Matura z matematyki - poziom rozszerzony

Poniżej zamieściłem playlistę z różnymi zadaniami z mojej strony, które wchodzą w zakres poziomu rozszerzonego.

Równania trygonometryczne

W tym nagraniu wideo omawiam metodę rozwiązywania równań trygonometrycznych i przy okazji pokazuję jak najlepiej rysować wykresy sinusa i cosinusa.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

Zadanie 1. (4 pkt)

Rozwiąż nierówność |2x - 5| - |x + 4| ≤ 2 - 2x.

Zadanie 2. (4 pkt)

Dana jest funkcja f określona wzorem (|x+3| + |x-3|)/x dla każdej liczby rzeczywistej x≠0. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Zadanie 3. (4 pkt)

Rozwiąż nierówność x4 + x2 ≥ 2x.

Zadanie 4. (4 pkt)

Rozwiąż równanie 3⋅cos x = 1 + sin x w przedziale <0,2π> .

Zadanie 5. (5 pkt)

Rozwiąż równanie sinxx|cosx| = 0,25, gdzie x ∈ [0, 2π].

Zadanie 6. (4 pkt)

Rozwiąż równanie cos2x + cosx + 1 = 0 dla x ∈ [0, 2π]..

Zadanie 7. (4 pkt)

Rozwiąż równanie cos2x + 2 = 3cosx.

Zadanie 8. (6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 + 2(1 - m)x + m2 - m = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1, x2 spełniające warunek x1x2 ≤ 6mx12 + x22.

Zadanie 9. (6 pkt)

Oblicz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 - (m + 2)x + m + 4 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2 takie, że x14 + x24 = 4m3 + 6m2 - 32m + 12.

Zadanie 10. (6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja kwadratowa f(x)=x2-(2m+2)x+2m+5 ma dwa różne pierwiastki x1, x2 takie, że suma kwadratów odległości punktów A=(x1,0) i B=(x2,0) od prostej o równaniu x+y+1=0 jest równa 6.

Zadanie 11. (5 pkt)

Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru m, dla których równanie
(x3 + 2x2 + 2x + 1)[x2 - (2m + 1)x + m2 + m]
ma trzy, parami różne, pierwiastki rzeczywiste, takie że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych.

Zadanie 12. (4 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) = 4x3 - 5x2 - 23x + m przez dwumian x + 1 jest równa 20. Oblicz wartość współczynnika m oraz pierwiastki tego wielomianu.

Zadanie 13. (4 pkt)

Wykaż, że dla dowolnej wartości parametru m równanie: -x2 + (2m2 + 3)x - m4 - 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

Zadanie 14. (5 pkt)

Ciąg liczbowy (a, b, c) jest arytmetyczny i a + b + c = 33, natomiast ciąg (a - 1, b + 5, c + 19) jest geometryczny. Oblicz a, b, c.

Zadanie 15. (6 pkt)

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.

Zadanie 16. (6 pkt)

Liczby a, b, c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 93. Te same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz a, b i c.

Zadanie 17. (5 pkt)

Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.

Zadanie 18. (3 pkt)

Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S. Kąty wewnętrzne CAB, ABC i BCA tego trójkąta są równe, odpowiednio, α, 2α i . Wykaż, że trójkąt ABC jest rozwartokątny, i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

Zadanie 19. (6 pkt)

Ciąg geometryczny (an) ma 100 wyrazów i są one liczbami dodatnimi. Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych oraz log a1 + log a2 +log a3 +...+log a100 = 100 . Oblicz a1.

Zadanie 20. (5 pkt)

Wiedząc, że ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym oraz wyraz ogólny ciągu (bn) określony jest wzorem bn=5an, wykaż, że ciąg (bn) jest ciągiem geometrycznym. Wyznacz, w zależności od n, iloczyn b1b2b3∙...∙bn, przyjmując, że pierwszy wyraz ciągu (an) jest równy 1, a jego różnica jest równa 3.

Zadanie 21. (4 pkt)

Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb oczek otrzymanych we wszystkich czterech rzutach będzie równy 60.

Zadanie 22. (3 pkt)

Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie trzy razy cyfra 0 i dokładnie raz występuje cyfra 5.

Zadanie 23. (4 pkt)

Prosta o równaniu 3x - 4y - 36 = 0 przecina okrąg o środku S = (3, 12) w punktach A i B. Długość odcinka AB jest równa 40. Wyznacz równanie tego okręgu.

Zadanie 24. (6 pkt)

W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty P postaci: P = (m + 5/2, m) gdzie m ∈ ⟨-1, 7⟩. Oblicz najmniejszą i największą wartość |PQ|2, gdzie Q = (55/2, 0).

Zadanie 25. (5 pkt)

Dany jest trójkąt ABC, w którym |AC| = 17 i |BC| = 10. Na boku AB leży punkt D taki, że |AD| : |DB| = 3 : 4 oraz |DC| = 10. Oblicz pole trójkąta ABC.

