4. Dowolny czworokąt

rysunek czworokąta z oznaczeniami
Wzór na obwód i pole:
wzór na obwód kwadratu
gdzie:
  • α - kąt między przekątnymi czworokąta
  • a, b, c, d - boki
  • d1, d2 - przekątne

Zadanie 1.

Obwód czworokąta wypukłego ABCD jest równy 50 cm. Obwód trójkąta ABD jest równy 46 cm, a obwód trójkąta BCD jest równy 36 cm. Oblicz długość przekątnej BD.

Zadanie 2.

Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB || CD. Na boku BC wybrano taki punkt E, że |EC| = |CD| i |EB| = |BA|. Wykaż, że kąt AED jest prosty.

5. Czworokąt wpisany w okrąg

wzór na obwód kwadratu Warunek na wpisanie czworokąta w okrąg:
wzór na obwód kwadratu Wzór na pole czworokąta wpisanego w okrąg:
wzór na obwód kwadratu

6. Trapez

Trapez jest czworokątem, który ma dwa boki równoległe. Na rysunku poniżej równoległe są boki a i b.

rysunek czworokąta z oznaczeniami
Wzór na obwód i pole trapezu:
wzór na obwód i pole trapezu

Zadanie 1.

W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, kąty przy ramieniu różnią się o 50°. Kąt przy krótszej podstawie tego trapezu jest równy

Zadanie 2.

W trapezie miary kątów ostrych są równe 30° i 60°. Wówczas stosunek długości krótszego ramienia do dłuższego jest równy:

Zadanie 3.

Rysunek przedstawia trapez prostokątny i długości trzech jego boków.
Obwód tego trapezu jest równy

Zadanie 4.

Różnica miar kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem, jest równa 40°. Miara kąta przy krótszej podstawie jest równa.

Zadanie 5.

Trapez jest prostokątny. Trójkąty podobne ABD i CBD są równoramienne.rysunek trapezu z oznaczeniamiObwód trapezu jest równy

Zadanie 6.

Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 7.

W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.

Zadanie 8.

Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 5 i 13 oraz tangens kąta ostrego jest równy 2. Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 9.

Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 10.

Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym AB||CD. Udowodnij, że |∠AED| = |∠BAE| + |∠CDE|.

Zadanie 11.

Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym AB||CD. Udowodnij, że jeżeli |EC| = |CD| oraz |EB| = |BA| to kąt AED jest prosty.

Zadanie 12.

Trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o promieniu r. Wykaż, że 4r2 = |AB| ⋅ |CD|.

Zadanie 13.

W trapezie prostokątnym kąt ostry ma miarę , a podstawy mają długość 6 i 9. Wysokość tego trapezu jest równa

Zadanie 14.

Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym i ramieniu długości jest równa
33
3
3√3
2

7. Równoległobok

Równoległobok - to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Ponadto boki równoległe są tej samej długości.

rysunek równoległoboku z oznaczeniami
Wzór na obwód równoległoboku:
wzór na obwód równoległoboku
Wzory na pole równoległoboku:
wzór na pole równoległoboku
gdzie:
  • γ - kąt między przekątnymi czworokąta
  • d1, d2 - przekątne równoległoboku

Zadanie 1.

W równoległoboku kąt rozwarty jest cztery razy większy od kąta ostrego α. Zatem:

Zadanie 2.

Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 30°. Kąt rozwarty tego równoległoboku jest równy

Zadanie 3.

Dany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że . Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy większe od pola trójkąta DCE.

Zadanie 4.

Przekątna równoległoboku ma długość 10 cm i tworzy z krótszym bokiem kąt prosty, a z dłuższym bokiem kąt 30°. Oblicz długość krótszego boku tego równoległoboku.

Zadanie 5.

Pole równoległoboku o bokach długości 4 i 12 oraz kącie ostrym 30° jest równe

8. Romb

Romb - to czworokąt, który ma wszystkie boki równej długości. Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym.

rysunek równoległoboku z oznaczeniami
Wzór na obwód rombu:
wzór na obwód rombu
Wzory na pole rombu:
wzór na pole rombu
gdzie:
  • d1, d2 - przekątne rombu

Zadanie 1.

W rombie bok i krótsza przekątna mają taką samą długość, równą a. Wówczas dłuższa przekątna ma długość:

Zadanie 2.

Bok rombu ma długość 8, a kąt ostry ma miarę 60°. Wysokość tego rombu jest więc równa

Zadanie 3.

