1. Wprowadzenie do funkcji wykładniczej

Funkcja wykładnicza ma wzór:
f(x)=a^x gdzie a > 0.
Jej nazwa pochodzi od tego, że x znajduje się w wykładniku.
Wykresem funkcji y = ax jest krzywa, która zawsze przecina oś y w punkcie 1.
Zasadniczy kształt wykresu zależy do tego czy a > 1 czy a < 1. Rozpatrzymy zatem oddzielnie te dwa przypadki.
Przypadek I - dla a > 1
Ten przypadek omówimy na przykładzie funkcji y = 2x.
Na początek obliczmy wartości tej funkcji dla kilku przykładowych argumentów x. Sporządźmy zatem odpowiednią tabelkę:

Tabelka dla funkcji wykładniczej f(x)=2^x
Zatem wykres tej funkcji będzie wyglądał następująco:

Wykres funkcji wykładniczej f(x)=2^x
Bardzo podobnie wyglądają wykresy innych funkcji wykładniczych o podstawie a > 1. Przykładowo:
Wykresy kilku funkcji wykładniczych dla a > 1
Własności funkcji wykładniczej o podstawie a > 1:
  • Dziedzina: D = R.
  • Zbiór wartości: ZW = R+.
  • Monotoniczność: funkcja jest rosnąca.
  • Różnowartościowość: funkcja jest różnowartościowa.
  • Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie:
    f(x) > 0, gdy x∈(-∞; +∞)
  • Miejsca zerowe: funkcja nie ma miejsc zerowych.
  • Parzystość: nie jest.
  • Nieparzystość: nie jest.
Przypadek II - dla a < 1
Ten przypadek omówimy na przykładzie funkcji y = (½)x.
Na początek obliczmy wartości tej funkcji dla kilku przykładowych argumentów x. Sporządźmy zatem odpowiednią tabelkę:

Tabelka dla funkcji wykładniczej f(x)=(1/2)^x
Zatem wykres tej funkcji będzie wyglądał następująco:

Wykres funkcji wykładniczej f(x)=(1/2)^x
Bardzo podobnie wyglądają wykresy innych funkcji wykładniczych o podstawie a < 1. Przykładowo:
Wykresy kilku funkcji wykładniczych dla a < 1
Własności funkcji wykładniczej o podstawie a < 1:
  • Dziedzina: D = R.
  • Zbiór wartości: ZW = R+.
  • Monotoniczność: funkcja jest malejąca.
  • Różnowartościowość: funkcja jest różnowartościowa.
  • Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie:
    f(x) > 0, gdy x∈(-∞; +∞)
  • Miejsca zerowe: funkcja nie ma miejsc zerowych.
  • Parzystość: nie jest.
  • Nieparzystość: nie jest.