1. Wprowadzenie do równań kwadratowych

Przed rozpoczęciem nauki o równaniach kwadratowych, warto dobrze opanować rozwiązywanie zwykłych równań liniowych.
W równaniach liniowych niewiadoma x występuje zawsze w pierwszej potędze.
W przypadku równań kwadratowych niewiadoma x pojawia się w drugiej potędze, czyli x2 (czytamy: iks kwadrat).
Oto przykładowe równania kwadratowe:
Rozwiązanie równania kwadratowego (tak jak każdego innego) polega na wyznaczeniu wszystkich liczb, które spełniają dane równanie (czyli po podstawieniu pod x-a dadzą równość prawdziwą).
Na przykład pierwsze z powyższych równań jest spełnione przez dwie liczby - przez liczbę 2 oraz przez liczbę -2. Każda z tych liczb podstawiona do równania x2 = 4 da równość prawdziwą: 4 = 4.
Zatem równanie kwadratowe x2 = 4 ma dwa rozwiązania: x = 2 lub x = -2.
Jak widać na powyższym przykładzie, równanie kwadratowe może mieć 2 rozwiązania (podczas gdy równanie liniowe mogło mieć co najwyżej jedno rozwiązanie). Niektóre równania kwadratowe mają jedno rozwiązanie (np. x2 = 0), a niektóre w ogóle nie mają rozwiązań (np. x2 = -1).
Równania kwadratowe można rozwiązywać na wiele różnych sposobów.
Najbardziej popularny jest sposób "z deltą", jednak nie zawsze jest on najszybszy. Wiele równań kwadratowych można rozwiązywać bez delty, praktycznie od razu "zgadując" wynik.
Właśnie te prostsze metody omówimy sobie w poniższym rozdziale.

2. Proste równania kwadratowe

W tym rozdziale pokażemy sobie jak można w łatwy sposób rozwiązywać wiele prostych równań kwadratowych. Podzielimy sobie równania kwadratowe na kilka typów i dla każdego z nich przećwiczymy odpowiednią metodę.
Równanie kwadratowe typu:
x2 = a
To jest najprostszy rodzaj równania kwadratowego. Literą a oznaczyliśmy dowolną liczbę rzeczywistą.
W zależności od liczby a równanie może mieć dwa, jedno lub zero rozwiązań.
Jeżeli:
  • a > 0, to równanie ma dwa rozwiązania: x = √a oraz x = -√a,
  • a = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie: x = 0,
  • a < 0, to równanie nie ma rozwiązań.
Przykład 1. Rozwiąż równanie x2 = 9.
Rozwiązanie:
Po prawej stronie równania mamy liczbę dodatnią, zatem to równanie ma dwa rozwiązania. Wyciągamy pierwiastek z liczby 9 otrzymując rozwiązania:
x = 3 lub x = -3.
Przykład 2. Rozwiąż równanie x2 = 64.
Rozwiązanie:
Po prawej stronie mamy liczbę dodatnią, zatem to równanie ma dwa rozwiązania. Wyciągamy pierwiastek z liczby 64 otrzymując rozwiązania:
x = 8 lub x = -8.
Przykład 3. Rozwiąż równanie x2 = 5.
Rozwiązanie:
Podobnie jak w poprzednich przykładach po prawej stronie równania mamy liczbę dodatnią, zatem będą dwa rozwiązania.
W tym przypadku jednak pierwiastek z 5 nie jest liczbą całkowitą, dlatego rozwiązania zapiszemy po prostu:
x = √5 lub x = -√5.
Przykład 4. Rozwiąż równanie x2 - 3 = 1.
Rozwiązanie:
Na pierwszy rzut oka to równanie wydaje się inne od pozostałych, jednak w rzeczywistości daje się łatwo przekształcić do postaci x2 = a. Przenosimy po prostu liczbę -3 na prawą stronę:
x2 - 3 = 1
x2 = 1 + 3
x2 = 4
x = 2 lub x = -2
Przykład 5. Rozwiąż równanie 10 + x2 = 11.
Rozwiązanie:
Na początku postępujemy tak samo jak w poprzednim przykładzie i przenosimy liczbę 10 na prawą stronę (żeby po lewej stronie zostało samo x2).
10 + x2 = 11
x2 = 11 - 10
x2 = 1
x = 1 lub x = -1
Przykład 6. Rozwiąż równanie 2⋅(11 - x2) = 18.
Rozwiązanie:
Na początku możemy podzielić równanie stronami przez 2:
2⋅(11 - x2) = 18   //:2
11 - x2 = 9
Kontynuujemy przekształcenia i doprowadzamy równanie do postaci x2 = a, a następnie liczymy standardowo:
-x2 = 9 - 11
-x2 = -2
x2 = 2
x = √2 lub x = -√2.
Przykład 7. Rozwiąż równanie 3⋅(x2 + 1) - 1 = 2.
Rozwiązanie:
Przekształcamy i doprowadzamy równanie do postaci x2 = a:
3⋅(x2 + 1) - 1 = 2
3x2 + 3 - 1 = 2
3x2 + 2 = 2
3x2 = 2 - 2
3x2 = 0   //:3
x2 = 0
x = 0
To równanie ma tylko jedno rozwiązanie, ponieważ jedynie 02 = 0.
Przykład 8. Rozwiąż równanie 1 = 2x2 + 7.
Rozwiązanie:
Przekształcamy i doprowadzamy równanie do postaci x2 = a:
1 = 2x2 + 7
-2x2 = 7 - 1
-2x2 = 6   //:(-2)
x2 = -3
brak rozwiązań (równanie sprzeczne)
To równanie nie ma rozwiązań, ponieważ dowolna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni (nie da się osiągnąć -3).

