1. Definicja ciągu arytmetycznego i przykłady

Przed rozpoczęciem nauki o ciągu arytmetycznym warto zapoznać się z samym pojęciem ciągu.
Ciąg arytmetyczny - to taki ciąg liczb, w który każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o ustaloną wartość r.
Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
Przykłady
  • 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...
    Różnica tego ciągu arytmetycznego jest równa 1.
    Pierwszy wyraz ciągu jest równy 1.
    Piąty wyraz ciągu jest równy 5. Jedenasty wyraz ciągu jest równy 11.
  • -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...
    Różnica tego ciągu arytmetycznego jest równa 1.
    Pierwszy wyraz ciągu jest równy -3.
    Piąty wyraz ciągu jest równy 1.
  • 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125,...
    Różnica tego ciągu arytmetycznego jest równa 1.
    Pierwszy wyraz ciągu jest równy 117.
    Piąty wyraz ciągu jest równy 121.
  • 6, 8, 10, 12, 14, 16,...
    Różnica tego ciągu arytmetycznego jest równa 2.
    Pierwszy wyraz ciągu jest równy 6.
    Piąty wyraz ciągu jest równy 14.
    Ósmy wyraz ciągu jest równy 20
  • 15, 10, 5, 0, -5,...
    Różnica tego ciągu arytmetycznego jest równa -5.
    Pierwszy wyraz ciągu jest równy 15.
    Piąty wyraz ciągu jest równy -5.
    Szósty wyraz ciągu jest równy -10
  • 7, 7.5, 8, 8.5, 9, 9.5,...
    Różnica tego ciągu arytmetycznego jest równa 0.5.
    Pierwszy wyraz ciągu jest równy 7.
    Czwarty wyraz ciągu jest równy 8.5.
Przykłady (ciągów niearytmetycznych)
  • 1, 2, 4, -5, 8, -8, 7, 8,...
    Dowolny chaotyczny ciąg liczbowy nie jest ciągiem arytmetycznym.
  • 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9,...
    W tym przykładnie arytmetyczność ciągu psuje brak 4 między 3 i 5.
  • 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...
    Ten szczególny ciąg nazywany jest ciągiem Fibonacciego. Czy potrafisz wymyślić regułę według której on powstaje?
  • 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,...
    Taki ciąg nazywamy ciągiem geometrycznym.
Poniżej znajduje się zestawienie najważniejszych wiadomości o ciągu arytmetycznym, wraz z przykładami:

Z definicją ciągu arytmetycznego możesz również zapoznać się oglądając rozwiązanie poniższego zadania maturalnego:

Zadanie 1.

Liczby: 1, 3, x-11 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba x jest równa

Zadanie 2.

Liczby: 2x, 15, 8 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba x jest równa

Zadanie 3.

Liczby: 2x+1, 7, 13x-2 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba x jest równa

2. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Znając pierwszy wyraz ciągu (a1) oraz różnicę ciągu (r) można obliczyć dowolny n-ty wyraz (an) ze wzoru: an = a1 + (n-1)r Przykład 1. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego o którym wiesz, że:
  • a1 = 7 oraz r = 2.
    Rozwiązanie:
    an = 7 + (n - 1)⋅2
    an = 7 + 2n - 2
    an = 2n + 5
  • a1 = 13 oraz r = -3.
    Rozwiązanie:
    an = 13 + (n - 1)⋅(-3)
    an = 13 - 3n + 3
    an = -3n + 16
Przykład 2. Wyznacz 60-ty wyraz ciągu arytmetycznego o którym wiesz, że:
  • a1 = 4 oraz r = 1.
    Rozwiązanie:
    a60 = 4 + (60 - 1)⋅1 = 4 + 59 = 63
  • a1 = -9 oraz r = 3.
    Rozwiązanie:
    a60 = -9 + (60 - 1)⋅3 = -9 + 177 = 168
W sytuacji gdy musimy obliczyć n-ty wyraz ciągu, a znamy k-ty wyraz i różnicę r, to możemy skorzystać ze wzoru: an = ak + (n-k)r Przykład 3. Wyznacz 47-ty wyraz ciągu arytmetycznego o którym wiesz, że:
  • a18 = -7 oraz r = 2.
    Rozwiązanie:
    a47 = -7 + (47 - 18)⋅2 = -7 + 58 = 51
  • a72 = 11 oraz r = -5.
    Rozwiązanie:
    a47 = 11 + (47 - 72)⋅(-5) = 11 + (-25)⋅(-5) = 11 + 125 = 136
W sytuacji gdy musimy obliczyć różnicę r, a znamy n-ty wyraz ciągu i k-ty wyraz, to możemy skorzystać ze wzoru: Jak łatwo zauważyć, wzór na różnicę został wyprowadzony z ostatniego wzoru na n-ty wyraz.

