1. Stereometria - stosowane oznaczenia

Wiele wzorów podanych w tym rozdziale korzysta z następujących oznaczeń:
  • a, b, c - boki (długości boków)
  • h - wysokość
  • d - przekątna
  • Pp - pole podstawy
  • Pb - pole ściany bocznej
  • Pc - pole powierzchni całkowitej
  • V - objętość
  • r - promień kuli wpisanej w bryłę
  • R - promień kuli opisanej na bryle

2.1. Definicja graniastosłupa

Graniastosłupem nazywamy wielościan, którego wszystkie wierzchołki są położone na dwóch równoległych płaszczyznach. Płaszczyzny te nazywamy podstawami graniastosłupa. Wszystkie krawędzie graniastosłupa leżące poza podstawami są do siebie równoległe.

2.2. Rodzaje graniastosłupów

Graniastosłupy można podzielić na dwa rodzaje:
  • graniastosłupy proste
    Wszystkie ściany są prostokątami, a krawędzie ścian bocznych są prostopadłe do podstaw.
  • graniastosłupy pochyłe
    Ściany są równoległobokami. Bryła jest pochylona.
rysunek Graniastosłup prawidłowy - to taki graniastosłup prosty, który ma w podstawie wielokąt foremny.

2.3. Prostopadłościan

Prostopadłościan jest szczególnym rodzajem graniastosłupa. Każda jego ściana jest prostokątem, a dowolne dwie ściany są do siebie równoległe, albo prostopadłe.
Prostopadłościan wygląda zawsze jak takie typowe pudełko.
rysunek prostopadłościanu z oznaczeniami
Wzory na pole powierzchni prostopadłościanu:
Wzory na objętość prostopadłościanu:
Wzory na długość przekątnej prostopadłościanu:

Zadanie 1.

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5x3x4 jest równe

Zadanie 2.

Przekątna prostopadłościanu o wymiarach 2 x 3 x 5 ma długość

Zadanie 3.

Przekątna prostopadłościanu o wymiarach 3 na 4 na 5 ma długość

Zadanie 4.

Dany jest prostopadłościan o bokach długości 1 cm, 2 cm i 3 cm. Przekątna tego prostopadłościanu ma długość

Zadanie 5.

W prostopadłościanie ABCDEFGH mamy: |AB| = 5, |AD| = 4, |AE| = 3. Który z odcinków AB, BG, GE, EB jest najdłuższy?

Zadanie 6.

Wykaż, że przekątna prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, c ma długość sqrt(a^2+b^2+c^2).

Zadanie 7.

Dany jest prostopadłościan, którego podstawą jest kwadrat o krawędzi długości x + 5, a wysokość ma długość 2x + 4. Podaj wzór, w postaci wyrażenia algebraicznego, opisujący pole powierzchni tego prostopadłościanu. Przekształć to wyrażenie do najprostszej postaci.

2.4. Sześcian

Sześcian jest szczególnym przypadkiem prostopadłościanu, w którym wszystkie ściany są w kształcie identycznych kwadratów. rysunek sześcianu z oznaczeniami
Wzory na pole powierzchni sześcianu:
Wzory objętość sześcianu:
Długość przekątnej sześcianu:
Promień kuli wpisanej (r) w sześcian:
Promień kuli opisanej (R) na sześcianie:

Zadanie 1.

Objętość sześcianu jest równa 27 cm3. Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu?

Zadanie 2.

Objętość sześcianu, w którym przekątna ściany bocznej ma długość , jest równa

Zadanie 3.

Suma długości krawędzi sześcianu wynosi 24 cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:

Zadanie 4.

Objętość sześcianu jest równa 64. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

Zadanie 5.

Objętość sześcianu jest równa 27. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

Zadanie 6.

Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe 4. Objętość tego sześcianu jest równa

Zadanie 7.

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 24. Objętość tego sześcianu jest równa

Zadanie 8.

Objętość sześcianu jest równa 27. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Zadanie 9.

Dany jest sześcian ABCDEFGH. Siatką ostrosłupa czworokątnego ABCDE jest

Zadanie 10.

Krawędź sześcianu ma długość 9. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Zadanie 11.

Przekątna sześcianu ma długość 3. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

Zadanie 12.

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 24 cm2. Objętość tego sześcianu jest równa

Zadanie 13.

Dany jest sześcian o przekątnej długości 4√3. Objętość tego sześcianu wynosi

Zadanie 14.

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Zadanie 15.

Długość krawędzi sześcianu zwiększono o 20%. Oblicz, o ile procent wzrosła objętość tego sześcianu.

Zadanie 16.

Przekątna sześcianu ma długość 9. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.

Zadanie 17.

Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu, a jego płaszczyzną podstawy.

Zadanie 18.

Punkty K, L i M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM.
Rysunek sześcianu do zadania 33

Zadanie 19.

Krawędź sześcianu jest o 4 krótsza od jego przekątnej. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.

Zadanie 20.

Długość krawędzi sześcianu jest o 2 krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.

2.5. Różne zadania z graniastosłupów

Zadanie 1.

Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o 10 większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest

Zadanie 2.

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 7 jest równa 28√3. Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa

Zadanie 3.

