio z definicji funkcji trygonometrycznych otrzymujemy:
oraz:
Zatem mamy:
Fakt 4. W trójkącie prostokątnym: [obrazek - fakt 4] mamy:
Zatem:
Powyższe wzory to są tzw. wzory redukcyjne dla kąta 90° - α. Otrzymaliśmy je bezpośrednio z równości podanych w Fakcie 3.

2.4. Trójkąt prostokątny 30° 60° 90°

Kąty 30° i 60° mamy w trójkącie prostokątnym, który jest połówką trójkąta równobocznego. [obrazek] Wysokość trójkąta równobocznego o boku a wyraża się wzorem .
Przedstawmy na oddzielnym rysunku sam trójkąt prostokątny: [obrazek] Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych obliczamy:
oraz:
Zatem mamy:
α 30° 60°
sin α
cos α
tg α
ctg α
Przykład 1. Oblicz długość odcinków x i y . [obrazek]
Rozwiązanie:
Z definicji sinusa dla zaznaczonego kąta 60° wiemy, że:
Ponadto wiemy, że , zatem:
Do wyliczenia y skorzystamy z definicji tangensa dla zaznaczonego kąta 60° .
Ponadto wiemy, że . Zatem:
Przykład 2. Oblicz długość odcinków x i y . [obrazek]
Rozwiązanie:
Z definicji sinusa dla zaznaczonego kąta 30° wiemy, że:
Ponadto wiemy, że , zatem:
Do wyliczenia y skorzystamy z definicji cosinusa dla zaznaczonego kąta 30° .
Ponadto wiemy, że . Zatem:

2.5. Trójkąt prostokątny 45° 45° 90°

Trójkąt prostokątny z kątem ostrym 45° możemy uzyskać w kwadracie po narysowaniu przekątnej. [obrazek] Przekątna kwadratu o boku a ma długość a√2 .
Przedstawmy na oddzielnym rysunku sam trójkąt prostokątny: [obrazek] Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych obliczamy:
Przykład 1. Oblicz długość odcinków x i y . [obrazek]
Rozwiązanie:
Na początku zauważmy, że x=7 , bo trójkąt jest prostokątny. Wiemy, że odcinek y jest "tak jakby" przekątną kwadratu o boku długości 7 , zatem y=7\sqrt{2} .
Teraz rozwiążemy ten przykład jeszcze raz, tylko przy wykorzystaniu funkcji trygonometrycznych.
Odcinek x możemy policzyć z tangensa:
Odcinek y obliczymy z sinusa:

2.6. Jedynka trygonometryczna oraz wzory na tangens i cotangens

Twierdzenie 1. (jedynka trygonometryczna) Dla każdego kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym zachodzi równanie:
Dowód:
Weźmy dowolny trójkąt prostokątny i zaznaczmy w nim kąt α . [obrazek] Z definicji funkcji trygonometrycznych wiemy, że:
Zatem:
Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:
Zatem:
Objaśnienie notacji:
Wyrażenie sin2α to po prostu sinα podniesiony po drugiej potęgi. Czyli możemy napisać, że:
Zatem jeżeli np. sinα=2/3 , to: .
Analogicznie interpretujemy oraz wyższe potęgi tych funkcji trygonometrycznych.
Teraz spójrzmy na podstawowe wzory dla tangensa i cotangensa.
Twierdzenie 2. Dla każdego kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym zachodzą związki:
Dowód:
Weźmy dowolny trójkąt prostokątny i zaznaczmy w nim kąt α . [obrazek] Z definicji funkcji trygonometrycznych wiemy, że:
Zatem:
oraz:
a także:
Powyższe wzory możemy wykorzystać do obliczenia wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych, gdy znamy wartość przynajmniej jednej z nich.
Przykład 1. Oblicz sinα, tgα i ctgα jeśli wiesz, że cosα = 1/3 .
Rozwiązanie:
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
Teraz obliczamy tangens:
Teraz obliczamy cotangens:
Przykład 2. Oblicz cosα, tgα i ctgα jeśli wiesz, że sinα = 2/5 .
Rozwiązanie:
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
Teraz obliczamy tangens:
Teraz obliczamy cotangens:
Przykład 3. Oblicz sinα, cosα i ctgα jeśli wiesz, że tgα = 7 .
Rozwiązanie:
Najłatwiej jest wyliczyć cotangens:
Teraz skorzystamy ze wzoru na tangens oraz jedynki trygonometrycznej i ułożymy układ równań z dwiema niewiadomymi. Tymi niewiadomymi będą oczywiście szukane sinα i cosα .
Z pierwszego równania możemy wyliczyć np. sinα :
Teraz wyznaczonego sinusa możemy podstawić do jedynki trygonometrycznej. W rezultacie otrzymamy równanie z jedną niewiadomą ( cosα ):
Teraz wyliczymy sinus korzystając z wyznaczonego wcześniej wzoru:

