7.1. Miejsca zerowe - definicja i przykłady

Zacznijmy od przypomnienia następujących pojęć:
  • argumenty funkcji - to x-y (z osi poziomej układu współrzędnych)
  • wartości funkcji - to y-ki (z osi pionowej układu współrzędnych)
Po tym krótkim przypomnieniu możemy podać definicję miejsca zerowego funkcji:
Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument x,
dla którego funkcja przyjmuje wartość 0.

Przykłady pojawią się wkrótce.

7.2. Miejsca zerowe - lekcja wideo

Poniższe nagranie wideo łagodnie wprowadza pojęcie miejsca zerowego funkcji.

Miejsca zerowe - wprowadzenie

W tym nagraniu wideo wyjaśniam co to są miejsca zerowe funkcji oraz pokazuję jak je obliczać.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

7.3. Zadania z miejsc zerowych funkcji

Zadanie 1.

Wyznacz miejsca zerowe następujących funkcji:
wzory funkcji

Zadanie 2.

Wyznacz miejsca zerowe następujących funkcji:
wzory funkcji

Zadanie 3.

Wyznacz miejsca zerowe następujących funkcji:
wzory funkcji

Zadanie 4.

Wyznacz miejsca zerowe następujących funkcji:
wzory funkcji

Zadanie 5.

Wyznacz miejsca zerowe następujących funkcji:
wzory funkcji

Zadanie 6.

Wyznacz miejsca zerowe następujących funkcji:
wzory funkcji

Zadanie 7.

Miejscem zerowym funkcji kwadratowej y = -(-x - 7)(1 + x) jest

Zadanie 8.

Dany jest wykres funkcjiIle miejsc zerowych ma ta funkcja w przedziale ⟨-π, 1⟩?

Zadanie 9.

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej y = -3(x - 7)(x + 2) są

Zadanie 10.

Wskaż wykres funkcji, która w przedziale ⟨-4, 4⟩ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

Zadanie 11.

Funkcja f jest określona wzorem . Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?

Zadanie 12.

Funkcja liniowa określona jest wzorem f(x) = -√2x + 4. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

Zadanie 13.

Funkcja f określona wzorem . Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?

Zadanie 14.

Oblicz miejsca zerowe funkcji

Zadanie 15.

Miejscem zerowym funkcji f określonej wzorm jest:

Zadanie 16.

Liczba (−2) jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = mx + 2. Wtedy

Zadanie 17.

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = (2 - m)x + 1. Wynika stąd, że

Zadanie 18.

Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = -2x + m + 7 jest liczba 3. Wynika stąd, że

Zadanie 19.

Dana jest funkcja f(x) = (1 + m2)x - 5. Oblicz współczynnik m jeżeli wiadomo, że x = 1 jest miejscem zerowym funkcji f(x).

Zadanie 20.

Liczba x = -7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = (3-a)x + 7 dla

Zadanie 21.

Dla jakiego parametru m liczba x = 1 jest miejscem zerowym funkcji f(x) = 2x2 + mx?

Zadanie 22.

Liczba x = 2 jest miejscem zerowym funkcji f(x) = mx2 - m - 9 dla

Zadanie 23.

Miejscami zerowymi funkcji są liczby:
 
 
 

8.4. Monotoniczność funkcji - definicja i przykłady

Funkcja jest monotoniczna, jeżeli jest:
  • rosnąca, albo
  • malejąca, albo
  • nierosnąca, albo
  • niemalejąca, albo
  • stała.
W sytuacji gdy dany jest wykres funkcji, to łatwo można ustalić, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca.