Zadanie 26. (6 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |BC| = 30, |AC| = 40, |AB| = 50. Punkt W jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boku AB w punkcie M. Oblicz długość odcinka CM.

Zadanie 27. (5 pkt)

Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym |ACB| = 90° oraz |AC| = 5, |BC| = 12 zbudowano kwadrat ACDE (patrz rysunek). Punkt H leży na prostej AB i kąt |EHA| = 90°. Oblicz pole trójkąta HAE.

Zadanie 28. (3 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji logarytmicznej f określonej wzorem f(x) = log2 (x - p). a) Podaj wartość p.
b) Narysuj wykres funkcji określonej wzorem y = |f(x)|.
c) Podaj wszystkie wartości parametru m, dla których równanie |f(x)| = m ma dwa rozwiązania o przeciwnych znakach.

Zadanie 29. (4 pkt)

W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a. Krawędź AS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Odległość wierzchołka A od ściany BCS jest równa d. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 30. (4 pkt)

Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb.

Zadanie 31. (3 pkt)

Udowodnij, że jeżeli a + b ≥ 0, to prawdziwa jest nierówność a3 + b3a2b + ab2.

Zadanie 32. (5 pkt)

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność √250 + 1 + √250 - 1 < 226.

Zadanie 33. (4 pkt)

Trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o promieniu r. Wykaż, że 4r2 = |AB| ⋅ |CD|.

Zadanie 34. (5 pkt)

Udowodnij, że jeśli
   a) x, y są liczbami rzeczywistymi, to x2 + y2 ≥ 2xy.
   b) x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że x + y + z = 1, to x2 + y2 + z2 ≥ 1/3.

Zadanie 39. (3 pkt)

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich x, y prawdziwa jest nierówność (x + 1)⋅x/y+(y + 1)⋅y/x .

Zadanie 40. (5 pkt)

Dane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r. Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i trzeci z pierwszym w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC.

Zadanie 41. (4 pkt)

Punkty A, B, C, D, E, F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym a C leży na osi Ox . Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek E.

Zadanie 42. (6 pkt)

Oblicz objętość ostrosłupa trójkątnego ABCS, którego siatkę przedstawiono na rysunku.

Zadanie 43. (4 pkt)

Z urny zawierającej 10 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 10 losujemy jednocześnie trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że numer jednej z wylosowanych kul jest równy sumie numerów dwóch pozostałych kul.

Zadanie 44. (5 pkt)

Narysuj wykres funkcji:
wzór funkcji f(x)
Określ liczbę rozwiązań równania |f(x)| = m w zależności od parametru m.

Zadanie 45. (4 pkt)

O wielomianie W(x) = 2x3 + ax2 + bx + c wiadomo, że liczba 1 jest jego pierwiastkiem dwukrotnym oraz że W(x) jest podzielny przez dwumian x + 2. Oblicz współczynniki a, b, c. Dla obliczonych wartości a, b, c rozwiąż nierówność W(x + 1) < 0.

Zadanie 46. (3 pkt)

Liczby a, b, k są całkowite i k jest różna od zera. Wykaż, że jeśli liczby a + b oraz ab są podzielne przez k, to liczba a3 - b3 też jest podzielna przez k.

Zadanie 47. (4 pkt)

Określ dziedzinę funkcji: f(x)=√(log2 (log1/3 (x + 1) ) ).

Zadanie 48. (4 pkt)

Okrąg o środku A i promieniu długości r jest styczny zewnętrznie do okręgu o środku B i promieniu długości R (R > r). Prosta k jest styczna jednocześnie do obu okręgów i tworzy z prostą AB kąt ostry α. Wyznacz sinα w zależności od r i R.

Zadanie 49. (4 pkt)

W trójkącie ABC punkty K = (2, 2), L = (-2, 1), i M = (-1,-1) są odpowiednio środkami boków AB, BC, AC. Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta A' B' C', który jest obrazem trójkąta ABC w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Zadanie 50. (4 pkt)

W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku B jest ostry, długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa 5 oraz |AC| = 6, |AB| = 10. Na boku BC wybrano taki punkt K, że |BK| = 2. Oblicz długość odcinka AK.

Zadanie 51. (4 pkt)

W zielonym pudełku jest 10 monet pięciozłotowych i 5 monet dwuzłotowych, a w białym pudełku są 2 monety pięciozłotowe i 3 monety dwuzłotowe. Z zielonego pudełka losujemy jedną monetę i wrzucamy ją do białego pudełka. Następnie z białego pudełka losujemy jednocześnie 2 monety. Oblicz prawdopodobieństwo, że z białego pudełka wylosujemy w sumie 7 złotych.

Zadanie 52. (4 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa. Płaszczyzna tego przekroju tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze α. Oblicz objętość tego ostrosłupa.