1. Definicja pochodnej funkcji

Załóżmy, że mamy daną funkcję f(x) oraz argument x0 w otoczeniu którego funkcja f(x) jest określona. Wówczas pochodną funkcji f(x) w punkcie x0 oznaczamy symbolem: i definiujemy jako następującą granicę: Powyższa definicja zazwyczaj podawana jest w podręcznikach szkolnych. Na studiach częściej spotkasz się z następującą definicją pochodnej: Obie definicje są równoważne i w zależności od podręcznika - autor może posługiwać się pierwszą bądź drugą. Najprostszym sposobem na oznaczanie pochodnej funkcji jest symbol f'(x). Czasami można spotkać się z innymi oznaczeniami. Oto najczęściej spotykane:
  • (oznaczenie wprowadzone przez Leibniza)
  • (oznaczenie wprowadzone przez Lagrange'a)
  • (oznaczenie wprowadzone przez Cauchy'ego)
W przypadku gdy funkcję zadamy wzorem postaci y = [wzór funkcji], to pochodne oznaczamy w następujący sposób:
  • (oznaczenie wprowadzone przez Leibniza)
  • (oznaczenie wprowadzone przez Lagrange'a)
  • (oznaczenie wprowadzone przez Cauchy'ego)
Pochodne funkcji można liczyć bezpośrednio z definicji, chociaż znacznie prościej jest korzystać z gotowych wzorów. Nie musimy wtedy liczyć żadnych granic, tylko stosujemy wzory i proste reguły liczenia pochodnych. W tym rozdziale zobaczymy jednak jak można wyznaczać pochodne funkcji bezpośrednio z definicji.
Przykład 1. Oblicz pochodną funkcji f(x) = x2 w punkcie x0 = 2.
Rozwiązanie
Liczymy wartość pochodnej w punkcie x0 korzystając z definicji:

Możemy również policzyć z definicji wzór ogólny pochodnej dla tej funkcji:

Czyli ostatecznie:

Można też napisać równoważnie:

Korzystając z tak wyliczonego wzoru możemy teraz obliczyć wartość pochodnej w dowolnym punkcie, np.:

Praktycznie zawsze opłaca się najpierw policzyć pochodną funkcji (zwłaszcza, że mamy do dyspozycji gotowe wzory na liczenie pochodnych), a dopiero potem wyznaczyć jej wartość w konkretnym punkcie.
Przykład 2. Oblicz pochodną funkcji f(x) = x3 - 2x.
Rozwiązanie
Liczymy pochodną korzystając z definicji:

Zatem:

Można napisać równoważnie:

2. Wzory pochodnych wybranych funkcji

Do obliczenia pochodnych dowolnie skomplikowanych funkcji wystarczy znajomość reguł różniczkowania oraz poniższych wzorów:
Numer wzoru Funkcja Pochodna funkcji Komentarz
1. Pochodna funkcji stałej zawsze jest równa zero, np. (12)' = 0
2. Przykład: (x7)' = 7x6
3. Jest to szczególny przypadek wzoru 2. (dla n = 1)
4. Jest to szczególny przypadek wzoru 2. (dla n = -1). Zapisując inaczej:
5. Jest to szczególny przypadek wzoru 2. (dla n = ½). Zapisując inaczej:
6. np.:
7. Jest to szczególny przypadek wzoru 6.
8. np.:
9. Jest to szczególny przypadek wzoru 8.
10. -
11. -
12. -
13. -
14. -
15. -

3.1. Reguły obliczania pochodnych - zestawienie najważniejszych wzorów

Jeżeli obie funkcje f(x) i g(x) są różniczkowalne (tzn. możemy policzyć ich pochodne), to zachodzą następujące wzory: Dokładniejsze omówienie każdego z tych wzorów (wraz z przykładami) znajduje się w kolejnych podrozdziałach.

3.2. Pochodna sumy funkcji

Jeżeli obie funkcje f(x) i g(x) są różniczkowalne, to pochodną sumy tych funkcji obliczamy według wzoru: Analogiczny wzór jest na pochodną różnicy funkcji: Przykład 1. Dane są funkcje i . Oblicz pochodną sumy f(x) + g(x).
Rozwiązanie:
Liczymy pochodną sumy zamieniając ją według wzoru na sumę pochodnych:

3.3. Pochodna iloczynu funkcji

Jeżeli obie funkcje f(x) i g(x) są różniczkowalne, to pochodną iloczynu tych funkcji obliczamy według wzoru: Szczególnym przypadkiem tego wzoru jest sytuacja, w której jedna z funkcji jest liczbą stałą. Mamy wówczas wzór: Przykład 1. Dane są funkcje i . Oblicz pochodną iloczynu f(x)⋅g(x).
Rozwiązanie:
Liczymy pochodną iloczynu według wzoru:

3.4. Pochodna ilorazu funkcji

Jeżeli obie funkcje f(x) i g(x) są różniczkowalne, to pochodną ilorazu tych funkcji obliczamy według wzoru: Przykład 1. Dane są funkcje i . Oblicz pochodną ilorazu .
Rozwiązanie:
Liczymy pochodną ilorazu według wzoru:

3.5. Pochodna złożenia funkcji

Jeżeli obie funkcje f(x) i g(x) są różniczkowalne, to pochodną złożenia tych funkcji obliczamy według wzoru: Przykład 1. Dane są funkcje i . Oblicz pochodną złożenia funkcji f(x) z funkcją g(x) oraz pochodną złożenia funkcji g(x) z funkcją f(x).
Rozwiązanie:
Najpierw obliczymy pochodną złożenia funkcji f(x) z funkcją g(x):
Teraz pochodna złożenia funkcji g(x) z funkcją f(x):

4.6. Pochodne prostych funkcji - zadania

Zadanie 1.

Oblicz pochodną funkcji

Zadanie 2.

Oblicz pochodną funkcji

Zadanie 3.

Oblicz pochodną funkcji

Zadanie 4.

Oblicz pochodną funkcji

Zadanie 5.

Oblicz pochodną funkcji

Zadanie 6.

Oblicz pochodną funkcji

Zadanie 7.

Oblicz pochodną funkcji

Zadanie 8.

Oblicz pochodną funkcji

Zadanie 9.

Oblicz pochodną funkcji

4.7. Pochodne iloczynów funkcji - zadania

Wzór na obliczanie pochodnej iloczynu funkcji:

Zadanie 1.

Oblicz pochodną funkcji

4.8. Pochodne ilorazów funkcji - zadania

Wzór na obliczanie pochodnej ilorazu funkcji:

Zadanie 1.

Oblicz pochodną funkcji

Zadanie 2.

Oblicz pochodną funkcji

4.9. Pochodne funkcji trygonometrycznych - zadania

Zadanie 1.

Oblicz pochodną funkcji

Zadanie 2.

Oblicz pochodną funkcji

Zadanie 3.

Oblicz pochodną funkcji

4.10. Pochodne funkcji złożonych - zadania

Wzór na obliczanie pochodnej złożenia funkcji:

Zadanie 1.

Oblicz pochodną funkcji

Zadanie 2.

Oblicz pochodną funkcji

Zadanie 3.

Oblicz pochodną funkcji

Zadanie 4.

Oblicz pochodną funkcji