Matura z matematyki - 8 maj 2013

Zadanie 1. (1 pkt)

Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność |x + 4| < 5

Zadanie 2. (1 pkt)

Liczby a i b są dodatnie oraz 12% liczby a jest równe 15% liczby b. Stąd wynika, że a jest równe

Zadanie 3. (1 pkt)

Liczba log100 - log28 jest równa

Zadanie 4. (1 pkt)

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb

Zadanie 5. (1 pkt)

Punkt A = (0, 1) leży na wykresie funkcji liniowej f(x) = (m - 2)x + m - 3. Stąd wynika, że

Zadanie 6. (1 pkt)

Wierzchołkiem paraboli o równaniu y = -3(x - 2)2 + 4 jest punkt o współrzędnych

Zadanie 7. (1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej x, wyrażenie 4x2 - 12x + 9 jest równe

Zadanie 8. (1 pkt)

Prosta o równaniu jest prostopadła do prostej o równaniu . Stąd wynika, że

Zadanie 9. (1 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.Jakie znaki mają współczynniki a i b?

Zadanie 10. (1 pkt)

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest

Zadanie 11. (1 pkt)

Na rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x) określonej dla x ∈ [-7, 4].Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji

Zadanie 12. (1 pkt)

Ciąg (27, 18, x+5) jest geometryczny. Wtedy

Zadanie 13. (1 pkt)

Ciąg (an) określony dla n ≥ 1 jest arytmetyczny oraz a3 = 10 i a4 = 14 . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 14. (1 pkt)

Kąt α jest ostry i . Wartość wyrażenia cos2 - 2 jest równa

Zadanie 15. (1 pkt)

Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 50° (tak jak na rysunku).Miara kąta α jest równa

Zadanie 16. (1 pkt)

Liczba rzeczywistych rozwiązań równania (x + 1)(x + 2)(x2 + 3) = 0 jest równa

Zadanie 17. (1 pkt)

Punkty A = (-1, 2) i B = (5, -2) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu ABCD. Obwód tego rombu jest równy

Zadanie 18. (1 pkt)

Punkt S = (-4, 7) jest środkiem odcinka PQ, gdzie Q = (17, 12). Zatem punkt P ma współrzędne

Zadanie 19. (1 pkt)

Odległość między środkami okręgów o równaniach (x + 1)2 + (y - 2)2 = 9 oraz x2 + y2 = 10 jest równa

Zadanie 20. (1 pkt)

Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o 10 większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest

Zadanie 21. (1 pkt)

Pole powierzchni bocznej stożka o wysokości 4 i promieniu podstawy 3 jest równe

Zadanie 22. (1 pkt)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy

Zadanie 23. (1 pkt)

Liczba jest równa

Zadanie 24. (1 pkt)

Mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu sześciu liczb: 1, 2, 3, x, 5, 8 jest równa 4. Wtedy

Zadanie 25. (1 pkt)

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 7 jest równa 28√3. Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa

Zadanie 26. (2 pkt)

Rozwiąż równanie x3 + 2x2 -8x - 16 = 0.

Zadanie 27. (2 pkt)

Kąt α jest ostry i . Oblicz wartość wyrażenia sin2α - 3cos2α.

Zadanie 28. (2 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x + y + z = 0, prawdziwa jest nierówność xy + yz + zx ≤ 0.
Możesz skorzystać z tożsamości (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz.

Zadanie 29. (2 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x ∈ [-7, 8]. Odczytaj z wykresu i zapisz:
  a) największą wartość funkcji f,
  b) zbiór rozwiązań nierówności f(x) < 0.

Zadanie 30. (2 pkt)

Rozwiąż nierówność 2x2 - 7x + 5 ≥ 0.

Zadanie 31. (2 pkt)

Wykaż, że liczba 6100 - 2 ⋅ 699 + 10 ⋅ 698 jest podzielna przez 17.

Zadanie 32. (4 pkt)

Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy większy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC.

Zadanie 33. (4 pkt)

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100 cm2, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 260 cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 34. (5 pkt)

Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.