1. Wprowadzenie do granicy ciągu

Żeby w pełni zrozumieć pojęcie granicy ciągu, warto wcześniej dobrze opanować takie tematy jak ciągi, ciąg arytmetyczny oraz ciąg geometryczny.

Granica ciągu liczbowego - wprowadzenie

W tym nagraniu wideo przedstawiam intuicję jaka stoi za pojęciem granicy ciągu.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

Zadanie 1.

Oblicz granice ciągów:

Zadanie 2.

Oblicz granice ciągów:

Zadanie 3.

Oblicz granice ciągów:

Zadanie 4.

Oblicz granice ciągów:

Zadanie 5.

Oblicz granice ciągów:

Zadanie 6.

Oblicz granice ciągów:

Zadanie 7.

Oblicz granicę ciągu:

Często podczas rozwiązywania zadań z granicy ciągów trzeba skorzystać z definicji:
Stałą liczbę g nazywamy granicą ciągu (an), jeżeli dla każdego dodatniego, dowolnie małego ε, istnieje taka liczba N, że wszystkie wartości an o wskaźniku n > N spełniają nierówność:
|an - g| < ε
Definicję granicy ciągu omawiam również w poniższej lekcji wideo:

Granica ciągu liczbowego - definicja

W tym nagraniu wideo omawiam definicję granicy ciągu.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

2. Twierdzenie o granicy iloczynu ciągu zbieżnego do zera oraz ciągu ograniczonego

Podczas obliczania wielu granic często przydaje się następujące twierdzenie:
Jeżeli dane są dwa ciągi an oraz bn takie, że:

to wówczas:

Zadanie 1.

Oblicz granicę ciągu:

3. Twierdzenie o trzech ciągach

Dzięki temu prostemu i naturalnemu twierdzeniu możemy liczyć różne, często dość skomplikowane granice.
Jeżeli dane są ciągi an, bn oraz cn takie, że:

to wówczas:

Zadanie 1.

Oblicz granicę ciągu

Zadanie 2.

Oblicz granicę ciągu

Zadanie 3.

Oblicz granicę ciągu

Zadanie 4.

Oblicz granicę ciągu

4. Granice ciągów z silnią

Zadanie 1.

Oblicz granicę ciągu

Zadanie 2.

Oblicz granicę ciągu

Zadanie 3.

Oblicz granicę ciągu

5. Granice ciągów z liczbą e

Zadanie 1.

Oblicz granicę ciągu .

Zadanie 2.

Oblicz granicę ciągu .

Zadanie 3.

Oblicz granicę ciągu .

Zadanie 4.

Oblicz granicę ciągu .

Zadanie 5.

Oblicz granicę ciągu .

Zadanie 6.

Oblicz granicę ciągu .

Zadanie 7.

Oblicz granicę ciągu .

Zadanie 8.

Oblicz granicę ciągu .

Zadanie 9.

Oblicz granicę ciągu .

Zadanie 10.

Oblicz granicę ciągu .

Zadanie 11.

Oblicz granicę ciągu .

6. Twierdzenie Stolza

Zadanie 1.

Oblicz granicę ciągu .