2.7. Praktyczne zastosowania podstaw trygonometrii

Dzięki trygonometrii możemy obliczyć wiele rzeczywistych wielkości, które są trudne do zmierzenia w inny, bezpośredni sposób.
Przykład 1. Jak zmierzyć wysokość drzewa mając do dyspozycji zwykłą miarkę i narzędzie do mierzenia kątów?
Rozwiązanie:
Znajdujemy na ziemi dowolny punkt A , z którego widać wierzchołek drzewa. [obrazek] Mierzymy odległość punktu A od drzewa (czyli długość odcinka AB ) oraz kąt α pod jakim widzimy wierzchołek drzewa z punktu A . Wysokość |BC| drzewa obliczamy korzystając z definicji tangensa:
Jeżeli nasze pomiary wypadłyby np. tak: , to wysokość drzewa wyniosłaby:
(przybliżoną wartość tangensa dla kąta 40° odczytaliśmy z tablic matematycznych).
Zatem wysokość drzewa dla przyjętych danych, to ok. 13,4 metra.
Przykład 2. Jak zmierzyć szerokość rzeki mając do dyspozycji zwykłą miarkę i narzędzie do mierzenia kątów?
Rozwiązanie:
Załóżmy, że stoimy na brzegu w punkcie A i chcemy zmierzyć odległość do przeciwległego brzegu w punkcie B .
W tym celu idziemy wzdłuż rzeki do dowolnego punktu C , tak aby powstał trójkąt prostokątny ABC . [obrazek] Mierzymy długość odcinka AC oraz kąt α . Z definicji tangensa mamy:
Jeżeli nasze pomiary wypadłyby np. tak: , to szerokość rzeki wyniosłaby:
(przybliżoną wartość tangensa dla kąta 64° odczytaliśmy z tablic matematycznych).
Zatem szerokość rzeki dla przyjętych danych, to ok. 41 metrów.
Przykład 3. Jak zmierzyć wysokość góry mając do dyspozycji zwykłą miarkę i narzędzie do mierzenia kątów?
Rozwiązanie:
Obliczenie wysokości góry jest znacznie trudniejsze od obliczenia wysokości drzewa. Wynika to z tego, że góry zazwyczaj nie są pionowymi ścianami, co uniemożliwia zmierzenie odległości AB . [obrazek] Możemy jedynie zmierzyć dowolną odległość AD u podnóża góry oraz kąty α i β .
Dla uproszczenia rachunków wprowadźmy krótsze oznaczenia dla poszczególnych odcinków.
Niech |AD| = y, |BD| = x, |BC| = h (tak jak na rysunku).
Nasze dane, to: y, α i β (te wartości możemy zmierzyć).
Korzystając z trójkąta ABC mamy:
Korzystając z trójkąta DBC mamy:
Zatem otrzymaliśmy dwa wzory na wysokość h , które możemy teraz porównać i otrzymamy równanie z którego wyliczymy niewiadomą x .
Korzystamy teraz ze wzoru na wysokość h = x tgβ i otrzymujemy:
Jeśli nasze pomiary byłyby np. takie: , to:
Czyli dla przyjętych danych wysokość góry wynosi w przybliżeniu 1080 metrów.