Dany jest romb o boku długości 4 i kącie ostrym 60°. Pole tego rombu jest równe

Zadanie 4.

Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60° jest równa

Zadanie 5.

Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 45°, a jego pole jest równe 50√2. Oblicz wysokość tego rombu.

9. Kwadrat

rysunek kwadrat z oznaczeniami
Wzór na obwód kwadratu:
wzór na obwód kwadratu
Wzór na pole kwadratu:
wzór na pole kwadratu
Wzór na długość przekątnej kwadratu:
wzór na długość przekątnej kwadratu

Zadanie 1.

Długość promienia r okręgu opisanego na kwadracie jest równa 2√3. Długość boku tego kwadratu ma wartość:

Zadanie 2.

Na dwóch przeciwległych bokach kwadratu o polu P zaznaczono punkty A i B, przy czym punkt A jest środkiem boku, zaś punkt B dzieli bok w stosunku 3:1, jak na rysunku obok. Pole zamalowanego czworokąta jest równe:

Zadanie 3.

Obwód kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 11√2 jest równy

Zadanie 4.

Okrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego kwadratu jest równa

Zadanie 5.

Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 5 jest równe

Zadanie 6.

Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 4 cm jest równe

Zadanie 7.

Na boku DC kwadratu ABCD obrano punkt K tak, że |DK| = |KC| (rys.). Przekątna AC kwadratu przecina odcinek BK w punkcie P. Uzasadnij, że pole trójkąta ABP jest czterokrotnie większe niż pole trójkąta KCP.

Zadanie 8.

Dane są kwadraty: ABCD i CEFG (zobacz rysunek poniżej). Wykaż, że |DE| = |BG|.

Zadanie 9.

Czworokąty ABCD i APQR są kwadratami. Udowodnij, że |BP| = |DR|.

10. Deltoid

Deltoid - to czworokąt, którego przekątne są prostopadłe i jedna z nich jest symetralną drugiej.

rysunek równoległoboku z oznaczeniami
Wzór na obwód deltoidu:
wzór na obwód deltoidu
Wzory na pole deltoidu:
wzór na pole deltoidu
gdzie:
  • d1, d2 - przekątne deltoidu

11. Okrąg i koło

Zadanie 1.

Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 50° (tak jak na rysunku).Miara kąta α jest równa

Zadanie 2.

Wierzchołki trójkąta ABC leżą na okręgu i środek O okręgu leży wewnątrz trójkąta. Jeśli kąt ABO ma miarę 20°, to kąt ACB ma miarę:

Zadanie 3.

Punkty A i B należą do okręgu o środku w punkcie O i promieniu 3. Wiadomo, że |AOB| = 150°. Cięciwa AB dzieli okrąg na dwa łuki, z których większy ma długość:

Zadanie 4.

Cięciwa okręgu ma długość 8 cm i jest oddalona od jego środka o 3 cm. Promień tego okręgu ma długość

Zadanie 5.

Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu o środku S i dzielą ten okrąg na pięć łuków równej długości (zobacz rysunek).
Wówczas miara kąta ostrego α między cięciwą AB i styczną do tego okręgu w punkcie A jest równa

Zadanie 6.

Dane są dwa okręgi o promieniach 12 i 17. Mniejszy okrąg przechodzi przez środek większego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa

Zadanie 7.

Punkty A = (-1, 3) i C = (7, 9) są wierzchołkami prostokąta ABCD. Promień okręgu opisanego na tym prostokącie jest równy

Zadanie 8.

Dany jest prostokąt ABCD. Okręgi o średnicach AB i AD przecinają się w punktach A i P (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty B, P i D leżą na jednej prostej.

Zadanie 9.

Na odcinku AB wybrano punkt C, a następnie zbudowano trójkąty równoboczne ACD i CBE tak, że wierzchołki D i E leżą po tej samej stronie prostej AB. Okręgi opisane na tych trójkątach przecinają się w punktach C i P (zobacz rysunek). Udowodnij, że miara kąta APB jest równa 120°.

Zadanie 10.

Oblicz kąt α między cięciwą PQ, a styczną do okręgu w punkcie P.
.

Zadanie 11.

Punkty A, B i C okręgu dzielą ten okrąg na trzy łuki, których długości pozostają w stosunku |AB|:|BC|:|AC| = 3:4:5. Oblicz miary kątów α, β, γ trójkąta ABC.