Równanie kwadratowe typu:
x2 + ax = 0
Ten typ równania charakteryzuje się tym, że oprócz samego wyrażenia x2 występuje jeszcze x w potędze pierwszej. Nie może za to pojawić się tutaj liczba wolna (różna od zera)
Równania tego typu można najprościej rozwiązać rozkładając lewą stronę na iloczyn czynników. Aby to zrobić wystarczy po prostu wyciągnąć x-a przed nawias:
x2 + ax = 0
x(x + a) = 0
Lewą stronę równania mamy już zapisaną w postaci iloczynowej, a po prawej stronie stoi tylko zero.
Aby rozwiązać takie równanie, wystarczy wiedzieć, że iloczyn dwóch czynników może być równy zero, jeżeli przynajmniej jeden z tych czynników będzie równy zero. Na poniższym obrazkowym schemacie jeden czynnik zaznaczono kolorem niebieskim, a drugi kolorem zielonym:
Zatem rozwiązaniami równania x(x + a) = 0 są:
x = 0   oraz   x = -a
Przykład 9. Rozwiąż równanie x2 + x = 0.
Rozwiązanie:
Wyciągamy wspólny czynnik (x) przed nawias:
x2 + x = 0
x(x + 1) = 0
Teraz każdy z czynników przyrównujemy do zera:
x = 0 lub x + 1 = 0
x = 0 lub x = -1
Przykład 10. Rozwiąż równanie x2 - 2x = 0.
Rozwiązanie:
Wyciągamy wspólny czynnik (x) przed nawias:
x2 - 2x = 0
x(x - 2) = 0
Teraz każdy z czynników przyrównujemy do zera:
x = 0 lub x - 2 = 0
x = 0 lub x = 2
Przykład 11. Rozwiąż równanie x2 = 7x.
Rozwiązanie:
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i wyciągamy wspólny czynnik przed nawias:
x2 = 7x
x2 - 7x = 0
x(x - 7) = 0
Teraz każdy z czynników przyrównujemy do zera:
x = 0 lub x - 7 = 0
x = 0 lub x = 7
Przykład 12. Rozwiąż równanie 12x = 3x2.
Rozwiązanie:
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i wyciągamy wspólny czynnik przed nawias:
12x = 3x2
12x - 3x2 = 0
3x(4 - x) = 0
Teraz każdy z czynników przyrównujemy do zera:
3x = 0  lub  4 - x = 0
x = 0  lub  x = 4

Równanie kwadratowe dane w postaci iloczynowej
(x - a)(x - b) = 0
Równania tego typu rozwiązuje się praktycznie bez liczenia. Wystarczy jedynie znać zasadę, o której powiedzieliśmy sobie przy omawianiu poprzedniego typu.
Zasada ta mówi, że iloczyn dwóch nawiasów (czynników) może być równy zero, jeżeli przynajmniej jeden z tych nawiasów jest równy zero. Żeby zatem rozwiązać równanie tego typu, to wystarczy przyrównać oba nawiasy do zera i sprawdzić kiedy (dla jakich x-ów) zeruje się każdy z nich. Jak widać równania tego typu mają zawsze dwa rozwiązania. Jedynym wyjątkiem jest sytuacja, gdy oba nawiasy są identyczne - wtedy oba rozwiązania są takie same, czyli tak naprawdę mamy jedno rozwiązanie.
Przykład 13. Rozwiąż równanie (x - 2)(x - 5) = 0.
Rozwiązanie:
Zamieniamy równanie kwadratowe na dwa proste równania liniowe, przyrównując oba nawiasy do zera:
(x - 2)(x - 5) = 0
x - 2 = 0   lub   x - 5 = 0
x = 2   lub   x = 5
Przykład 14. Rozwiąż równanie (x - 13)(x - √2) = 0.
Rozwiązanie:
Zamieniamy równanie kwadratowe na dwa równania liniowe, przyrównując oba nawiasy do zera:
(x - 13)(x - √2) = 0
x - 13 = 0   lub   x - √2 = 0
x = 13   lub   x = √2
Przykład 15. Rozwiąż równanie 5(x - 3)(x + 4) = 0.
Rozwiązanie:
Możemy na początku podzielić równanie stronami przez 5. Nie jest to jednak konieczne, ponieważ po lewej stronie mamy już iloczyn (tym razem trzech czynników), który ma szanse się wyzerować tylko wtedy, gdy pierwszy lub drugi nawias będzie równy zero.
5(x - 3)(x + 4) = 0
x - 3 = 0   lub   x + 4 = 0
x = 3   lub   x = -4
Przykład 16. Rozwiąż równanie (6x - 18)(10x - 5) = 0.
Rozwiązanie:
Analogicznie jak w przykładach poprzednich - zamieniamy równanie kwadratowe na dwa proste równania liniowe, przyrównując oba nawiasy do zera:
(6x - 18)(10x - 5) = 0
6x - 18 = 0   lub   10x - 5 = 0
6x = 18   lub   10x = 5
x = 3   lub   x = 0,5

Równanie kwadratowe dane w postaci iloczynowej II
(x - a)2 = 0
Ten typ równania kwadratowego jest szczególnym przypadkiem (wcześniej omawianej) klasycznej postaci iloczynowej. Łatwo można go bowiem do takiej postaci przekształcić: W takim przypadku nie ma potrzeby przyrównywać do zera obu nawiasów (bo są identyczne). Piszemy po prostu: Przykład 17. Rozwiąż równanie (x - 1)2 = 0.
Rozwiązanie:
Przyrównujemy nawias do zera:
(x - 1)2 = 0
x - 1 = 0
x = 1
Przykład 18. Rozwiąż równanie (x + 17)2 = 0.
Rozwiązanie:
Przyrównujemy nawias do zera:
(x + 17)2 = 0
x + 17 = 0
x = -17
Przykład 19. Rozwiąż równanie (2x - 6)2 = 0.
Rozwiązanie:
Podobnie jak w przykładach poprzednich - przyrównujemy nawias do zera:
(2x - 6)2 = 0
2x - 6 = 0
2x = 6
x = 3
Przykład 20. Rozwiąż równanie (x - √5)2 = 0.
Rozwiązanie:
Podobnie jak w przykładach poprzednich - przyrównujemy nawias do zera:
(x - √5)2 = 0
x - √5 = 0
x = √5