Graniastosłup ma 15 krawędzi. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup?

Zadanie 4.

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6, a kąt nachylenia jego przekątnej do płaszczyzny podstawy jest równy 60°. Długość tej przekątnej jest równa

Zadanie 5.

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa 90. Wtedy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

Zadanie 6.

Graniastosłup ma 2n+6 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

Zadanie 7.

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD, BE i CF. Oblicz pole trójkąta ABF wiedząc, że |AB| =10 i |CF| = 11. Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na nim trójkąt ABF.

Zadanie 8.

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD, BE i CF (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy AB jest równa 8, a pole trójkąta ABF jest równe 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zadanie 9.

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC podstawy ma długość 4. Kąt ACE jest równy 60°. Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE przedstawionego na poniższym rysunku.

Zadanie 10.

Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDA1B1C1D1 ma długość 2√219, a krawędź podstawy - 10√2. Wyznacz:
  • Wysokość graniastosłupa.
  • Pole trójkąta EFG, którego wierzchołkami są środki trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka podstawy.

Zadanie 11.

Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 24. Wtedy liczba wszystkich jego wierzchołków jest równa

3.6. Definicja ostrosłupa

Ostrosłupem nazywamy taki wielościan, który ma jedną podstawę, a wszystkie ściany boczne zbiegają się w jednym punkcie zwanym wierzchołkiem.

3.7. Ostrosłup dowolny - wzory

Ostrosłup może mieć w podstawie dowolny wielokąt. Mówimy, że ostrosłup jest prawidłowy jeżeli ma w podstawie wielokąt foremny.
rysunek ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
Wzory na pole powierzchni i objętość ostrosłupa:
gdzie:
  • Pp - pole wielokąta znajdującego się w podstawie ostrosłupa
  • Pb - suma pól trójkątów tworzących ściany boczne ostrosłupa

3.8. Ostrosłup prawidłowy czworokątny

Ostrosłup prawidłowy czworokątny - to taki ostrosłup, który ma w podstawie czworokąt foremny, czyli kwadrat. Wierzchołek takiego ostrosłupa leży dokładnie nad środkiem podstawy. W związku z tym ostrosłup prawidłowy czworokątny ma cztery identyczne ściany boczne, które są trójkątami równoramiennymi.
Spodek wysokości ostrosłupa (H) leży na przecięciu przekątnych kwadratu w podstawie.
rysunek ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
Wzory na pole powierzchni i objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego:

gdzie:
  • h - wysokość trójkąta tworzącego ścianę boczną ostrosłupa
  • Pp - pole podstawy ostrosłupa, czyli pole kwadratu o boku a
  • Pb - suma pól trójkątów równoramiennych tworzących ściany boczne ostrosłupa

Zadanie 1.

Kąt α nachylenia ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy zaznaczony jest na rysunku:

Zadanie 2.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość 5 cm, a krawędź podstawy √8 cm. Wówczas cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy:

Zadanie 3.

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100 cm2, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 260 cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 4.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD i wierzchołku S trójkąt ACS jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).

Zadanie 5.

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC podstawy ma długość 4. Kąt ACE jest równy 60°. Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE przedstawionego na poniższym rysunku.

Zadanie 6.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Pole trójkąta równoramiennego ACS jest równe 120 oraz |AC| : |AS| = 10 : 13. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Zadanie 7.

Piramida Cheopsa ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Każda ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem 52°, a pole powierzchni ściany bocznej jest równe 21 550 m2. Oblicz objętość piramidy. Wynik zapisz w postaci a⋅10k, gdzie 1 ≤ a < 10 i k jest liczbą całkowitą.

Zadanie 8.

Piramida ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość jest równa 6, a długość krawędzi bocznej jest równa 2√15. Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej piramidy do podstawy.

Zadanie 9.

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 40°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 10.

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa √2. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 11.

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 1, a wysokość jest równa 2. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

3.9. Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Ostrosłup prawidłowy trójkątny - to taki ostrosłup, który ma w podstawie trójkąt równoboczny. Wierzchołek takiego ostrosłupa leży dokładnie nad środkiem podstawy. W związku z tym ostrosłup prawidłowy trójkątny ma trzy identyczne ściany boczne, które są trójkątami równoramiennymi.
Spodek wysokości ostrosłupa (H) leży na przecięciu dwusiecznych (które są jednocześnie wysokościami i środkowymi) trójkąta równobocznego w podstawie.
rysunek
Wzory na pole powierzchni i objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego:

gdzie:
  • h - wysokość trójkąta tworzącego ścianę boczną ostrosłupa
  • Pp - pole podstawy ostrosłupa, czyli pole trójkąta równobocznego o boku a
  • Pb - suma pól trójkątów równoramiennych tworzących ściany boczne ostrosłupa

Zadanie 1.

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe 24, a kąt płaski ściany bocznej przy podstawie ma miarę α i tgα = 2. Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

Zadanie 2.

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi jest równa 4. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 3.

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS (tak jak na rysunku) jest równa 72, a promień okręgu wpisanego w podstawę ABC tego ostrosłupa jest równy 2. Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.
 1  2    Następne