Zadanie 12.

Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku O i średnicach odpowiednio AB i CD (punkty A, B, C, D i O są współliniowe). Punkt P leży na wewnętrznym półokręgu, punkt R leży na zewnętrznym półokręgu, punkty O, P i R są współliniowe. Udowodnij, że |APB| + |CRD| = 180°.

Zadanie 13.

W czworokącie OBMA kąty wewnętrzne AOB i AMB mają równe miary. Wówczas kąt α ma miarę:

Zadanie 14.

Dwa okręgi są styczne zewnętrznie. Odległość ich środków jest równa 8 cm. Gdyby te okręgi były styczne wewnętrznie, to odległość ich środków byłaby równa 2 cm. Oblicz długości promieni tych okręgów.

Zadanie 15.

Miara kąta α, zaznaczonego na rysunku, jest równa

Zadanie 16.

Na trójkącie równoramiennym ABC, w którym opisano okrąg o środku O. Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie B i |∠BOC| = 140°. Kąt ma miarę
 
 
 

12. Podobieństwo trójkątów

Wprowadzenie do podobieństwa trójkątów

W tym nagraniu wideo pokazuję co to są trókąty podobne.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

Jak zapisywać trókąty podobne

W tym nagraniu wideo pokazuję jak poprawnie zapisywać podobieństwo trójkątów
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

Zadanie 1.

Odcinki AB i CD są równoległe, trójkąt ABE jest równoboczny i |AB| = 5 oraz |BD| = 2 (zobacz rysunek).Obwód czworokąta ACDB wynosi:

Zadanie 2.

Proste AD i BC są równoległe. Długości odcinków ED, DC oraz AB podane są na rysunku. Długość odcinka EA jest równa

Zadanie 3.

Odcinki BC i DE są równoległe. Długości odcinków AC, CE i BC są podane na rysunku. Długość odcinka DE jest równa

Zadanie 4.

Czy poniższe trójkąty są podobne?

Zadanie 5.

Długość odcinka AB, równoległego do odcinka CD, jest równa

Zadanie 6.

Trójkąty prostokątne ABC i DEF są podobne. Przyprostokątne trójkąta ABC mają długości 5 i 12, a przeciwprostokątna trójkąta DEF ma długość 26. Wyznacz pole trójkąta DEF.

Zadanie 7.

Jeżeli trójkąty ABC i A'B'C' są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm2 i 50 cm2, to skala podobieństwa jest równa

Zadanie 8.

Odcinki BC i DE są równoległe i |AE|=4 , |DE|=3 (zobacz rysunek). Punkt D jest środkiem odcinka AB. Długość odcinka BC jest równa
A. 4
B. 6
C. 8
D. 16

13. Kąty środkowe i wpisane w okręgu

Zadanie 1.

Punkty A, B, C, D, E, F, G, H, I, J dzielą okrąg o środku S na dziesięć równych łuków. Oblicz miarę kąta wpisanego BGE zaznaczonego na rysunku.

Zadanie 2.

Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego ACB jest równa

Zadanie 3.

Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego ACB jest równa

Zadanie 4.

Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany BAD ma miarę

Zadanie 5.

Miara zaznaczonego na rysunku kąta α jest równa

Zadanie 6.

Punkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego.Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego ASB jest równa

Zadanie 7.

Punkty A, B, C, D dzielą okrąg na 4 równe łuki. Miara zaznaczonego na rysunku kąta wpisanego ACD jest równa

Zadanie 8.

Kąt między cięciwą AB a styczną do okręgu w punkcie A ma miarę α = 62°. Wówczas:

Zadanie 9.

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa 180°. Jak jest miara kąta środkowego?

Zadanie 10.

Zaznaczony na rysunku kąt α jest równy

Zadanie 11.

Zaznaczony na rysunku kąt α jest równy

Zadanie 12.

Zaznaczony na rysunku kąt α jest równy

Zadanie 13.

Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany α ma miarę

Zadanie 14.

Punkty A i B leżą na okręgu o środku O i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy 7:5. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.

Zadanie 15.

Punkt O jest środkiem okręgu o średnicy AB (tak jak na rysunku). Kąt α ma miarę

Zadanie 16.

Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4/9 długości okręgu, ma miarę
A. 160°
B. 80°
C. 40°
D. 20°

Zadanie 17.

Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Zaznaczony na rysunku wypukły kąt środkowy AOB ma miarę
A.
B.
C.
D.