1. Definicja pochodnej funkcji

Załóżmy, że mamy daną funkcję f(x) oraz argument x0 w otoczeniu którego funkcja f(x) jest określona. Wówczas pochodną funkcji f(x) w punkcie x0 oznaczamy symbolem: i definiujemy jako następującą granicę: Powyższa definicja zazwyczaj podawana jest w podręcznikach szkolnych. Na studiach częściej spotkasz się z następującą definicją pochodnej: Obie definicje są równoważne i w zależności od podręcznika - autor może posługiwać się pierwszą bądź drugą. Najprostszym sposobem na oznaczanie pochodnej funkcji jest symbol f'(x). Czasami można spotkać się z innymi oznaczeniami. Oto najczęściej spotykane:
  • (oznaczenie wprowadzone przez Leibniza)
  • (oznaczenie wprowadzone przez Lagrange'a)
  • (oznaczenie wprowadzone przez Cauchy'ego)
W przypadku gdy funkcję zadamy wzorem postaci y = [wzór funkcji], to pochodne oznaczamy w następujący sposób:
  • (oznaczenie wprowadzone przez Leibniza)
  • (oznaczenie wprowadzone przez Lagrange'a)
  • (oznaczenie wprowadzone przez Cauchy'ego)
Pochodne funkcji można liczyć bezpośrednio z definicji, chociaż znacznie prościej jest korzystać z gotowych wzorów. Nie musimy wtedy liczyć żadnych granic, tylko stosujemy wzory i proste reguły liczenia pochodnych. W tym rozdziale zobaczymy jednak jak można wyznaczać pochodne funkcji bezpośrednio z definicji.
Przykład 1. Oblicz pochodną funkcji f(x) = x2 w punkcie x0 = 2.
Rozwiązanie
Liczymy wartość pochodnej w punkcie x0 korzystając z definicji:

Możemy również policzyć z definicji wzór ogólny pochodnej dla tej funkcji:

Czyli ostatecznie:

Można też napisać równoważnie:

Korzystając z tak wyliczonego wzoru możemy teraz obliczyć wartość pochodnej w dowolnym punkcie, np.:

Praktycznie zawsze opłaca się najpierw policzyć pochodną funkcji (zwłaszcza, że mamy do dyspozycji gotowe wzory na liczenie pochodnych), a dopiero potem wyznaczyć jej wartość w konkretnym punkcie.
Przykład 2. Oblicz pochodną funkcji f(x) = x3 - 2x.
Rozwiązanie
Liczymy pochodną korzystając z definicji:

Zatem:

Można napisać równoważnie: