Matura podstawowa - kurs - liczby rzeczywiste

Podstawa programowa Ministerstwa Edukacji do nowej matury (od 2015 roku) zakłada, że uczeń:

przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg);

oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych);

posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach;

oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych;

wykorzystuje podstawowe własności potęg (również w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy, np. fizyką, chemią, informatyką);

wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym;

oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia;

posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;

wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok).

W tej części kursu przećwiczymy dokładnie wszystkie powyższe zagadnienia.

Szybka nawigacja do zadania numer: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 .

Ułamiki, potęgi i pierwiastki

Wzory przydatne w tym dziale znajdziesz w tablicach maturalnych na stronie nr 1.

Najważniejsze wiadomości:

Ułamki zwykłe dodajemy i odejmujemy sprowadzając do wspólnego mianownika, np.: \[\frac{1}{2}+\frac{3}{5}=\frac{5}{10}+\frac{6}{10}=\frac{11}{10}\]

Ułamki zwykłe można zamienić na dziesiętne (okresowe) dzieląc na kalkulatorze licznik przez mianownik, np.: \[\frac{21}{45} = 21:45 = 0{,}4666666... = 0{,}4(6)\]

Wzory do wykonywania działań na potęgach:

Definicja potęgi o wykładniku naturalnym

\[a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot...\cdot a}_{n \text{ razy}}\]

Wzory na potęgi o wykładnikach wymiernych

\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad (\text{dla }a\ne 0)\\[16pt] a^{\tfrac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\quad (\text{dla }a\ge 0)\\[16pt] a^{\tfrac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^k}\quad (\text{dla }a\ge 0)\\[16pt] a^{-\tfrac{k}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^k}}\quad (\text{dla }a\gt 0)\\[16pt] \]

Wzory działań na potęgach

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}\\[16pt] \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\\[16pt] a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n\\[16pt] \frac{a^n}{b^n}=\left (\frac{a}{b}\right )^n\\[16pt] \left(a^m \right)^n=a^{m\cdot n} \]

Wzory działań na pierwiastkach

\[ \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\\[16pt] \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} \] Działania na bardziej skomplikowanych pierwiastkach wykonujemy najczęściej zamieniając pierwiastki na potęgi. \[ \sqrt[n]{a}=a^{\tfrac{1}{n}}\\[16pt] \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[m]{a}=a^{\tfrac{1}{n}}\cdot a^{\tfrac{1}{m}}=a^{\tfrac{1}{n}+\tfrac{1}{m}}\\[16pt] \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}} =\frac{a^{\tfrac{1}{n}}}{a^{\tfrac{1}{m}}} =a^{\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{m}}\\[16pt] \]

Wartość wyrażenia \(\frac{\frac{3}{4}-\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}\) jest równa

A.\( 1 \)

B.\( \frac{1}{2} \)

C.\( \frac{1}{12} \)

D.\( \frac{1}{72} \)

W tym nagraniu wideo pokazuję jak wykonywać działania na potęgach o wykładniku wymiernym.
Przez pierwsze 8 minut nagrania przypominam również zasady wykonywania działań na potęgach o wykładniku całkowitym.

Czas nagrania: 30 min.

Liczba \( 3^{30}\cdot 9^{90} \) jest równa:

A.\(3^{210} \)

B.\(3^{300} \)

C.\(9^{120} \)

D.\(27^{2700} \)

Liczba \(2^{20}\cdot 4^{40}\) jest równa

A.\( 2^{60} \)

B.\( 4^{50} \)

C.\( 8^{60} \)

D.\( 8^{800} \)

Iloczyn \(81^2\cdot 9^4\) jest równy

A.\( 3^4 \)

B.\( 3^0 \)

C.\( 3^{16} \)

D.\( 3^{14} \)

Iloraz \(125^5:5^{11}\) jest równy

A. \(5^{-6}\)

B. \(5^{16}\)

C. \(25^{-6}\)

D. \(25^2\)

Liczba \(\frac{7^6\cdot 6^7}{42^6}\) jest równa

A.\( 42^{36} \)

B.\( 42^7 \)

C.\( 6 \)

D.\( 1 \)

Liczba \(\frac{4^5\cdot 5^4}{20^4}\) jest równa

A.\( 4^4 \)

B.\( 20^{16} \)

C.\( 20^5 \)

D.\( 4 \)

Liczba \(128^{-4}:\left ( \frac{1}{32} \right )^4\) jest równa

A.\( 4^{-4} \)

B.\( 2^{-4} \)

C.\( 2^4 \)

D.\( 4^4 \)

Liczba \(\left (\frac{2^{-2}\cdot 3^{-1}}{2^{-1}\cdot 3^{-2}} \right )^0\) jest równa

A.\( 1 \)

B.\( 4 \)

C.\( 9 \)

D.\( 36 \)

Liczba \( \frac{1}{2}\cdot 2^{2014} \) jest równa

A.\(2^{2013} \)

