1. Definicje różnych pojęć geometrycznych

  • Czworokąt - wielokąt, który ma cztery boki. Suma kątów wewnętrznych dowolnego czworokąta jest równa 360 stopni.
  • Dwusieczna kąta - półprosta, o początku w wierzchołku kąta, która dzieli ten kąt na dwa kąty przystające.
  • Kąt dopisany do okręgu w punkcie A - kąt wypukły zawarty między zadaną cięciwą poprowadzoną z punktu A na okręgu, a styczną do tego okręgu przechodzącą przez punkt A.
  • Kąty dopełniające - dwa kąty których suma miar jest równa 90°.
  • Kąt ostry - każdy kąt, który jest mniejszy od kąta prostego. Miara kąta ostrego jest większa od 0° i mniejsza od 90°.
  • Kąt prosty - kąt o mierze 90°.
  • Kąty przyległe - dwa kąty, na które dowolna półprosta wychodząca z wierzchołka kąta półpełnego dzieli ten kąt. Suma miar kątów przyległych jest równa 180°.
  • Kąt rozwarty - każdy kąt wypukły, który jest większy od kąta prostego i jednocześnie mniejsza od kąta półpełnego. Miara kąta rozwartego jest zawarta w przedziale (90°, 180°).
  • Kąty wierzchołkowe - dwa kąty utworzone przez dwie przecinające się proste nie będące kątami przyległymi.
  • Kąt wklęsły - kąt którego miara jest większa od 180° i jednocześnie mniejsza od 360°.
  • Kąt wypukły - kąt którego miara jest mniejsza lub równa 180°
  • Odcinek - część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami, włącznie z tymi punktami.
  • Oś symetrii - prosta, względem której figura jest do siebie osiowo symetryczna. Oś symetrii dzieli figurę na dwie przystające części.
  • Półprosta - figura geometryczna składająca się z punktów prostej leżących po jednej stronie punktu prostej, który jest początkiem danej półprostej.
  • Prosta - pojecie pierwotne w geometrii. Przez dwa punkty może przechodzić tylko jedna linia prosta. Proste zazwyczaj oznacza się małymi literami alfabetu (a, b, c).
  • Punkt - pojecie pierwotne w geometrii (najmniejszy, bezwymiarowy obiekt geometryczny). Punkty zazwyczaj oznacza się wielkimi literami alfabetu (A, B, C).
  • Symetralna odcinka - prosta prostopadła do danego odcinka i przechodząca przez jego środek.
  • Środek symetrii figury - to punkt, względem którego ta figura jest do siebie środkowo symetryczna. Figura obrócona o 180 stopni wokół swojego środka symetrii nałoży się na siebie.
  • Środkowa trókąta - odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
  • Trójkąt - wielokąt, który ma trzy boki. Suma kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta jest równa 180 stopni.
  • Wielokąt foremny - wielokąt wypukły, który ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty równej miary.

2.1. Wzory na pole trójkąta

Wiele wzorów podanych w tym rozdziale korzysta z następujących oznaczeń: rysunek trójkąta z oznaczeniami
  • A, B, C - wierzchołki
  • a, b, c - boki (długości boków)
  • α, β, γ - kąty
  • h - wysokość
  • ha - wysokość opuszczona na bok a
  • P - pole
  • Ob - obwód
  • r - promień okręgu wpisanego
  • R - promień okręgu opisanego
Istnieje wiele wzorów, z których można liczyć pole trójkąta. Istnieją również różne użyteczne wzory dla trójkątów szczególnych - takich jak np. trójkąt równoboczny.
Poniższe wzory można zastosować dla dowolnego trójkąta.
wzór na pole trójkąta

2.2. Suma kątów wewnętrznych trójkąta

W dowolnym trójkącie suma miar kątów jest stała i wynosi 180°. wzór na sumę miar kątów wewnętrznych trójkąta

Zadanie 1.

Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że |AD| = |CD| oraz |AB| = |BD| (patrz rysunek). Udowodnij, że |ADC| = 5⋅|ACD|.

Zadanie 2.

Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że |AB| = |AD| = |CD|. Oblicz miary kątów trójkąta ABC.

2.3. Trójkąt równoboczny

Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki tej samej długości. Kąty wewnętrzne trójkąta równobocznego są równe 60°.
Wysokość trójkąta równobocznego można obliczyć ze wzoru:
Wzór na pole trójkąta równobocznego:
Promień okręgu wpisanego ma długość:
Promień okręgu opisanego ma długość:

Zadanie 1.

Trójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B, C, N są współliniowe. Na boku AC wybrano punkt M tak, że |AM| = |CN|. Wykaż, że |BM| = |MN|.

Zadanie 2.

Na bokach trójkąta równobocznego ABC (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadratyABDE, CBGH i ACKL. Udowodnij, że trójkąt KGE jest równoboczny.

Zadanie 3.

Dany jest trójkąt równoboczny o boku a oraz kwadrat o boku b. Długość boku b jest dwa razy mniejsza od długości boku a. Oblicz, ile razy pole trójkąta jest większe od pola kwadratu.

Zadanie 4.

Pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny jest równe . Obwód tego trójkąta jest równy:

Zadanie 5.

Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym o wysokości 9 jest równe

Zadanie 6.

Obwód trójkąta równobocznego o polu 3 jest równy:
 
 
 

Zadanie 7.

