Matura z matematyki - 4 czerwca 2013

Zadanie 1. (1 pkt)

Liczba jest równa

Zadanie 2. (1 pkt)

Dodatnia liczba x stanowi 70% liczby y. Wówczas

Zadanie 3. (1 pkt)

Przedział -1, 3 jest opisany nierównością

Zadanie 4. (1 pkt)

Wartość wyrażenia log220 - log25 jest równa

Zadanie 5. (1 pkt)

Liczba (-3) jest miejscem zerowym funkcji f(x) = (2m - 1)x + 9. Wtedy

Zadanie 6. (1 pkt)

Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie sin2α + sin2α ⋅ cos2α + cos4α jest równe

Zadanie 7. (1 pkt)

Kąt α jest ostry i sinα = . Wartość wyrażenia 1+ tgα⋅cosα jest równa

Zadanie 8. (1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział

Zadanie 9. (1 pkt)

Przedziałem, w którym funkcja f przyjmuje tylko wartości ujemne, jest [...]

Zadanie 10. (1 pkt)

Funkcja g jest określona wzorem

Zadanie 11. (1 pkt)

Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt α, zaznaczony na rysunku, ma miarę

Zadanie 12. (1 pkt)

Iloczyn wielomianów 2x - 3 oraz -4x2 - 6x - 9 jest równy

Zadanie 13. (1 pkt)

Prostokąt ABCD o przekątnej długości 2√13 jest podobny do prostokąta o bokach długości 2 i 3. Obwód prostokąta ABCD jest równy

Zadanie 14. (1 pkt)

Kosinus kąta ostrego rombu jest równy , bok rombu ma długość 3. Pole tego rombu jest równe

Zadanie 15. (1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 12. Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa

Zadanie 16. (1 pkt)

Ciąg \(\begin{split} \left ( {a}_{n} \right ) \end{split}\) określony jest wzorem \(\begin{split} {a}_{n} = -2+\frac{12}{n} \text{ dla } n\geqslant 1 \end{split}\). Równość \( {a}_{n}=4 \) zachodzi dla

Zadanie 17. (1 pkt)

Funkcja f(x) = 3x(x2 + 5)(2 - x)(x + 1) ma dokładnie

Zadanie 18. (1 pkt)

Wskaż równanie prostej, której fragment przedstawiony jest na poniższym wykresie

Zadanie 19. (1 pkt)

Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości 1 oraz √3. Najmniejszy kąt w tym trójkącie ma miarę

Zadanie 20. (1 pkt)

Dany jest ciąg arytmetyczny (an) w którym różnica r = -2 oraz a20 = 17. Wówczas pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 21. (1 pkt)

W ciągu geometrycznym (an) pierwszy wyraz jest równy 9/8, a czwarty wyraz jest równy . Wówczas iloraz q tego ciągu jest równy

Zadanie 22. (1 pkt)

Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na poniższym diagramie. Średnia ocen uzyskanych przez uczniów z tego sprawdzianu jest równa

Zadanie 23. (1 pkt)

Objętość stożka o wysokości h i promieniu podstawy trzy razy mniejszym od wysokości jest równa

Zadanie 24. (1 pkt)

Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo, że w trzecim rzucie wypadnie orzeł jest równe

Zadanie 25. (1 pkt)

Dana jest prosta l o równaniu y = - x. Prosta k równoległa do prostej l i przecinająca oś Oy w punkcie o współrzędnych (0, 3) ma równanie

Zadanie 26. (1 pkt)

Liczba log4 + log5 - log2 jest równa

Zadanie 27. (2 pkt)

Rozwiąż równanie 3x3 - 4x2 - 3x + 4 = 0.

Zadanie 28. (2 pkt)

Kąt α jest ostry i cosα = √7/4. Oblicz wartość wyrażenia 2+ sin3α + sinα ∙ cos2α.

Zadanie 29. (2 pkt)

Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek.

Zadanie 30. (2 pkt)

Wykaż, że liczba (1 + 20132)(1 + 20134) jest dzielnikiem liczby:
1 + 2013 +20132 +20133 +20134 +20135 + 20136 + 20137.

Zadanie 31. (2 pkt)

Nieskończony ciąg geometryczny (an) jest określony wzorem an = 7⋅3n+1, dla n ≥ 1. Oblicz iloraz q tego ciągu.

Zadanie 32. (4 pkt)

Podstawą graniastosłupa ABCDEFGH jest prostokąt ABCD (zobacz rysunek), którego krótszy bok ma długość 3. Przekątna prostokąta ABCD tworzy z jego dłuższym bokiem kąt 30°. Przekątna HB graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60°. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zadanie 33. (5 pkt)

Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła 120 złotych. Podzielono tę kwotę na równe części, by każdy ze znajomych płacił tyle samo. Po upływie miesiąca do grupy dołączyły jeszcze dwie osoby i wówczas opłata miesięczna przypadająca na każdego użytkownika zmniejszyła się o 5 złotych. Ile osób liczyła ta grupa w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu?

Zadanie 34. (5 pkt)

Wierzchołki trapezu ABCD mają współrzędne: A = (-1,-5), B = (5, 1), C = (1, 3), D = (-2, 0). Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy AB tego trapezu, a jego środek jest punktem przecięcia się prostych zawierających ramiona AD oraz BC trapezu ABCD.