Matura poprawkowa z matematyki - 21 sierpień 2012

Zadanie 1. (1 pkt)

Długość boku kwadratu k2 jest o 10% większa od długości boku kwadratu k1. Wówczas pole kwadratu k2 jest większe od pola kwadratu k1

Zadanie 2. (1 pkt)

Iloczyn 9-5 ⋅ 38 jest równy

Zadanie 3. (1 pkt)

Liczba log327 − log31 jest równa

Zadanie 4. (1 pkt)

Liczba (2 - 3√2)2 jest równa

Zadanie 5. (1 pkt)

Liczba (−2) jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = mx + 2. Wtedy

Zadanie 6. (1 pkt)

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności |x + 4| ≤ 7.

Zadanie 7. (1 pkt)

Dana jest parabola o równaniu y = x2 + 8x − 14. Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa

Zadanie 8. (1 pkt)

Wskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest ⟨−2, +∞).

Zadanie 9. (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności x(x + 6) < 0 jest

Zadanie 10. (1 pkt)

Wielomian W(x) = x6 + x3 − 2 jest równy iloczynowi

Zadanie 11. (1 pkt)

Równanie ma

Zadanie 12. (1 pkt)

Dany jest ciąg (an) określony wzorem dla n ≥ 1. Wówczas

Zadanie 13. (1 pkt)

W ciągu geometrycznym (an) dane są: a1 = 36, a2 = 18. Wtedy

Zadanie 14. (1 pkt)

Kąt α jest ostry i . Wtedy tgα jest równy

Zadanie 15. (1 pkt)

W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy

Zadanie 16. (1 pkt)

Przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 14. Bok AB tego prostokąta ma długość 6. Długość boku BC jest równa

Zadanie 17. (1 pkt)

Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego ACB jest równa

Zadanie 18. (1 pkt)

Długość boku trójkąta równobocznego jest równa 24√3. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy

Zadanie 19. (1 pkt)

Wskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej o równaniu .

Zadanie 20. (1 pkt)

Punkty B = (−2, 4) i C = (5, 1) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe

Zadanie 21. (1 pkt)

Dany jest okrąg o równaniu (x + 4)2 + (y - 6)2 = 100. Środek tego okręgu ma współrzędne

Zadanie 22. (1 pkt)

Objętość sześcianu jest równa 64. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

Zadanie 23. (1 pkt)

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku a. Objętość tego stożka wyraża się wzorem

Zadanie 24. (1 pkt)

Pewna firma zatrudnia 6 osób. Dyrektor zarabia 8000 zł, a pensje pozostałych pracowników są równe: 2000 zł, 2800 zł, 3400 zł, 3600 zł, 4200 zł. Mediana zarobków tych 6 osób jest równa

Zadanie 25. (1 pkt)

Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} wybieramy losowo jedną liczbę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 4. Wówczas

Zadanie 26. (2 pkt)

Rozwiąż nierówność x2 - 8x + 7 ≥ 0.

Zadanie 27. (2 pkt)

Rozwiąż równanie x3 - 6x2 - 9x + 54 = 0.

Zadanie 28. (2 pkt)

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 29. (2 pkt)

W trójkącie równoramiennym ABC dane są |AC| = |BC| = 6 i |ACB| = 30° (zobacz rysunek). Oblicz wysokość AD trójkąta opuszczoną z wierzchołka na bok BC.

Zadanie 30. (2 pkt)

Dany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że . Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy większe od pola trójkąta DCE.

Zadanie 31. (2 pkt)

Wykaż, że jeżeli c < 0, to trójmian kwadratowy y = x2 + bx + c ma dwa różne miejsca zerowe.

Zadanie 32. (4 pkt)

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC| = |BC| oraz A = (2, 1) i C = (1, 9). Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej . Oblicz współrzędne wierzchołka B.

Zadanie 33. (4 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD i wierzchołku S trójkąt ACS jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).

Zadanie 34. (5 pkt)

Kolarz pokonał trasę 114 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o 9,5 km/h, to pokonałby tę trasę w czasie o 2 godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.