2.8. Tablice wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych

Tabelka dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla najczęściej spotykanych kątów:
α 30° 45° 60° 90°
sin α 0
1
cos α 1
0
tg α 0
1
nie istnieje
ctg α nie istnieje
1
0
Tabelka dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów ostrych:
α 15° 18° 22°30' 30° 45° 60° 75°
sin α
cos α
tg α
1
ctg α
1
Przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych dla wszystkich kątów ostrych:
α sin α cos α tg α ctg α
010nie istnieje
0.01750.99980.017557.29
0.03490.99940.034928.6363
0.05230.99860.052419.0811
0.06980.99760.069914.3007
0.08720.99620.087511.4301
0.10450.99450.10519.5144
0.12190.99250.12288.1443
0.13920.99030.14057.1154
0.15640.98770.15846.3138
10°0.17360.98480.17635.6713
11°0.19080.98160.19445.1446
12°0.20790.97810.21264.7046
13°0.2250.97440.23094.3315
14°0.24190.97030.24934.0108
15°0.25880.96590.26793.7321
16°0.27560.96130.28673.4874
17°0.29240.95630.30573.2709
18°0.3090.95110.32493.0777
19°0.32560.94550.34432.9042
20°0.3420.93970.3642.7475
21°0.35840.93360.38392.6051
22°0.37460.92720.4042.4751
23°0.39070.92050.42452.3559
24°0.40670.91350.44522.246
25°0.42260.90630.46632.1445
26°0.43840.89880.48772.0503
27°0.4540.8910.50951.9626
28°0.46950.88290.53171.8807
29°0.48480.87460.55431.804
30°0.50.8660.57741.7321
31°0.5150.85720.60091.6643
32°0.52990.8480.62491.6003
33°0.54460.83870.64941.5399
34°0.55920.8290.67451.4826
35°0.57360.81920.70021.4281
36°0.58780.8090.72651.3764
37°0.60180.79860.75361.327
38°0.61570.7880.78131.2799
39°0.62930.77710.80981.2349
40°0.64280.7660.83911.1918
41°0.65610.75470.86931.1504
42°0.66910.74310.90041.1106
43°0.6820.73140.93251.0724
44°0.69470.71930.96571.0355
45°0.70710.707111
46°0.71930.69471.03550.9657
47°0.73140.6821.07240.9325
48°0.74310.66911.11060.9004
49°0.75470.65611.15040.8693
50°0.7660.64281.19180.8391
51°0.77710.62931.23490.8098
52°0.7880.61571.27990.7813
53°0.79860.60181.3270.7536
54°0.8090.58781.37640.7265
55°0.81920.57361.42810.7002
56°0.8290.55921.48260.6745
57°0.83870.54461.53990.6494
58°0.8480.52991.60030.6249
59°0.85720.5151.66430.6009
60°0.8660.51.73210.5774
61°0.87460.48481.8040.5543
62°0.88290.46951.88070.5317
63°0.8910.4541.96260.5095
64°0.89880.43842.05030.4877
65°0.90630.42262.14450.4663
66°0.91350.40672.2460.4452
67°0.92050.39072.35590.4245
68°0.92720.37462.47510.404
69°0.93360.35842.60510.3839
70°0.93970.3422.74750.364
71°0.94550.32562.90420.3443
72°0.95110.3093.07770.3249
73°0.95630.29243.27090.3057
74°0.96130.27563.48740.2867
75°0.96590.25883.73210.2679
76°0.97030.24194.01080.2493
77°0.97440.2254.33150.2309
78°0.97810.20794.70460.2126
79°0.98160.19085.14460.1944
80°0.98480.17365.67130.1763
81°0.98770.15646.31380.1584
82°0.99030.13927.11540.1405
83°0.99250.12198.14430.1228
84°0.99450.10459.51440.1051
85°0.99620.087211.43010.0875
86°0.99760.069814.30070.0699
87°0.99860.052319.08110.0524
88°0.99940.034928.63630.0349
89°0.99980.017557.290.0175
90°10nie istnieje0