Zadanie 1.

Ciąg arytmetyczny (an) jest określony wzorem an = -2n + 1 dla n ≥ 1. Różnica tego ciągu jest równa

3. Suma ciągu arytmetycznego

Sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego liczymy ze wzoru: Sn = (a1 + an)*n/2 Przykład. Oblicz sumę 20 pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego o wzorze ogólnym an = 3n + 1.
Obliczamy pierwszy wyraz ciągu:
a1 = 3⋅1 + 1 = 4.
Teraz obliczamy 20 wyraz ciągu:
a20 = 3⋅20 + 1 = 61.
Zatem szukana suma wynosi:

Do obliczenia sumy ciągu arytmetycznego od wyrazu k-tego do wyrazu n-tego, można skorzystać ze wzoru: Sn = (ak + an)*(n-k+1)/2

Zadanie 1.

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 2.

W ciągu arytmetycznym an dane są a1 = 2 i a2 = 4. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

4. Zbiór zadań z ciągu arytmetycznego

Zadanie 1.

Czy podany ciąg jest arytmetyczny?

Zadanie 2.

Czy ciąg o podanym wyrazie ogólnym jest arytmetyczny? Jeśli tak, to oblicz a1 i różnicę tego ciągu

Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Strona z zadaniem

Zadanie 3.

Podane liczby, to dwa początkowe wyrazy pewnego ciągu arytmetycznego, znajdź różnicę oraz dwa następne wyrazy tego ciągu.

Zadanie 4.

Zapisz wzór ogólny i oblicz dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (an) znając różnicę i pierwszy wyraz tego ciągu.

Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Strona z zadaniem

Zadanie 5.

Znajdź wzór ogólny ciągu arytmetycznego (an), którego początkowymi wyrazami są podane liczby. Oblicz dziesiąty wyraz tego ciągu.

Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Strona z zadaniem

Zadanie 6.

Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego (an) o którym wiesz, że:

Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Strona z zadaniem

Zadanie 7.

Którym wyrazem podanego ciągu arytmetycznego (an) jest liczba x?

Zadanie 8.

Którym wyrazem podanego ciągu arytmetycznego jest liczba x?

Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Strona z zadaniem

Zadanie 11.

Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu, którego suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem:

Wykaż, że każdy z tych ciągów jest ciągiem arytmetycznym.
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Strona z zadaniem

Zadanie 13.

Wyznacz różnicę r wyrazów ciągu arytmetycznego, mając dane:

Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Strona z zadaniem

Zadanie 14.

Znajdź sumę trzydziestu kolejnych liczb będących wielokrotnościami 9 (zaczynając od 9).

Zadanie 15.

Znajdź sumę pięćdziesięciu kolejnych liczb będących wielokrotnościami 12 (zaczynając od 24).

Zadanie 16.

Znajdź sumę:
  • wszystkich liczb całkowitych od 0 do 150 włącznie.
  • wszystkich liczb parzystych od 0 do 150 włącznie.
  • wszystkich liczb nieparzystych od 0 do 150.

Zadanie 17.

Suma stu kolejnych liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 2, wynosi 43950. Wyznacz najmniejszą i największą z tych liczb.

Zadanie 18.

Między liczby 4 i 22 wstaw pięć liczb tak, aby wraz z danymi liczbami tworzyły ciąg arytmetyczny.

Zadanie 19.

Między liczby 65 i 35 wstaw dziewięć liczb tak, aby wraz z danymi liczbami tworzyły ciąg arytmetyczny.

Zadanie 20.

Ile liczb trzeba wstawić między liczby 16 i 250, aby otrzymać ciąg arytmetyczny, którego suma wynosi 1995?