B.\(2^{2012} \)

C.\(2^{1007} \)

D.\(1^{2014} \)

Trzecia część liczby \(3^{150}\) jest równa:

A.\( 1^{50} \)

B.\( 1^{150} \)

C.\( 3^{50} \)

D.\( 3^{149} \)

Liczbę \(x=2^2\cdot 16^{-4}\) można zapisać w postaci

A.\( x=2^{14} \)

B.\( x=2^{-14} \)

C.\( x=32^{-2} \)

D.\( x=2^{-6} \)

Liczba \( 3^{\frac{8}{3}}\cdot \sqrt[3]{9^2} \) jest równa:

A.\(3^3 \)

B.\(3^{\frac{32}{9}} \)

C.\(3^4 \)

D.\(3^5 \)

Liczba \(\sqrt[3]{{(-8)}^{-1}}\cdot {16}^{\frac{3}{4}}\) jest równa

A.\( -8 \)

B.\( -4 \)

C.\( 2 \)

D.\( 4 \)

Liczbę \(\sqrt{32}\) można przedstawić w postaci

A.\( 8\sqrt{2} \)

B.\( 12\sqrt{3} \)

C.\( 4\sqrt{8} \)

D.\( 4\sqrt{2} \)

Liczba \(7^{\frac{4}{3}}\cdot \sqrt[3]{7^5}\) jest równa

A.\( 7^{\frac{4}{5}} \)

B.\( 7^3 \)

C.\( 7^{\frac{20}{9}} \)

D.\( 7^2 \)

Liczba \(\sqrt[3]{(27)^{-1}}\cdot 72^0\) jest równa

A.\( \frac{1}{3} \)

B.\( -\frac{1}{3} \)

C.\( 0 \)

D.\( 3 \)

Wyrażenie \(\sqrt{1{,}5^2+0{,}8^2}\) jest równe:

A.\( 2{,}89 \)

B.\( 2{,}33 \)

C.\( 1{,}89 \)

D.\( 1{,}70 \)

Liczba \(\frac{5^3\cdot 25}{\sqrt{5}}\) jest równa

A.\( 5^5\sqrt{5} \)

B.\( 5^4\sqrt{5} \)

C.\( 5^3\sqrt{5} \)

D.\( 5^6\sqrt{5} \)

Liczba \(\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[6]{3}\) jest równa

A.\( \sqrt[9]{3} \)

B.\( \sqrt[18]{3} \)

C.\( \sqrt[18]{6} \)

D.\( \sqrt{3} \)

Wartość wyrażenia \(5^{100}+5^{100}+5^{100}+5^{100}+5^{100}\) jest równa

A.\( 5^{500} \)

B.\( 5^{101} \)

C.\( 25^{100} \)

D.\( 25^{500} \)

Wyrażenie \(2\sqrt{50}-4\sqrt{8}\) zapisane w postaci jednej potęgi wynosi

A.\( 2^{\frac{3}{2}} \)

B.\( 2^{\frac{1}{2}} \)

C.\( 2^{-1} \)

D.\( 4^{\frac{1}{2}} \)

Liczba \(\frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\) jest równa

A.\( 2\sqrt{2} \)

B.\( 2 \)

C.\( 4 \)

D.\( \sqrt{10}-\sqrt{6} \)

Liczba \( \left ( \frac{1}{\left (\sqrt[3]{729}+\sqrt[4]{256}+2 \right)^0} \right )^{-2} \) jest równa

A.\(\frac{1}{225} \)

B.\(\frac{1}{15} \)

C.\(1 \)

D.\(15 \)

Liczba \(\frac{\sqrt[4]{16}+\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}}{\left (\frac{2}{7} \right)^{-1}}\) jest równa

A.\( -1 \)

B.\( \frac{4}{49} \)

C.\( -2\frac{1}{4} \)

D.\( 1 \)

Liczba \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\) jest równa

A.\( \sqrt[6]{3} \)

B.\( \sqrt[4]{3} \)

C.\( \sqrt[3]{3} \)

D.\( \sqrt{3} \)

Liczbą odwrotną do liczby \(5\frac{3}{11}-2\frac{1}{11}\cdot \sqrt[3]{-8}\) jest

A.\( \frac{11}{70} \)

B.\( \frac{11}{104} \)

C.\( -\frac{11}{104} \)

D.\( -\frac{70}{11} \)

Liczba \(0{,}(70)\) jest równa liczbie

A.\( \frac{7}{10} \)

B.\( \frac{70}{99} \)

C.\( \frac{7}{9} \)

D.\( \frac{77}{99} \)

W rozwinięciu dziesiętnym ułamka \(\frac{2}{7}\) na trzydziestym miejscu po przecinku stoi cyfra

A.\( 7 \)

B.\( 1 \)

C.\( 2 \)

D.\( 4 \)

Liczbą większą od zera jest liczba

A.\( \frac{1}{3}-0{,}(3) \)

B.\( -\sqrt{3}+1\frac{7}{9} \)

C.\( 4\frac{2}{3}-4\sqrt{3\frac{1}{16}} \)

D.\( -2^2 \)

Licznik pewnego ułamka jest równy \(6\). Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o \(2\), a mianownik o \(3\), to wartość tego ułamka się nie zmieni. Jaki to ułamek?

