1. Wprowadzenie do funkcji wykładniczej

Funkcja wykładnicza ma wzór:
f(x)=a^x gdzie a > 0.
Jej nazwa pochodzi od tego, że x znajduje się w wykładniku.
Wykresem funkcji y = ax jest krzywa, która zawsze przecina oś y w punkcie 1.
Zasadniczy kształt wykresu zależy do tego czy a > 1 czy a < 1. Rozpatrzymy zatem oddzielnie te dwa przypadki.
Przypadek I - dla a > 1
Ten przypadek omówimy na przykładzie funkcji y = 2x.
Na początek obliczmy wartości tej funkcji dla kilku przykładowych argumentów x. Sporządźmy zatem odpowiednią tabelkę:

Tabelka dla funkcji wykładniczej f(x)=2^x
Zatem wykres tej funkcji będzie wyglądał następująco:

Wykres funkcji wykładniczej f(x)=2^x
Bardzo podobnie wyglądają wykresy innych funkcji wykładniczych o podstawie a > 1. Przykładowo:
Wykresy kilku funkcji wykładniczych dla a > 1
Własności funkcji wykładniczej o podstawie a > 1:
  • Dziedzina: D = R.
  • Zbiór wartości: ZW = R+.
  • Monotoniczność: funkcja jest rosnąca.
  • Różnowartościowość: funkcja jest różnowartościowa.
  • Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie:
    f(x) > 0, gdy x∈(-∞; +∞)
  • Miejsca zerowe: funkcja nie ma miejsc zerowych.
  • Parzystość: nie jest.
  • Nieparzystość: nie jest.
Przypadek II - dla a < 1
Ten przypadek omówimy na przykładzie funkcji y = (½)x.
Na początek obliczmy wartości tej funkcji dla kilku przykładowych argumentów x. Sporządźmy zatem odpowiednią tabelkę:

Tabelka dla funkcji wykładniczej f(x)=(1/2)^x
Zatem wykres tej funkcji będzie wyglądał następująco:

Wykres funkcji wykładniczej f(x)=(1/2)^x
Bardzo podobnie wyglądają wykresy innych funkcji wykładniczych o podstawie a < 1. Przykładowo:
Wykresy kilku funkcji wykładniczych dla a < 1
Własności funkcji wykładniczej o podstawie a < 1:
  • Dziedzina: D = R.
  • Zbiór wartości: ZW = R+.
  • Monotoniczność: funkcja jest malejąca.
  • Różnowartościowość: funkcja jest różnowartościowa.
  • Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie:
    f(x) > 0, gdy x∈(-∞; +∞)
  • Miejsca zerowe: funkcja nie ma miejsc zerowych.
  • Parzystość: nie jest.
  • Nieparzystość: nie jest.

2. Różne zadania z funkcji wykładniczej

Poniższe zadania są nieco trudniejsze i wykraczają poza poziom podstawowy.

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność:

Rozwiązanie PDF

Zadanie 2.

Rozwiąż nierówność:

Rozwiązanie PDF

Zadanie 3.

Udowodnij, że wykresy funkcji
nie mają punktów wspólnych.
Rozwiązanie PDF

Zadanie 4.

Napisz wzór funkcji wykładniczej f(x) = ax, gdzie a > 0, wiedząc że do jej wykresu należy punkt A(3, 1/8).
  • Naszkicuj wykres funkcji g(x) = f(x + 2) - 1.
  • Oblicz miejsca zerowe funkcji g(x).
  • Dla jakich argumentów funkcja g(x) przyjmuje wartości ujemne?

Rozwiązanie PDF

Zadanie 5.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) = (2/3)x - 1, gdzie a > 0, x∈R. Wykres funkcji wykładniczej do zadania 3
  • Oblicz wartość funkcji dla argumentu 1/2.
  • Oblicz argument dla którego wartość funkcji wynosi 16/81.
  • Dla jakich argumentów wartości funkcji f są większe od 2¼.
  • Napisz wzór i naszkicuj wykres funkcji g(x) = f(-x) - 3.

Rozwiązanie PDF

Zadanie 6.

Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe niż funkcja
Rozwiązanie PDF

Zadanie 7.

Wyznacz wartość parametru k, jeżeli wiadomo, że dla argumentu x = 1 funkcje przyjmują tą samą wartość.
Rozwiązanie PDF

Zadanie 8.

Naszkicuj wykres funkcji: Wzór funkcji do zadania 6 Na podstawie wykresu funkcji f ustal liczbę rozwiązań równania f(x) = k, gdzie k∈R, w zależności od wartości parametru k.
Rozwiązanie PDF

Zadanie 9.

Wykresy funkcji mają z osią OY ten sam punkt wspólny A. Oblicz k i podaj współrzędne punktu A.
Rozwiązanie PDF

Zadanie 10

Funkcje mają to samo miejsce zerowe. Oblicz wspólne miejsce zerowe obu funkcji oraz wartość parametru p.
Rozwiązanie PDF

Zadanie 11.

Zbiorem wartości funkcji f określonej wzorem f(x) = 3x + 2 - 3 jest zbiór

Rozwiązanie wideo