3. Wzory trygonometryczne

Jedynka trygonometryczna:
 
Wzory na tangens i cotangens:
 
Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów:
 
Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego:
 
Funkcje trygonometryczne kąta potrojonego:
 
Wzory redukcyjne:
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych:
 
Sumy i różnice jedności z funkcjami trygonometrycznymi:
 
Różnice kwadratów funkcji trygonometrycznych:
 
Iloczyny funkcji trygonometrycznych:
 

4. Różne zadania z trygonometrii

Trygonometria - typowe zadanie i różne podejścia

W tym nagraniu wideo omawiam typowe zadanie z trygonometrii, w którym mamy daną wartość jednej funkcji trygonometrycznej, a musimy policzyć wartości wszystkich pozostałych funkcji trygonometrycznych.
Zadania tego typu można rozwiązywać na kilka różnych sposobów - np. korzystając z twierdzenia Pitagorasa, albo jedynki trygonometrycznej. Plusy i minusy każdej z tych metod omawiam w tym nagraniu wideo.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

Zadanie 1.

Kąt α jest ostry i cos α = . Wtedy sin α jest równy

Zadanie 2.

Kąt α jest ostry i cosα = . Wtedy

Zadanie 3.

Sinus kąta ostrego α jest równy 3/7. Wówczas cosinus tego kąta jest równy:

Zadanie 4.

Kąt α jest ostry i sinα = 1/4 . Wówczas
A.
B.
C.
D.

Zadanie 5.

Kąt α jest ostry i sinα = 4/5. Wtedy cosα jest równy

Zadanie 6.

Kąt α jest ostry i cosα = 0,75. Wtedy sinα jest równy

Zadanie 7.

Kąt α jest ostry i cosα = 5/13. Wtedy

Zadanie 8.

Kąt α jest ostry i . Oblicz sinα i tgα.

Zadanie 9.

Kąt α jest ostry i sinα = √2/2. Wtedy tgα jest równy

Zadanie 10.

Kąt α jest ostry oraz sin(alfa)=2/5

Zadanie 11.

Kąt α jest ostry i sinα = 0,6. Wówczas

Zadanie 12.

Kąt α jest ostry i . Wtedy tgα jest równy

Zadanie 13.

Kąt α jest ostry i . Wówczas cos⁡α jest równy:

Zadanie 14.

Kąt α jest ostry i . Oblicz cosα.

Zadanie 15.

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 i 9. Sinus najmniejszego kąta tego trójkąta jest równy:

Zadanie 16.

Kąt α jest ostry i tgα=2. Oblicz .

Zadanie 17.

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 8 i 6. Sinus większego z kątów ostrych tego trójkąta jest równy

Zadanie 18.

W trójkącie równoramiennym wysokość jest dwa razy dłuższa od podstawy. Wynika stąd, że sinus kąta przy podstawie wynosi:

Zadanie 19.

Liczba sin60° + cos60° jest równa

Zadanie 20.

Liczba tg 30° - sin 30° jest równa
A. √3-1
B. -√3/6
C. (√3 - 1)/6
D. (2√3 - 3)/6

Zadanie 21.

Kąt α jest ostry i sinα = 3/4. Wartość wyrażenia 2 - cos2α jest równa

Zadanie 22.

Kąt α jest ostry i tgα = 1. Wówczas

Zadanie 23.

Kąt α jest ostry i sinα = 0,75. Wówczas

Zadanie 24.

