Matura z matematyki - poziom rozszerzony

Arkusze maturalne z poziomu rozszerzonego są oznaczone symbolem (PR) i możecie je znaleźć w menu nawigacyjnym po lewej stronie.
Poniżej zamieściłem playlistę z różnymi zadaniami z mojej strony, które wchodzą w zakres poziomu rozszerzonego.

Równania trygonometryczne

W tym nagraniu wideo omawiam metodę rozwiązywania równań trygonometrycznych i przy okazji pokazuję jak najlepiej rysować wykresy sinusa i cosinusa.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

Zadanie 1. (4 pkt)

Rozwiąż nierówność |2x - 5| - |x + 4| ≤ 2 - 2x.

Zadanie 2. (4 pkt)

Rozwiąż nierówność x4 + x2 ≥ 2x.

Zadanie 3. (4 pkt)

Rozwiąż równanie cos2x + cosx + 1 = 0 dla x ∈ [0, 2π]..

Zadanie 4. (4 pkt)

Rozwiąż równanie cos2x + 2 = 3cosx.

Zadanie 5. (6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 + 2(1 - m)x + m2 - m = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1, x2 spełniające warunek x1x2 ≤ 6mx12 + x22.

Zadanie 6. (6 pkt)

Oblicz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 - (m + 2)x + m + 4 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2 takie, że x14 + x24 = 4m3 + 6m2 - 32m + 12.

Zadanie 7. (4 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) = 4x3 - 5x2 - 23x + m przez dwumian x + 1 jest równa 20. Oblicz wartość współczynnika m oraz pierwiastki tego wielomianu.

Zadanie 8. (5 pkt)

Ciąg liczbowy (a, b, c) jest arytmetyczny i a + b + c = 33, natomiast ciąg (a - 1, b + 5, c + 19) jest geometryczny. Oblicz a, b, c.

Zadanie 9. (6 pkt)

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.

Zadanie 10. (6 pkt)

Liczby a, b, c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 93. Te same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz a, b i c.

Zadanie 11. (5 pkt)

Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.

Zadanie 12. (4 pkt)

Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb oczek otrzymanych we wszystkich czterech rzutach będzie równy 60.

Zadanie 13. (3 pkt)

Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie trzy razy cyfra 0 i dokładnie raz występuje cyfra 5.

Zadanie 14. (4 pkt)

Prosta o równaniu 3x - 4y - 36 = 0 przecina okrąg o środku S = (3, 12) w punktach A i B. Długość odcinka AB jest równa 40. Wyznacz równanie tego okręgu.

Zadanie 15. (6 pkt)

W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty P postaci: P = (m + 5/2, m) gdzie m ∈ ⟨-1, 7⟩. Oblicz najmniejszą i największą wartość |PQ|2, gdzie Q = (55/2, 0).

Zadanie 16. (5 pkt)

Dany jest trójkąt ABC, w którym |AC| = 17 i |BC| = 10. Na boku AB leży punkt D taki, że |AD| : |DB| = 3 : 4 oraz |DC| = 10. Oblicz pole trójkąta ABC.

Zadanie 17. (6 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |BC| = 30, |AC| = 40, |AB| = 50. Punkt W jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boku AB w punkcie M. Oblicz długość odcinka CM.

Zadanie 18. (5 pkt)

Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym |ACB| = 90° oraz |AC| = 5, |BC| = 12 zbudowano kwadrat ACDE (patrz rysunek). Punkt H leży na prostej AB i kąt |EHA| = 90°. Oblicz pole trójkąta HAE.

Zadanie 19. (3 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji logarytmicznej f określonej wzorem f(x) = log2 (x - p). a) Podaj wartość p.
b) Narysuj wykres funkcji określonej wzorem y = |f(x)|.
c) Podaj wszystkie wartości parametru m, dla których równanie |f(x)| = m ma dwa rozwiązania o przeciwnych znakach.

Zadanie 20. (4 pkt)

W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a. Krawędź AS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Odległość wierzchołka A od ściany BCS jest równa d. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 21. (4 pkt)

Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb.

Zadanie 22. (3 pkt)

Udowodnij, że jeżeli a + b ≥ 0, to prawdziwa jest nierówność a3 + b3a2b + ab2.

Zadanie 23. (5 pkt)

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność √250 + 1 + √250 - 1 < 226.

Zadanie 24. (4 pkt)

Trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o promieniu r. Wykaż, że 4r2 = |AB| ⋅ |CD|.

Zadanie 25. (5 pkt)

Udowodnij, że jeśli
   a) x, y są liczbami rzeczywistymi, to x2 + y2 ≥ 2xy.
   b) x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że x + y + z = 1, to x2 + y2 + z2 ≥ 1/3.