Zadania maturalne z ciągów

Spis treści


Zawartość strony

Na tej stronie znajduje się zestawienie zadań maturalnych z ciągów. Zadania podzieliłem na dwa działy - zadania zamkniete oraz zadania otwarte. W każdym dziale znajdują się zadania zarówno z ciągu arytmetycznego jak i geometrycznego.

Zadania zamknięte

Zadanie 1. (1 pkt)

W ciągu arytmetycznym (an) mamy: a2 = 5 i a4 = 11. Oblicz a5.

Zadanie 2. (1 pkt)

W ciągu arytmetycznym (an) dane są: a3 = 13 i a5 = 39. Wtedy wyraz a1 jest równy

Zadanie 3. (1 pkt)

W ciągu geometrycznym (an) dane są: a1 = 2 i a2 = 12. Wtedy

Zadanie 4. (1 pkt)

W ciągu geometrycznym (an) dane są: a1 = 36, a2 = 18. Wtedy

Zadanie 5. (1 pkt)

W malejącym ciągu geometrycznym (an) mamy: a1 = -2 i a3 = -4. Iloraz tego ciągu jest równy

Zadanie 6. (1 pkt)

W ciągu geometrycznym (an) dane są . Wtedy wyraz a1 jest równy

Zadanie 7. (1 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an), w którym . Wtedy

Zadanie 8. (1 pkt)

W ciągu geometrycznym (an) mamy a3 = 5 i a4 = 15. Wtedy wyraz a5 jest równy.

Zadanie 9. (1 pkt)

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 1, a drugi wyraz tego ciągu jest równy 2. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 10. (1 pkt)

Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy (-2). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 11. (1 pkt)

Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy 5, a iloraz tego ciągu jest równy 3. Trzydziesty wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 12. (1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem an = (-3)n ⋅ (9 - n2) dla n ≥ 1. Wynika stąd, że

Zadanie 13. (1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem an = (-1)n⋅(n2 - 2n) dla n ≥ 1. Wtedy

Zadanie 14. (1 pkt)

Dany jest ciąg (an) określony wzorem dla n ≥ 1. Wówczas wyraz a5 tego ciągu jest równy

Zadanie 15. (1 pkt)

Dany jest ciąg (an) określony wzorem dla n ≥ 1. Wówczas

Zadanie 16. (1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem an = √2n + 4 dla n ≥ 1. Wówczas

Zadanie 17. (1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem an = (-2)3n ⋅ (n2 - 4) dla n ≥ 1. Wówczas

Zadanie 18. (1 pkt)

W ciągu geometrycznym (an) dane są: a1 = 3 i a4 = 24. Iloraz tego ciągu jest równy

Zadanie 19. (1 pkt)

Ciąg geometryczny (an) jest określony wzorem an = 22n-1 dla n ≥ 1. Iloraz tego ciągu jest równy

Zadanie 20. (1 pkt)

Iloraz ciągu geometrycznego o wyrazie ogólnym an = 2⋅7n jest równy:

Zadanie 21. (1 pkt)

W ciągu arytmetycznym a1 = 3 oraz a20 = 7. Wtedy suma S20 = a1 + a2 +...+ a19 + a20 jest równa

Zadanie 22. (1 pkt)

W ciągu arytmetycznym (an) suma trzydziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 1245 oraz a1 = -2. Wtedy

Zadanie 23. (1 pkt)

W ciągu geometrycznym (an) są dane: a2 = -1, q = -2. Suma czterech kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Zadanie 24. (1 pkt)

Który wyraz ciągu jest równy zero?

Zadanie 25. (1 pkt)

Liczby 2; 2x-1; 0,5 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem monotonicznego ciągu geometrycznego dla

Zadanie 26. (1 pkt)

Liczby 2, 6 są dwoma początkowymi wyrazami ciągu geometrycznego. Do wyrazów tego ciągu nie należy liczba:

Zadanie 27. (1 pkt)

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy √7 − 5, a drugi wyraz jest równy 2√7 − 1. Różnica tego ciągu jest równa

Zadanie 28. (1 pkt)

Ogólny wyraz nieskończonego ciągu (an), gdzie n ∈ N+, jest następujący: an = (n2 - 2)(n2 - 3n). Wszystkie miejsca zerowe ciągu (an) tworzą zbiór:

Zadanie 29. (1 pkt)

Ciąg (2√2, 4, a) jest geometryczny. Wówczas

Zadanie 30. (1 pkt)

Miary kątów trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Najmniejszy kąt tego trójkąta ma miarę 40°. Różnica ciągu arytmetycznego wynosi:

Zadanie 31. (1 pkt)

Liczby 12, 18, 2x + 1 są, w podanej kolejności, odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wynika stąd, że

Zadanie 32. (1 pkt)

W ciągu arytmetycznym an dane są a1 = 2 i a2 = 4. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Zadanie 33. (1 pkt)

Ciąg arytmetyczny (an) jest określony wzorem an = -2n + 1 dla n ≥ 1. Różnica tego ciągu jest równa

Zadanie 34. (1 pkt)

Liczby x-1, 4 i 8 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa

Zadanie 35. (1 pkt)

Liczby -8, 4 i x+1 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba x jest równa.