Przykłady funkcji rosnących

Wykres funkcji rosnącej wznosi się, gdy patrzymy od lewej strony układu współrzędnych do prawej. Poniżej znajdują się cztery przykładowe wykresy funkcji rosnących.
Ćwiczenie 1. Sprawdź (rysując wykres), że funkcja dana wzorem f(x) = 3x - 5 jest rosnąca.
Rozwiązanie

Przykłady funkcji malejących

Wykres funkcji malejącej spada w dół, gdy patrzymy od lewej strony układu współrzędnych do prawej. Poniżej znajdują się przykładowe wykresy funkcji malejących.
Ćwiczenie 1. Sprawdź (rysując wykres), że funkcja dana wzorem f(x) = -x + 2 jest malejąca.
Rozwiązanie

Przykłady funkcji nierosnących

Funkcję nazywamy nierosnącą kiedy jest malejąca lub stała. Poniżej znajduje się przykładowy wykres funkcji nierosnącej.

Przykłady funkcji niemalejących

Funkcję nazywamy niemalejącą kiedy jest rosnąca lub stała. Poniżej znajduje się przykładowy wykres funkcji niemalejącej.

Przykłady funkcji stałych

Funkcja jest stała, jeżeli przyjmuje dla każdego x-a taką samą wartość. Wykresem funkcji stałej jest linia prosta równoległa do osi x-ów. Oto przykładowe wykresy funkcji stałych:

Przykłady funkcji niemonotonicznych

Funkcję nazywamy niemonotoniczną, gdy na pewnych przedziałach jest rosnąca, a na pewnych malejąca.
W takim przypadku można ewentualnie mówić, że funkcja jest monotoniczna przedziałami. Oto przykłady funkcji niemonotonicznych:
Przykład 1.
Funkcja f(x) = x2 nie jest monotoniczna. Jest malejąca dla x ∈ (∞, 0⟩, a rosnąca dla x ∈ ⟨0, ∞).
Przykład 2.
Funkcja f(x) = |x| nie jest monotoniczna. Jest malejąca dla x ∈ (∞, 0⟩, a rosnąca dla x ∈ ⟨0, ∞).
Przykład 3.
Funkcja f(x) = -|x - 2| + 3 nie jest monotoniczna. Jest malejąca dla x ∈ (∞, 2⟩, a rosnąca dla x ∈ ⟨2, ∞).

Formalne definicje

Poniżej znajdują się formalne definicje funkcji rosnącej oraz malejącej.
Funkcja f jest rosnąca jeżeli dla dwóch dowolnych argumentów x1 oraz x2 takich, że x1 < x2, zachodzi warunek f(x1) < f(x2).

Definicja funkcji malejącej jest bardzo podobna:
Funkcja f jest malejąca jeżeli dla dwóch dowolnych argumentów x1 oraz x2 takich, że x1 < x2, zachodzi warunek f(x1) > f(x2).

Powyższe definicje wykorzystuje się czasem podczas badania monotoniczności funkcji danych wzorem.

8.5. Monotoniczność funkcji - lekcja wideo

W poniższym nagraniu wideo znajdziesz definicję monotoniczności funkcji oraz kilka przykładów.

Monotoniczność funkcji

W tym nagraniu wideo tłumaczę co to jest monotoniczność oraz jak ją należy badać.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