3. Równania kwadratowe w postaci ogólnej

Równaniem kwadratowym w postaci ogólnej nazywamy równanie:
ax^2 + bx + c = 0 W powyższym wzorze literki a, b, c są współczynnikami liczbowymi.
Równania kwadratowe zapisane w postaci ogólnej zazwyczaj ciężko jest rozwiązać sprytnie, w jednej linijce (tak jak to robiliśmy w poprzednim rozdziale). W takim przypadku zawsze możemy się posłużyć metodą delty.
Deltę oznaczamy symbolem Δ i obliczamy ze wzoru:
wzór na deltę W zależności od tego jaka nam wyjdzie delta mamy różną liczbę rozwiązań.
  • Jeżeli delta wyjdzie większa od zera (Δ > 0), to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania: wzory na pierwiastki równania kwadratowego
  • Jeżeli delta wyjdzie równa zero (Δ = 0), to równanie ma jedno rozwiązanie: wzór na pierwiastek równania kwadratowego dla delty = 0
  • Jeżeli delta wyjdzie mniejsza od zera (Δ < 0), to równanie kwadratowe nie ma rozwiązań.
Z rozwiązywaniem równań kwadratowych metodą delty możesz zapoznać się przerabiając poniższe przykłady.

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie kwadratowe 2x^2+8x-10=0.
Obejrzyj na YouTube

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie kwadratowe 2x^2+8x-10=0.
Obejrzyj na YouTube
Przykład 3. Rozwiąż równanie kwadratowe x^2+2x-3=0.
Rozwiązanie

Przykład 4. Rozwiąż równanie kwadratowe x^2+2x-3=0.
Rozwiązanie

Przykład 5. Rozwiąż równanie kwadratowe x^2+2x-3=0.
Rozwiązanie

Przykład 6. Rozwiąż równanie kwadratowe x^2+2x-3=0.
Rozwiązanie

Przykład 7. Rozwiąż równanie kwadratowe x^2+2x-3=0.
Rozwiązanie

Przykład 8. Rozwiąż równanie kwadratowe x^2+2x-3=0.
Rozwiązanie

Więcej zadań tego typu znajduje się w dziale z zadaniami.
Najważniejsze informacje o równaniu kwadratowym, wraz z kilkoma przykładami, zostały zawarte również w poniższym pliku pdf.

4. Program do rozwiązywania równań kwadratowych

Aby szybko sprawdzić czy istnieją i ile wynoszą rozwiązania dowolnego równania kwadratowego, możesz skorzystać z poniższego programu:

Program do rozwiązywania równania kwadratowego

W pola należy wpisać współczynniki równania kwadratowego. Mogą być nimi liczby dodatnie, ujemne oraz zero. Ułamki należy wpisywać używając kropki (np. 4.5).
W przypadku gdy równanie ma postać ax2 + c = 0, to w polu przy x należy wpisać zero.

x2 + x + = 0

Δ =
x1 =
x2 =

5. Zadania z równań kwadratowych

Zadanie 1.

Mniejszą z dwóch liczb spełniających równanie x2 + 5x + 6 = 0 jest

Zadanie 2.

Większa z liczb spełniających równanie x2 + 6x + 8 = 0 to

Zadanie 3.

Rozwiąż równanie x2 + 6x + 7 = 0.

Zadanie 4.

Która z liczb jest rozwiązaniem równania 2x2 - 7x = -30 - 2x(1 - x)?

Zadanie 5.

Uzasadnij, że równanie x2 + (b - 2)x - 2b = 0 dla dowolnej liczby rzeczywistej b ma przynajmniej jedno rozwiązanie.