Kąt α jest ostry oraz sinα = cos47°. Wtedy miara kąta α jest równa.

Zadanie 25.

Kąt α jest kątem ostrym i tgα = 1/2 . Jaki warunek spełnia kąt α ?
A. α < 30°
B. α = 30°
C. α = 60°
D. α > 60°

Zadanie 26.

W trójkącie prostokątnym ABC odcinek AB jest przeciwprostokątną i |AB| = 13 oraz |BC| = 12 . Wówczas sinus kąta ABC jest równy.
A. 12/13
B. 5/13
C. 5/12
D. 13/12

Zadanie 27.

Kąt α jest ostry i . Wartość wyrażenia cos2 - 2 jest równa

Zadanie 28.

Kąt α jest ostry i cosα = 0,9. Wówczas

Zadanie 29.

Kąt α jest ostry i sinα = 0,8. Wówczas

Zadanie 30.

Kąt α jest ostry i sinα = cosα. Wówczas

Zadanie 31.

Wartość wyrażenia sin223° + sin267° jest równa:

Zadanie 32.

Kąt α jest ostry i . Oblicz wartość wyrażenia sin2α - 3cos2α.

Zadanie 33.

Kąt α jest ostry i sinα = . Oblicz 3 + 2tg2α.

Zadanie 34.

Oblicz wartość wyrażenia tg2α - 3cos2α , jeżeli i α jest kątem ostrym.

Zadanie 35.

Kąty ostre α i β trójkąta prostokątnego spełniają warunek sin2α + sin2β + tg2α = 4 . Wyznacz miarę kąta α.

Zadanie 36.

W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarę α. Oblicz sinα⋅cosα.

Zadanie 37.

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość a i b, zaś naprzeciw boku a znajduje się kąt ostry α. Wykaż, że jeśli tgα = 2, to:

Zadanie 38.

Uzasadnij, że jeżeli α jest kątem ostrym, to sin4α + cos2α = sin2α + cos4α.

Zadanie 39.

Kąt α jest ostry i sinα = 1/4. Oblicz 3 + 2tg2α.

Zadanie 40.

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość a. Kąt ostry przy tym boku ma miarę α. Wykaż, że sinα + cosα > 1.

Zadanie 41.

Kąt α jest ostry i . Oblicz wartość wyrażenia cosα⋅sinα.

Zadanie 42.

Rozwiąż równanie cos2x + cosx + 1 = 0 dla x ∈ [0, 2π]..

Zadanie 43.

Rozwiąż równanie cos2x + 2 = 3cosx.

Zadanie 44.

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 4. Kąt ABC rombu ma miarę 120° oraz |AS| = |CS| =  10 i |BS| = |DS|. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi BS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.

Zadanie 45.

Kąt α jest ostry i . Wtedy wartość wyrażenia 2cos2α - 1 jest równa

Zadanie 46.

W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych jest równa 7, zaś długość przeciwprostokątnej jest równa 8. Zatem tangens mniejszego kąta ostrego w tym trójkącie jest równy:

Zadanie 47.

Maszt telekomunikacyjny rzuca cień, który jest 2 razy krótszy niż wysokość masztu. Oblicz cosinus kąta, pod jakim padają promienie słoneczne.

Zadanie 48.

W trójkącie prostokątnym o bokach 6, 8, 10, tangens najmniejszego kąta jest równy

Zadanie 49.

W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok ma długość 25, a najkrótszy 7. Tangens najmniejszego kąta tego trójkąta jest równy:
 
 
 

Zadanie 50.

Jeżeli jest kątem ostrym oraz , to wartość wyrażenia jest równa

Zadanie 51.

Kąt jest ostry i spełniona jest równość . Wtedy wartość wyrażenia jest równa
A.
B.
C.
D.

Zadanie 52.

Kąt jest ostry oraz . Oblicz wartość wyrażenia .