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy 8. Wysokość tego trójkąta jest równa
A.
B.
C.
D.

2.4. Okrąg wpisany w trójkąt

W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Środek okręgu wpisanego leży na przecięciu dwusiecznych trójkąta: Promień okręgu wpisanego można obliczyć ze wzoru:
wzory na promień koła wpisanego i opisanego W przypadku gdy znamy promień okręgu opisanego (R), to promień okręgu wpisanego można obliczyć ze wzoru:

Zadanie 1.

Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |BC| = 30, |AC| = 40, |AB| = 50. Punkt W jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boku AB w punkcie M. Oblicz długość odcinka CM.

Zadanie 2.

Długość boku trójkąta równobocznego jest równa 24√3. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy

Zadanie 3.

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny ABC jest styczny do przeciwprostokątnej AB w punkcie K. Wiadomo, że |AK| = 4 i |KB| = 6. Oblicz promień tego okręgu.
rysunek z oznaczeniami

2.5. Okrąg opisany na trójkącie

Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środek okręgu opisanego leży na przecięciu symetralnych boków trójkąta: Promień okręgu opisanego można obliczyć ze wzoru:

Zadanie 1.

Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy większy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC.

Zadanie 2.

Okrąg opisany na trójkącie równobocznym ma promień 12. Wysokość tego trójkąta jest równa

Zadanie 3.

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy 2√5. Jedna z przyprostokątnych tego trójkąta jest o 4 dłuższa od drugiej przyprostokątnej. Oblicz wysokość tego trójkąta opuszczoną na przeciwprostokątną.

Zadanie 4.

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy . Obwód tego trójkąta jest równy

Zadanie 5.

Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym o wysokości 9 jest równe

Zadanie 6.

W trójkącie równobocznym ABC dana jest wysokość |CD| = 3. Średnica okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość:

Zadanie 7.

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 5 i 12. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy

2.6. Twierdzenie sinusów

rysunek trójkąta z oznaczeniami
Wzór sinusów

2.7. Twierdzenie cosinusów

Wzór cosinusów

2.8. Różne zadania z trójkątów

Zadanie 1.

W trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości √5 i 3. Obwód tego trójkąta jest równy

Zadanie 2.

W trójkącie równoramiennym ABC dane są |AC| = |BC| = 5 oraz wysokość |CD| = 2. Podstawa AB tego trójkąta ma długość

Zadanie 3.

W trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości 5 i 7. Obwód tego trójkąta jest równy

Zadanie 4.

Oblicz pole trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AB| = 24 i |AC| = |BC| = 13.

Zadanie 5.

Liczby 4, 10, c są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c.

Zadanie 6.

Liczby 6, 10, c są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c.

Zadanie 7.

Liczby 6, 10, c są długościami boków trójkąta prostokątnego. Oblicz c.

Zadanie 8.

Liczby x - 1, x, 5 są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz x.

Zadanie 9.

Punkt S jest środkiem wysokości CD trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC| = 5 oraz |CD| = 4 (zobacz rysunek).Odległość punktu S od ramienia tego trójkąta jest równa

Zadanie 10.

W trójkącie równoramiennym ABC o wysokościach CD i AE podstawa AB ma długość 8 cm, a odcinek BE ma długość 3 cm. Długość odcinka AC jest równa:

Zadanie 11.

Długość odcinka BD w trójkącie prostokątnym ABC jest równa:

Zadanie 12.

Dany jest trójkąt ABC, gdzie A = (-3,-2), B = (1,-1), C = (-1, 4). Wyznacz równanie symetralnej boku AC tego trójkąta.

3. Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Twierdzenie Pitagorasa najczęściej wykorzystujemy do obliczenia długości trzeciego boku trójkąta prostokątnego, w sytuacji gdy znamy długości dwóch pozostałych boków.
Przykład 1. Oblicz długość przeciwprostokątnej poniższego trójkąta prostokątnego.
Rozwiązanie:
Oznaczamy długość przeciwprostokątnej np. literką c. Układamy równanie z Twierdzenia Pitagorasa:
42 + 32 = c2
Rozwiązujemy równanie:
16 + 9 = c2
25 = c2
c2 = 25
c = 5
Odpowiedź: Długość przeciwprostokątnej wynosi 5.
Przykład 2. Oblicz długość trzeciego boku trójkąta przedstawionego na rysunku.
Rozwiązanie:
Oznaczamy długość nieznanej przyprostokątnej np. literką x. Układamy równanie z Twierdzenia Pitagorasa:
x2 + 62 = 72
Rozwiązujemy równanie:
x2 + 36 = 49
x2 = 49 - 36
x2 = 13
x = √13
Odpowiedź: Długość przeciwprostokątnej wynosi √13.

Zadanie 1.

Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma długość 5. Wysokość opuszczona na podstawę ma długość

Zadanie 2.

W trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości √5 i 3. Obwód tego trójkąta jest równy

Zadanie 3.

W trójkącie równoramiennym ABC dane są |AC| = |BC| = 5 oraz wysokość |CD| = 2. Podstawa AB tego trójkąta ma długość

Zadanie 4.

W trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości 5 i 7. Obwód tego trójkąta jest równy

Zadanie 5.

Oblicz pole trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AB| = 24 i |AC| = |BC| = 13.
 1  2  3    Następne