4. Dowolny czworokąt

rysunek czworokąta z oznaczeniami
Wzór na obwód i pole:
wzór na obwód kwadratu
gdzie:
  • α - kąt między przekątnymi czworokąta
  • a, b, c, d - boki
  • d1, d2 - przekątne

Zadanie 1.

Obwód czworokąta wypukłego ABCD jest równy 50 cm. Obwód trójkąta ABD jest równy 46 cm, a obwód trójkąta BCD jest równy 36 cm. Oblicz długość przekątnej BD.

Zadanie 2.

Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB || CD. Na boku BC wybrano taki punkt E, że |EC| = |CD| i |EB| = |BA|. Wykaż, że kąt AED jest prosty.

5. Czworokąt wpisany w okrąg

wzór na obwód kwadratu Warunek na wpisanie czworokąta w okrąg:
wzór na obwód kwadratu Wzór na pole czworokąta wpisanego w okrąg:
wzór na obwód kwadratu

6. Trapez

Trapez jest czworokątem, który ma dwa boki równoległe. Na rysunku poniżej równoległe są boki a i b.

rysunek czworokąta z oznaczeniami
Wzór na obwód i pole trapezu:
wzór na obwód i pole trapezu

Zadanie 1.

W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, kąty przy ramieniu różnią się o 50°. Kąt przy krótszej podstawie tego trapezu jest równy

Zadanie 2.

W trapezie miary kątów ostrych są równe 30° i 60°. Wówczas stosunek długości krótszego ramienia do dłuższego jest równy:

Zadanie 3.

Rysunek przedstawia trapez prostokątny i długości trzech jego boków.
Obwód tego trapezu jest równy

Zadanie 4.

Różnica miar kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem, jest równa 40° . Miara kąta przy krótszej podstawie jest równa.
A. 120°
B. 110°
C. 80°
D. 70°

Zadanie 5.

Trapez jest prostokątny. Trójkąty podobne ABD i CBD są równoramienne.rysunek trapezu z oznaczeniamiObwód trapezu jest równy

Zadanie 6.

Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 7.

W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.

Zadanie 8.

Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 5 i 13 oraz tangens kąta ostrego jest równy 2. Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 9.

Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 10.

Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym AB||CD. Udowodnij, że |∠AED| = |∠BAE| + |∠CDE|.

Zadanie 11.

Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym AB||CD. Udowodnij, że jeżeli |EC| = |CD| oraz |EB| = |BA| to kąt AED jest prosty.

Zadanie 12.

Trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o promieniu r. Wykaż, że 4r2 = |AB| ⋅ |CD|.

Zadanie 13.

W trapezie prostokątnym kąt ostry ma miarę , a podstawy mają długość 6 i 9. Wysokość tego trapezu jest równa

Zadanie 14.

Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym i ramieniu długości jest równa
33
3
3√3
2

7. Równoległobok

Równoległobok - to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Ponadto boki równoległe są tej samej długości.

rysunek równoległoboku z oznaczeniami
Wzór na obwód równoległoboku:
wzór na obwód równoległoboku
Wzory na pole równoległoboku:
wzór na pole równoległoboku
gdzie:
  • γ - kąt między przekątnymi czworokąta
  • d1, d2 - przekątne równoległoboku

Zadanie 1.

W równoległoboku kąt rozwarty jest cztery razy większy od kąta ostrego α. Zatem:

Zadanie 2.

Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 30°. Kąt rozwarty tego równoległoboku jest równy

Zadanie 3.

Dany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że . Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy większe od pola trójkąta DCE.

Zadanie 4.

Przekątna równoległoboku ma długość 10 cm i tworzy z krótszym bokiem kąt prosty, a z dłuższym bokiem kąt 30°. Oblicz długość krótszego boku tego równoległoboku.

Zadanie 5.

Pole równoległoboku o bokach długości 4 i 12 oraz kącie ostrym 30° jest równe

8. Romb

Romb - to czworokąt, który ma wszystkie boki równej długości. Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym.

rysunek równoległoboku z oznaczeniami
Wzór na obwód rombu:
wzór na obwód rombu
Wzory na pole rombu:
wzór na pole rombu
gdzie:
  • d1, d2 - przekątne rombu

Zadanie 1.

W rombie bok i krótsza przekątna mają taką samą długość, równą a. Wówczas dłuższa przekątna ma długość:

Zadanie 2.

Bok rombu ma długość 8, a kąt ostry ma miarę 60°. Wysokość tego rombu jest więc równa

Zadanie 3.

