Matura z matematyki - 6 czerwiec 2012

Zadanie 1. (1 pkt)

Ułamek jest równy

Zadanie 2. (1 pkt)

Liczbami spełniającymi równanie |2x + 3| = 5 są

Zadanie 3. (1 pkt)

Równanie (x + 5)(x - 3)(x2 + 1) = 0 ma:

Zadanie 4. (1 pkt)

Marża równa 1,5% kwoty pożyczonego kapitału była równa 3000 zł. Wynika stąd, że pożyczono

Zadanie 5. (1 pkt)

Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji y = x2 + 2x - 3. Wskaż ten rysunek.

Zadanie 6. (1 pkt)

Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem f(x) = x2 - 4x + 4 jest punkt o współrzędnych

Zadanie 7. (1 pkt)

Jeden kąt trójkąta ma miarę 54°. Z pozostałych dwóch kątów tego trójkąta jeden jest 6 razy większy od drugiego. Miary pozostałych kątów są równe

Zadanie 8. (1 pkt)

Krótszy bok prostokąta ma długość 6. Kąt między przekątną prostokąta i dłuższym bokiem ma miarę 30°. Dłuższy bok prostokąta ma długość

Zadanie 9. (1 pkt)

Cięciwa okręgu ma długość 8 cm i jest oddalona od jego środka o 3 cm. Promień tego okręgu ma długość

Zadanie 10. (1 pkt)

Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany BAD ma miarę

Zadanie 11. (1 pkt)

Pięciokąt ABCDE jest foremny. Wskaż trójkąt przystający do trójkąta ECD

Zadanie 12. (1 pkt)

Punkt O jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Równanie tego okręgu ma postać:

Zadanie 13. (1 pkt)

Wyrażenie jest równe

Zadanie 14. (1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem an = √2n + 4 dla n ≥ 1. Wówczas

Zadanie 15. (1 pkt)

Ciąg (2√2, 4, a) jest geometryczny. Wówczas

Zadanie 16. (1 pkt)

Kąt α jest ostry i tgα = 1. Wówczas

Zadanie 17. (1 pkt)

Wiadomo, że dziedziną funkcji f określonej wzorem jest zbiór (-∞, 2) ∪ (2, +∞). Wówczas

Zadanie 18. (1 pkt)

Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji liniowej f(x) = ax + b, gdzie a > 0 i b < 0. Wskaż ten wykres.

Zadanie 19. (1 pkt)

Punkt S = (2, 7) jest środkiem odcinka AB, w którym A = (-1, 3). Punkt B ma współrzędne:

Zadanie 20. (1 pkt)

W kolejnych sześciu rzutach kostką otrzymano następujące wyniki: 6, 3, 1, 2, 5, 5. Mediana tych wyników jest równa:

Zadanie 21. (1 pkt)

Równość (a + 2√2)2 = a2 + 28√2 + 8 zachodzi dla

Zadanie 22. (1 pkt)

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 4 i 6 obracamy wokół dłuższej przyprostokątnej. Objętość powstałego stożka jest równa

Zadanie 23. (1 pkt)

Jeżeli A i B są zdarzeniami losowymi, B’ jest zdarzeniem przeciwnym do B, P(A) = 0,3, P(B') = 0,4 oraz AB = ∅, to P(AB) jest równe

Zadanie 24. (1 pkt)

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku a. Jeżeli r oznacza promień podstawy walca, h oznacza wysokość walca, to

Zadanie 25. (2 pkt)

Rozwiąż nierówność x2 - 3x - 10 < 0.

Zadanie 26. (2 pkt)

Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 23 lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa 24 lata. Opiekun ma 39 lat. Oblicz, ilu studentów jest w tej grupie.

Zadanie 27. (2 pkt)

Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 28. (2 pkt)

Uzasadnij, że jeżeli α jest kątem ostrym, to sin4α + cos2α = sin2α + cos4α.

Zadanie 29. (2 pkt)

Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

Zadanie 30. (2 pkt)

Suma Sn = a1 + a2 + ... + an początkowych n wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego (an) jest określona wzorem Sn = n2 - 2n. Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.

Zadanie 31. (2 pkt)

Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 45°, a jego pole jest równe 50√2. Oblicz wysokość tego rombu.

Zadanie 32. (4 pkt)

Punkty A = (2,11), B = (8, 23), C = (6,14) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz współrzędne punktu D.

Zadanie 33. (4 pkt)

Oblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, jest dokładnie jedna cyfra 7 i dokładnie jedna cyfra parzysta.

Zadanie 34. (4 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD, BE i CF (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy AB jest równa 8, a pole trójkąta ABF jest równe 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa.