1. Wprowadzenie do szeregów liczbowych

Żeby dobrze zrozumieć pojęcie szeregów liczbowych, warto wcześniej dobrze opanować takie tematy jak ciągi, ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny, a także granica ciągu.

Wprowadzenie do szeregów liczbowych

W poniższym nagraniu wideo omówiam podstawowe pojęcia związane z szeregami
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

2. Szereg harmoniczny

Szeregiem harmonicznym nazywamy szereg postaci: Szereg harmoniczny jest rozbieżny, a dowód tego faktu został przedstawiony na poniższym nagraniu wideo.

Szereg harmoniczny - dowód rozbieżności

W poniższym nagraniu wideo pokzuję dowód rozbieżności szeregu harmonicznego.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

3. Kryterium porównawcze

Kryterium porównawcze jest bardzo naturalnym i często stosowanym sposobem badania zbieżności szeregów.
Jego ogólna idea polega na porównaniu szeregu, którego zbieżność badamy, z innym znanym szeregiem. Jeżeli np. ustalimy, że badany szereg jest mniejszy od innego szeregu zbieżnego, to również i on musi być zbieżny. Dokładne sformułowanie tego kryterium jest następujące:
Kryterium porównawcze Niech będą dane dwa szeregi dodatnie: Jeżeli dla prawie wszystkich n zachodzi anbn, to:
  • ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność szeregu (A),
  • z rozbieżności szeregu (A) wynika rozbieżność szeregu (B).
W poniższych zadaniach podczas badania zbieżności szeregów wykorzystano właśnie kryterium porównawcze.

Zadanie 1.

Zbadaj zbieżność szeregu

Zadanie 2.

Zbadaj zbieżność szeregu

Zadanie 3.

Zbadaj zbieżność szeregu

Zadanie 4.

Zbadaj zbieżność szeregu

4. Kryterium Cauchy'ego

Kryterium Cauchy'ego często wykorzystuje się podczas badania zbieżności szeregów, we wzorach których występują potęgi n-tego stopnia.
Kryterium Cauchy'ego Niech będzie dany szereg: Rozważmy ciąg o wyrazach .
Wówczas:
  • jeżeli istnieje taka liczba q < 1, że , to szereg jest zbieżny.
  • jeżeli od pewnego momentu , to szereg jest rozbieżny.

Zadanie 1.

Zbadaj zbieżność szeregu .

5. Kryterium d'Alemberta

Często przy badaniu zbieżności szeregów przydatne bywa następujące kryterium:
Kryterium d'Alemberta Niech będzie dany szereg: Rozważmy ciąg o wyrazach .
Wówczas:
  • jeżeli istnieje taka liczba q < 1, że , to szereg jest zbieżny.
  • jeżeli od pewnego momentu , to szereg jest rozbieżny.

Zadanie 1.

Zbadaj zbieżność szeregu

Zadanie 2.

Zbadaj zbieżność szeregu

Zadanie 3.

Zbadaj zbieżność szeregu

Zadanie 4.

Zbadaj zbieżność szeregu

Zadanie 5.

Zbadaj zbieżność szeregu

6. Sposoby na obliczanie sumy szeregu

Najłatwiejsze w szumowaniu są szeregi geometryczne, tzn. szeregi postaci: Dla |q| < 1 zachodzi wzór: Dla |q| ≥ 1 szereg geometryczny jest rozbieżny.
Dla innych szeregów dokładne obliczenie sumy jest zazwyczaj zadaniem bardzo trudnym, dlatego przeważnie ograniczamy się jedynie do badania ich zbieżności.
Okazuje się, że czasami można we w miarę prosty sposób obliczyć sumę szeregu liczbowego, przy wykorzystaniu pewnych sprytnych metod. Metody te zostały omówione w rozwiązaniach wideo poniższych zadań.

Zadanie 1.

Oblicz sumę szeregu .

Zadanie 2.

Oblicz sumę szeregu .

Zadanie 3.

Oblicz sumę szeregu .

Zadanie 4.

Oblicz sumę szeregu .

Zadanie 5.

Oblicz sumę szeregu .