Zadanie 36. (1 pkt)

Liczby x, 4, x+2 są w podanej kolejności drugim, trzecim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa

Zadanie 37. (1 pkt)

Liczby: 1, 3, x-11 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba x jest równa

Zadanie 38. (1 pkt)

Liczby: 2x, 15, 8 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba x jest równa

Zadanie 39. (1 pkt)

Liczby: 2x+1, 7, 13x-2 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba x jest równa

Zadanie 40. (1 pkt)

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an) o wyrazach dodatnich. Wtedy

Zadanie 41. (1 pkt)

Ciągiem arytmetycznym jest ciąg o wyrazie ogólnym an równym:

Zadania otwarte

Zadanie 1. (2 pkt)

Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 26, a suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 70. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Zadanie 2. (4 pkt)

Ciąg (1, x, y - 1) jest arytmetyczny, natomiast ciąg (x, y, 12) jest geometryczny. Oblicz x oraz y i podaj ten ciąg geometryczny.

Zadanie 3. (5 pkt)

Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.

Zadanie 4. (6 pkt)

Liczby a, b, c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 93. Te same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz a, b i c.

Zadanie 5. (2 pkt)

Oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego wiedząc, że trzeci wyraz jest równy 18, a szósty 486.

Zadanie 6. (4 pkt)

O pewnym ciągu arytmetycznym wiadomo, że ma dziesięć wyrazów. Suma jego wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 75, a suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 90. Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.

Zadanie 7. (2 pkt)

W ciągu arytmetycznym (an) drugi wyraz jest równy 7, a szósty 17. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Zadanie 8. (2 pkt)

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 9. (2 pkt)

Suma Sn = a1 + a2 + ... + an początkowych n wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego (an) jest określona wzorem Sn = n2 - 2n. Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.

Zadanie 10. (4 pkt)

Ciąg (9, 18, x) jest geometryczny, a ciąg (x, 30, y) jest arytmetyczny.
Oblicz medianę liczb: 10, x, y, 12, 12, 18, 30.

Zadanie 11. (4 pkt)

Ciąg (9, x, 19) jest arytmetyczny, a ciąg (x, 42, y, z) jest geometryczny. Oblicz x, y oraz z.

Zadanie 12. (2 pkt)

Liczby x + 1, 2x + 2, 8 są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz x.

Zadanie 13. (2 pkt)

Liczby 2x, 16, x są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz x.

Zadanie 14. (2 pkt)

Ciąg dany jest wzorem . Oblicz a1 i a6.

Zadanie 15. (2 pkt)

Suma n początkowych wyrazów pewnego ciągu liczbowego (an) wyraża się wzorem Sn = 3n2 + 8n. Wyznacz dwa początkowe wyrazy ciągu (an).

Zadanie 16. (2 pkt)

Ciąg (an) jest określony dla n ≥ 1 wzorem an = -n2 - 4√3. Sprawdź którym wyrazem tego ciągu jest liczba -32 - (2 + √3)2.

Zadanie 17. (2 pkt)

Liczby 64, x, 4 są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.

Zadanie 18. (2 pkt)

Liczby 2x+1, 6, 16x+2 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x.

Zadanie 19. (2 pkt)

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (an) określony wzorem an = n2 - 2n - 24 dla n ≥ 1?

Zadanie 20. (2 pkt)

Liczby 2, x-3, 8 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x.

Zadanie 21. (2 pkt)

Wyrazami ciągu arytmetycznego an są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2. Ponadto a3 = 12. Oblicz a15.

Zadanie 22. (2 pkt)

Dany jest ciąg (an) określony wzorem dla n ≥ 1. Oblicz a2 i a5.

Zadanie 23. (2 pkt)

Dany jest ciąg (an) określony wzorem dla n ≥ 1. Oblicz wartość wyrażenia a20 - a10.

Zadanie 24. (2 pkt)

Dany jest ciąg (an) określony wzorem an = n + |1 - 3n| dla n ≥ 1. Oblicz wyraz a37 i a103.

Zadanie 25. (2 pkt)

Liczby x, y, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x + y = 8. Oblicz x i y.