A.\( \frac{6}{10} \)

B.\( \frac{6}{5} \)

C.\( \frac{6}{11} \)

D.\( \frac{6}{9} \)

Jeżeli do licznika i do mianownik nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy \(1\), to otrzymamy \(\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.

\(\frac{8}{17}\)

Obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych

Wartości wyrażeń arytmetycznych obliczamy podstawiając wartość liczbową do danego wyrażenia, np.:

Wartość wyrażenia \(2x-6\) dla \(x=7\) jest równa: \(2\cdot 7-6=14-6=8\).

Wartość wyrażenia \((a-1)(a^2+a+1)\) dla \(a=\frac{3}{4}\) jest równa

A.\( -\frac{37}{64} \)

B.\( \frac{1}{4} \)

C.\( -\frac{1}{4} \)

D.\( 1\frac{27}{64} \)

Wyrażenie \((1 - 2x)^2 - 3(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2})\) dla \(x = 2\) przyjmuje wartość

A.\( 1 \)

B.\( 2 \)

C.\( 3 \)

D.\( -5 \)

Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego \((a^2 - 16)(a + 2)\) dla \(a = \sqrt{2}\) wynosi

A.\( 56\sqrt{2} \)

B.\( 14(\sqrt{2}+2) \)

C.\( 56 \)

D.\( -14(\sqrt{2}+2) \)

Wyrażenie \(\frac{x-1}{x-2}\cdot \frac{x^2-4}{x^2-1}\) dla \(x=4\) ma wartość

A.\( 0 \)

B.\( 1\frac{1}{5} \)

C.\( \frac{3}{2} \)

D.\( 6 \)

Wartość liczbowa wyrażenia \(x^3y^2 - y^3x^2\) dla \(x = -1\) i \(y = -2\) wynosi

A.\( 0 \)

B.\( 4 \)

C.\( -4 \)

D.\( 12 \)

Logarytmy

Najważniejsze wzory:

\[\log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c)\] \[\log_ab-\log_ac=\log_a\left(\frac{b}{c}\right)\] \[n\cdot \log_ab=\log_a(b^n)=\log_{a^{\frac{1}{n}}}b\] \[a^{\log_ab}=b\] \[\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\]

W tym nagraniu wideo omawiam najważniejsze wiadomości dotyczące logarytmów.
Pokazuję najprostszą metodę obliczania logarytmów, omawiam wszystkie najważniejsze wzory związane z logarytmami, dziedzinę logarytmu oraz równania i nierówności logarytmiczne.

Czas nagrania: 67 min.

Suma \( \log_8 16+1 \) jest równa

A.\(\log_8 17 \)

B.\(\frac{3}{2} \)

C.\(\frac{7}{3} \)

D.\(3 \)

Liczba \(\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})\) jest równa

A.\( \frac{3}{2} \)

B.\( 2 \)

C.\( \frac{5}{2} \)

D.\( 3 \)

Liczba \( \log 24 \) jest równa:

A.\(2\log 2+\log 20 \)

B.\(\log 6+2\log 2 \)

C.\(2\log 6-\log 12 \)

D.\(\log 30-\log 6 \)

Liczba \(2\log 5 +\log 4\) jest równa

A.\( 2 \)

B.\( 2\log 20 \)

C.\( \log 40 \)

D.\( 10 \)

Liczba \(2\log_5 10 - \log_5 4\) jest równa

A.\( 2 \)

B.\( \log_5 96 \)

C.\( 2\log_5 6 \)

D.\( 5 \)

Wartość wyrażenia \(\log_50{,}04-\frac{1}{2}\log_{25}1\) jest równa

A.\( -3 \)

B.\( -2\frac{1}{4} \)

C.\( -2 \)

D.\( 0 \)

Wartość wyrażenia \(\log_3\frac{3}{2}+\log_3\frac{2}{9}\) jest równa

A.\( -1 \)

B.\( -2 \)

C.\( \log_3\frac{5}{11} \)

D.\( \log_3\frac{31}{18} \)

Liczba \(\frac{\log_3729}{\log_636}\) jest równa

A.\( \log_6693 \)

B.\( 3 \)

C.\( \log_{\frac{1}{2}}\frac{81}{4} \)

D.\( 4 \)

Liczba \( \left ( \log_{\sqrt{3}}3\sqrt{3} \right )^4 \) jest równa

A.\(12 \)

B.\(6 \)

C.\(9 \)

D.\(81 \)

Liczba \( c=\log_{3}2 \). Wtedy

A.\(c^3=2 \)

B.\(3^c=2 \)

C.\(3^2=c \)

D.\(c^2=3 \)