9. Przesunięcia wykresów funkcji

Wykres dowolnej funkcji możemy przesuwać w poziomie oraz w pionie.
Wartości o jakie przesuwamy wykres w każdym z tych dwóch kierunków, najłatwiej jest zapisywać w postaci wektora przesunięcia:
Jeżeli chcemy przesunąć wykres w lewo, albo w dół, to na współrzędnych wektora podamy liczby ujemne, np.: Poniżej podaję kilka dodatkowych przykładów na interpretowanie wektorów.
Przykłady:
  • Wektor v   = [5, 0] oznacza przesunięcie o 5 jednostek w prawo.
  • Wektor v   = [-7, 0] oznacza przesunięcie o 7 jednostek w lewo.
  • Wektor v   = [0, 6] oznacza przesunięcie o 6 jednostek w górę.
  • Wektor v   = [0, -6] oznacza przesunięcie o 6 jednostek w dół.
  • Wektor v   = [9, 12] oznacza przesunięcie o 9 jednostek w prawo i 12 jednostek do góry.
  • Wektor v   = [7, -4] oznacza przesunięcie o 7 jednostek w prawo i 4 jednostki do dołu.
  • Wektor v   = [-11, 1] oznacza przesunięcie o 11 jednostek w lewo i 1 jednostkę do góry.
  • Wektor v   = [-20, -31] oznacza przesunięcie o 20 jednostek w lewo i 31 jednostek do dołu.
Gdy już umiemy interpretować i zapisywać wektory przesunięć, to możemy spokojnie przystąpić do nauki przekształcania wzorów funkcji.
Jak zmienia się wzór funkcji po przesunięciu o wektor?
Gdy przesuwamy wykres funkcji o wektor v = [p, q], to:
  • we wzorze funkcji zamieniamy każdego x na wyrażenie (x - p),
  • do całego wzoru funkcji dodajemy liczbę q.
Przykład 1. Zapisz wzór funkcji f(x) = 5x2 - 3x - 2 o wektor v = [7, 6].
Rozwiązanie :
Stosując pierwszy punkt powyższej reguły, zamieniamy we wzorze każdego x przez wyrażenie (x - 7), otrzymując wzór: f2(x) = 5(x - 7)2 - 3(x - 7) - 2 Teraz stosujemy drugi punkt reguły i do całego wzoru dodajemy liczbę 6: f3(x) = 5(x - 7)2 - 3(x - 7) - 2 + 6 Na koniec wypada doprowadzić wzór do najprostszej postaci: f3(x) = 5(x - 7)2 - 3(x - 7) + 4 f3(x) = 5(x2 - 14x + 49) - 3x + 21 + 4 f3(x) = 5x2 - 70x + 245 - 3x + 25 f3(x) = 5x2 - 73x + 270 Zobaczmy jeszcze dodatkowo jak wygląda interpretacja graficzna tego przesunięcia:

Zadanie 1.

Gdy przesuniemy wykres funkcji f(x) = 2x - 3 o 2 jednostki w prawo i 4 jednostki w górę, to otrzymamy wykres funkcji opisanej wzorem

Zadanie 2.

Na rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x) określonej dla x ∈ [-7, 4].Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji

Zadanie 3.

Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x).

Wskaż rysunek na którym jest przedstawiony wykres funkcji y = f(x + 1).

Zadanie 4.

Na rysunku 1. jest przedstawiony wykres funkcji y = f(x)
Funkcja przedstawiona na rysunku 2. określona jest wzorem

Zadanie 5.

Funkcję f(x) = 7x - 5 przesunięto o wektor v = [0; -3] otrzymując funkcję g(x). Funkcja g(x) określona jest wzorem

Zadanie 6.

Funkcję f(x) = 7x - 5 przesunięto o wektor v = [5; 1] otrzymując funkcję g(x). Funkcja g(x) określona jest wzorem

10. Różne zadania z funkcji

Zadanie 1.

Dana jest funkcja . Oblicz współczynnik b jeżeli wiadomo, że f(2) = -3.

Zadanie 2.

Funkcja f jest określona wzorem dla x ≠ 9. Ponadto wiemy, że f(4) = -1. Oblicz współczynnik b.

Zadanie 3.

Funkcja liniowa f(x) = (m + 2)x + 2m jest rosnąca, gdy

Zadanie 4.

Punkt P = (a + 1, 2) należy do wykresu funkcji f(x)=4/x. Liczba a jest równa

Zadanie 5.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.
Wykres funkcji do zadania 26Odczytaj z wykresu i zapisz:
  • zbiór wartości funkcji f,
  • przedział maksymalnej długości, w którym f jest malejąca.

Zadanie 6.

Funkcja f jest określona wzorem dla x≠1. Wartość funkcji f dla argumentu x=2 jest równa

Zadanie 7.

Dana jest funkcja . Funkcja ta dla argumentu 0 przyjmuje wartość 5. Wówczas:

Zadanie 8.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y=1/x dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 0 . a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem g(x)=f(x-3).
Poprzednie    1  2  3