1. Wprowadzenie do równań liniowych

Umiejętność rozwiązywania równań jest w matematyce bardzo ważna. Za ich pomocą można rozwiązywać wiele skomplikowanych zadań.
Żeby nauczyć się rozwiązywać równania, warto wcześniej dobrze zrozumieć wyrażenia algebraiczne.
Najprostszymi równaniami sa właśnie równania liniowe.
Równanie - to dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości, np.: Przykład równania liniowego Każde równanie ma lewą i prawą stronę.
Rozwiązanie równania polega na znalezieniu takiej liczby x, która po podstawieniu do równania, da po prawej i po lewej stronie taki sam wynik.
Żeby rozwiązać równanie, to należy przekształcanie je w taki sposób, żeby po jednej jego stronie stała tylko sama niewiadoma x, a po drugiej stronie tylko liczba.
Doprowadzić do takiej sytuacji można poprzez:
  • Dodawanie lub odejmowanie od obu stron równania takiej samej liczby (lub wyrażenia z x-em).
  • Dzielenie lub mnożenie obu stron równania przez tą samą liczbę.
Przykład 1. Rozwiąż równanie 3x + x - 1 = 2x + 5.
Rozwiązanie:
Na początku uprościmy lewą stronę równania dodając wyrażenia z x-em:
3x + x - 1 = 2x + 5 4x - 1 = 2x + 5 Teraz od obu stron równania odejmiemy wyrażenie 2x, żeby po prawej stronie pozbyć się wyrażeń z x-em.
4x - 1 - 2x = 2x + 5 - 2x 2x - 1 = 5 Teraz do obu stron równania dodamy liczbę 1, żeby po lewej stronie zostało samo wyrażenie z x-em.
2x - 1 + 1 = 5 + 1 2x = 6 Teraz dzielimy obie strony równania przez liczbę 2, żeby po lewej stronie został sam x. 2x : 2 = 6 : 2 x = 3 Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest liczba x = 3.
Cała metoda rozwiązywania równań linowych została dokładnie wyjaśniona w poniższym nagraniu wideo.

Równania liniowe - metoda rozwiązywnia

W tym nagraniu wideo pokazuję jak rozwiązywać równania liniowe.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

2. Zadania na rozwiązywanie równań

Zadanie 1.

Rozwiązaniem równania 3(2 - 3x) = x - 4 jest

Zadanie 2.

Która z liczb jest rozwiązaniem równania 2(x - 1) + x = x - 3(2 - 3x)?

Zadanie 3.

Która z liczb jest rozwiązaniem równania 5x - 7 = 0∙(x + 11) - 2∙(1 - 3x)?

Zadanie 4.

Rozwiązanie równania x(x + 3) - 49 = x(x - 4) należy do przedziału

Zadanie 5.

Rozwiązaniem równania (3x-1)/(7x+1)=2/5 jest

Zadanie 6.

Rozwiązaniem równania jest liczba:

Zadanie 7.

Rozwiąż równanie

Zadanie 8.

Rozwiązaniem równania jest liczba

Zadanie 9.

Rozwiązaniem równania jest liczba
A.
B.
C.
D.

3. Równania tożsamościowe

Równania tożsamościowe - to takie równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań.
Jeżeli w równaniu tożsamościowym podstawimy pod x-a dowolną liczbę, to otrzymamy zawsze równanie prawdziwe.
Przykłady równań tożsamościowych:
Przykłady równań tożsamościowych
Dokładniejsze omówienie tego pojęcia znajduje się w poniższym materiale wideo.

Równanie tożsamościowe

W tym nagraniu wideo omawiam pojęcie równania tożsamościowego.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją
Na uwagę zasługuje jeszcze fakt, że pojęcie równania tożsamościowego dotyczy wszystkich możliwych równań - także tych nieliniowych.

Zadanie 1.

Sprawdź czy poniższa równość jest tożsamością:

4. Równania sprzeczne

Równanie sprzeczne - to takie równanie, którego nie spełnia żadna liczba rzeczywista.
Przykłady równań sprzecznych:
Przykłady równań sprzecznych
W poniższym materiale wideo znajdziesz definicję równania sprzecznego, przykłady ilustrujące to zagadnienie oraz rozwiązanie zadania z parametrem.

Równanie sprzeczne

W tym nagraniu wideo omawiam pojęcie równania sprzecznego.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją
Na uwagę zasługuje jeszcze fakt, że pojęcie równania sprzecznego dotyczy wszystkich możliwych równań - także tych nieliniowych.

5. Równania w zadaniach z treścią

Wiele zadań matematycznych polega na dobrym zrozumieniu treści i ułożeniu do niej prawidłowego równania, które następnie trzeba rozwiązać. Kilka takich zadań zostało przedstawionych poniżej.

Zadanie 1.

Odcinek długości 2,4 m podzielono w stosunku 2:3:5. Najdłuższy z wyznaczonych odcinków ma długość

Zadanie 2.

Pole prostokąta jest równe 40. Stosunek długości jego boków jest równy 2:5. Dłuższy bok tego prostokąta jest równy

Zadanie 3.

Drut o długości 27 metrów pocięto na trzy części, których stosunek długości jest równy 2:3:4. Jaką długość ma najkrótsza z tych części?

Zadanie 4.

Trzy kamienie ważą łącznie 26 kg. Stosunek ich wag jest równy 1:5:7. Ile waży najcięższy z kamieni?

Zadanie 5.

Kasia kupiła w sklepie 4 bluzki. Stosunek ich cen jest równy 2:3:6:15. Jaka jest różnica w cenie między najdroższą a najtańszą bluzką, jeżeli wiadomo, że wszystkie kosztowały łącznie 390 zł?

Zadanie 6.

Jeden kąt trójkąta ma miarę 54°. Z pozostałych dwóch kątów tego trójkąta jeden jest 6 razy większy od drugiego. Miary pozostałych kątów są równe

Zadanie 7.

Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: „Ile osób liczy twoja rodzina?” Wyniki przedstawiono w tabeli:
Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa 4. Wtedy liczba x jest równa

Zadanie 8.

Pierwsza część trasy ,którą pokonał autobus pokryta była gołoledzią. Po ustąpieniu gołoledzi prędkość autobusu wzrosła o 30%. Gdyby cała trasa była pokryta gołoledzią autobus potrzebował by na pokonanie drugiej jej części o pół godziny więcej niż przy dobrych warunkach. W jakim czasie autokar pokonał drugą część trasy po ustąpieniu gołoledzi?