Dany jest romb o boku długości 4 i kącie ostrym 60°. Pole tego rombu jest równe

Zadanie 4.

Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60° jest równa

Zadanie 5.

Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 45°, a jego pole jest równe 50√2. Oblicz wysokość tego rombu.

9. Kwadrat

rysunek kwadrat z oznaczeniami
Wzór na obwód kwadratu:
wzór na obwód kwadratu
Wzór na pole kwadratu:
wzór na pole kwadratu
Wzór na długość przekątnej kwadratu:
wzór na długość przekątnej kwadratu

Zadanie 1.

Długość promienia r okręgu opisanego na kwadracie jest równa 2√3. Długość boku tego kwadratu ma wartość:

Zadanie 2.

Na dwóch przeciwległych bokach kwadratu o polu P zaznaczono punkty A i B, przy czym punkt A jest środkiem boku, zaś punkt B dzieli bok w stosunku 3:1, jak na rysunku obok. Pole zamalowanego czworokąta jest równe:

Zadanie 3.

Obwód kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 11√2 jest równy

Zadanie 4.

Okrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego kwadratu jest równa

Zadanie 5.

Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 5 jest równe
A. 25
B. 50
C. 75
D. 100

Zadanie 6.

Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 4 cm jest równe
A. 64 cm2
B. 32 cm2
C. 16 cm2
D. 8 cm2

Zadanie 7.

Na boku DC kwadratu ABCD obrano punkt K tak, że |DK| = |KC| (rys.). Przekątna AC kwadratu przecina odcinek BK w punkcie P. Uzasadnij, że pole trójkąta ABP jest czterokrotnie większe niż pole trójkąta KCP.

Zadanie 8.

Dane są kwadraty: ABCD i CEFG (zobacz rysunek poniżej). Wykaż, że |DE| = |BG|.

Zadanie 9.

Czworokąty ABCD i APQR są kwadratami. Udowodnij, że |BP| = |DR|.

10. Deltoid

Deltoid - to czworokąt, którego przekątne są prostopadłe i jedna z nich jest symetralną drugiej.

rysunek równoległoboku z oznaczeniami
Wzór na obwód deltoidu:
wzór na obwód deltoidu
Wzory na pole deltoidu:
wzór na pole deltoidu
gdzie:
  • d1, d2 - przekątne deltoidu

11. Okrąg i koło

Zadanie 1.

Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 50° (tak jak na rysunku).Miara kąta α jest równa

Zadanie 2.

Wierzchołki trójkąta ABC leżą na okręgu i środek O okręgu leży wewnątrz trójkąta. Jeśli kąt ABO ma miarę 20°, to kąt ACB ma miarę:

Zadanie 3.

Punkty A i B należą do okręgu o środku w punkcie O i promieniu 3. Wiadomo, że |AOB| = 150°. Cięciwa AB dzieli okrąg na dwa łuki, z których większy ma długość:

Zadanie 4.

Cięciwa okręgu ma długość 8 cm i jest oddalona od jego środka o 3 cm. Promień tego okręgu ma długość

Zadanie 5.

Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu o środku S i dzielą ten okrąg na pięć łuków równej długości (zobacz rysunek).
Wówczas miara kąta ostrego α między cięciwą AB i styczną do tego okręgu w punkcie A jest równa

Zadanie 6.

Dane są dwa okręgi o promieniach 12 i 17. Mniejszy okrąg przechodzi przez środek większego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa

Zadanie 7.

Punkty A = (-1, 3) i C = (7, 9) są wierzchołkami prostokąta ABCD . Promień okręgu opisanego na tym prostokącie jest równy
A. 10
B. 6√2
C. 5
D. 3√2

Zadanie 8.

Dany jest prostokąt ABCD. Okręgi o średnicach AB i AD przecinają się w punktach A i P (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty B, P i D leżą na jednej prostej.

Zadanie 9.

Na odcinku AB wybrano punkt C, a następnie zbudowano trójkąty równoboczne ACD i CBE tak, że wierzchołki D i E leżą po tej samej stronie prostej AB. Okręgi opisane na tych trójkątach przecinają się w punktach C i P (zobacz rysunek). Udowodnij, że miara kąta APB jest równa 120°.

Zadanie 10.

Oblicz kąt α między cięciwą PQ, a styczną do okręgu w punkcie P.
.

Zadanie 11.

Punkty A, B i C okręgu dzielą ten okrąg na trzy łuki, których długości pozostają w stosunku |AB|:|BC|:|AC| = 3:4:5. Oblicz miary kątów α, β, γ trójkąta ABC.

Zadanie 12.

Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku O i średnicach odpowiednio AB i CD (punkty A, B, C, D i O są współliniowe). Punkt P leży na wewnętrznym półokręgu, punkt R leży na zewnętrznym półokręgu, punkty O, P i R są współliniowe. Udowodnij, że |APB| + |CRD| = 180°.

Zadanie 13.

W czworokącie OBMA kąty wewnętrzne AOB i AMB mają równe miary. Wówczas kąt α ma miarę:

Zadanie 14.

Dwa okręgi są styczne zewnętrznie. Odległość ich środków jest równa 8 cm. Gdyby te okręgi były styczne wewnętrznie, to odległość ich środków byłaby równa 2 cm. Oblicz długości promieni tych okręgów.

Zadanie 15.

Miara kąta α, zaznaczonego na rysunku, jest równa

Zadanie 16.

Na trójkącie równoramiennym ABC, w którym opisano okrąg o środku O. Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie B i |∠BOC| = 140°. Kąt ma miarę
 
 
 

12. Podobieństwo trójkątów

Wprowadzenie do podobieństwa trójkątów

W tym nagraniu wideo pokazuję co to są trókąty podobne.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

Jak zapisywać trókąty podobne

W tym nagraniu wideo pokazuję jak poprawnie zapisywać podobieństwo trójkątów
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

Zadanie 1.

Odcinki AB i CD są równoległe, trójkąt ABE jest równoboczny i |AB| = 5 oraz |BD| = 2 (zobacz rysunek).Obwód czworokąta ACDB wynosi:

Zadanie 2.

Proste AD i BC są równoległe. Długości odcinków ED, DC oraz AB podane są na rysunku. Długość odcinka EA jest równa

Zadanie 3.

Odcinki BC i DE są równoległe. Długości odcinków AC, CE i BC są podane na rysunku. Długość odcinka DE jest równa
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12

Zadanie 4.

Czy poniższe trójkąty są podobne?

Zadanie 5.

Długość odcinka AB, równoległego do odcinka CD, jest równa

Zadanie 6.

Trójkąty prostokątne ABC i DEF są podobne. Przyprostokątne trójkąta ABC mają długości 5 i 12, a przeciwprostokątna trójkąta DEF ma długość 26. Wyznacz pole trójkąta DEF.

Zadanie 7.

Jeżeli trójkąty ABC i A'B'C' są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm2 i 50 cm2, to skala podobieństwa jest równa

Zadanie 8.

Odcinki BC i DE są równoległe i |AE|=4 , |DE|=3 (zobacz rysunek). Punkt D jest środkiem odcinka AB. Długość odcinka BC jest równa
A. 4
B. 6
C. 8
D. 16

13. Kąty środkowe i wpisane w okręgu

Zadanie 1.

Punkty A, B, C, D, E, F, G, H, I, J dzielą okrąg o środku S na dziesięć równych łuków. Oblicz miarę kąta wpisanego BGE zaznaczonego na rysunku.

Zadanie 2.

Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego ACB jest równa

Zadanie 3.

Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego ACB jest równa

Zadanie 4.

Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany BAD ma miarę

Zadanie 5.

Miara zaznaczonego na rysunku kąta α jest równa

Zadanie 6.

Punkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego.Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego ASB jest równa

Zadanie 7.

Punkty A, B, C, D dzielą okrąg na 4 równe łuki. Miara zaznaczonego na rysunku kąta wpisanego ACD jest równa

Zadanie 8.

Kąt między cięciwą AB a styczną do okręgu w punkcie A ma miarę α = 62° . Wówczas:
A. β = 118°
B. β = 124°
C. β = 138°
D. β = 152°

Zadanie 9.

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa 180° . Jak jest miara kąta środkowego?
A. 60°
B. 90°
C. 120°
D. 135°

Zadanie 10.

Zaznaczony na rysunku kąt α jest równy

Zadanie 11.

Zaznaczony na rysunku kąt α jest równy

Zadanie 12.

Zaznaczony na rysunku kąt α jest równy

Zadanie 13.

Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany α ma miarę

Zadanie 14.

Punkty A i B leżą na okręgu o środku O i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy 7:5. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.

Zadanie 15.

Punkt O jest środkiem okręgu o średnicy AB (tak jak na rysunku). Kąt α ma miarę

Zadanie 16.

Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4/9 długości okręgu, ma miarę
A. 160°
B. 80°
C. 40°
D. 20°

Zadanie 17.

Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Zaznaczony na rysunku wypukły kąt środkowy AOB ma miarę
A.
B.
C.
D.