Zadanie 21.

Suma czwartego i siódmego wyrazu ciągu arytmetycznego wynosi 86, a suma drugiego i trzynastego wyrazu tego ciągu jest równa 22. Znajdź pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Zadanie 22.

Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego równa się 27, suma dwóch ostatnich wyrazów wynosi 105, a siódmy wyraz jest równy 30. Znajdź pierwszy wyraz i liczbę wyrazów tego ciągu.

Zadanie 23.

Drugi, szósty i ostatni wyraz ciągu arytmetycznego wynoszą odpowiednio 2, 22, 222. Znajdź pierwszy wyraz i liczbę wyrazów tego ciągu.

Zadanie 24.

Dane są dwa ciągi arytmetyczne: 1, 4, 7,… oraz 20, 21, 22,… Zsumowano n początkowych wyrazów pierwszego ciągu i n początkowych wyrazów drugiego ciągu. Okazało się, że otrzymano równe sumy. Wyznacz n.

Zadanie 25.

Liczbę 210 podziel na siedem składników tak, aby tworzyły one malejący ciąg arytmetyczny i największy z nich był trzy razy większy od najmniejszego składnika.

Zadanie 26.

W ciągu arytmetycznym piąty wyraz równa się 25, a iloraz otrzymany po podzieleniu wyrazu dwunastego przez trzeci jest o 2 większy od ilorazu otrzymanego po podzieleniu wyrazu szesnastego przez ósmy. Znajdź pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Zadanie 27.

Pewien pan spłacił dług w wysokości 5100 zł w dwunastu ratach, z których każda była mniejsza od poprzedniej o 50 zł. Ile wynosiła pierwsza, a ile ostatnia rata?

Zadanie 28.

Miary kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego tworzą ciąg arytmetyczny, którego różnica wynosi 5°. Najmniejszy kąt ma miarę 120°. Wyznacz liczbę boków wielokąta.

Zadanie 29.

Szósty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy zeru. Oblicz S11.

Zadanie 30.

Udowodnij, że jeżeli trzy kolejne kąty czworokąta wpisanego w koło tworzą ciąg arytmetyczny, to co najmniej dwa kąty tego czworokąta są proste.

Zadanie 31.

Udowodnij, że jeżeli długości trzech kolejnych boków czworokąta opisanego na okręgu tworzą ciąg arytmetyczny, to przynajmniej dwa boki tego czworokąta mają taką samą długość.

5. Różne zadania z ciągu arytmetycznego

Zadanie 1.

O pewnym ciągu arytmetycznym wiadomo, że ma dziesięć wyrazów. Suma jego wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 75, a suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 90. Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.

Zadanie 2.

Pan Jan spłacał kredyt w wysokości 12 000 zł w sześciu ratach, z których każda kolejna była o 500 zł mniejsza od poprzedniej. Pierwsza rata była równa:

Zadanie 3.

Miary kątów trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Najmniejszy kąt tego trójkąta ma miarę 40°. Różnica ciągu arytmetycznego wynosi:

Zadanie 4.

W ciągu arytmetycznym (an) dane są: a3 = 13 i a5 = 39. Wtedy wyraz a1 jest równy

Zadanie 5.

Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 20°. Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę

Zadanie 6.

Ciąg (9, x, 19) jest arytmetyczny, a ciąg (x, 42, y, z) jest geometryczny. Oblicz x, y oraz z.

Zadanie 7.

Liczby x + 1, 2x + 2, 8 są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz x.

Zadanie 8.

Liczby x-1, 4 i 8 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa

Zadanie 9.

Liczby 2, x-3, 8 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x.

Zadanie 10.

Wyrazami ciągu arytmetycznego an są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2. Ponadto a3 = 12. Oblicz a15.

Zadanie 11.

Liczby x, 4, x+2 są w podanej kolejności drugim, trzecim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa

Zadanie 12.

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an) o wyrazach dodatnich. Wtedy

Zadanie 13.

Liczby x, y, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x + y = 8. Oblicz x i y.

Zadanie 14.

Ciąg (an) określony dla n ≥ 1 jest arytmetyczny oraz a3 = 10 i a4 = 14 . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 15.

Liczby 7, a, 49 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy a jest równe